对一道分式型最值问题的探究

广东省云浮市云浮中学(527300)成永深

题目(《数学教学》2023 年第2 期问题1173 为) 当x> 1,y> 2,z> 3 时, 求的最小值.

二变式拓展

2.1 变式1当x>1,y>2 时,求

的最小值.

解如图1 所示, 在直线l上依次取点P,O,Q, 使得OP= 1,OQ= 2,AP垂直于PQ且OA=x,BQ垂直于PQ且OB=y, 四边形APQA′为矩形.则所以

图1

取等条件为A,O,B三点共线且A′B= 3, 即y=2x,√即时取等号.

变式2当x>1,y>2,z>4 时,求

的最小值.

解设a,b,c>0,由代数变形结合均值不等式得

2.2 推广

当a1=a+1,a2=b+2,b1= 1,b2= 2 时,则问题就是2018 奥地利数学奥林匹克不等式题:

已知a,b∈R+,则

推广2已知a1>b1,a2>b2,··· ,an>bn且a1,a2,··· ,an为变量,{bn}为正项等差数列或等比数列, 记数列{bn}的前n项和为sn,则

的最小值为2sn.

2.3 几个结论

该问题便是2018 奥地利数学奥林匹克不等式题的推广.