考虑行人摔倒和受伤的斜坡相向流社会力模型

户佐安 ，魏易东 ，曾 添 ，马 毅

（1.西南交通大学交通运输与物流学院，四川 成都 611756；2.西南交通大学综合交通大数据应用技术国家工程实验室，四川 成都 611756；3.四川大学灾后重建与管理学院，四川 成都 610211）

近年来，随着城市规模持续扩大，城市人口和公共设施不断增加，人群大量聚集的机会也不断提升，人群聚集产生的安全隐患越来越受关注.研究行人运动特性不仅对理解行人运动本质有显著意义，也对人群管理、灾害预防、建筑设计等方面有指导作用.

过往行人运动特性的研究主要集中在空间封闭、高密度人群聚集的公共场所，如商场、地铁站等[1-2].然而，这类研究对象多为平地，并未系统分析斜坡上行人的运动特性.事实上，斜坡已经被证实会影响行人的行走机制，上坡时，行人行走频率降低以节省体力，下坡时，行人步长变短以增大摩擦[3-4]，同时，人体各关节肌肉生物力学条件改变以提高或降低重心，防止摔倒[5].基于上述原因，斜坡上行人的运动速度不同于平地，Finnis 等[6]在新西兰多个城市的行人运动实地调查表明，大于6° 的斜坡对行人运动速度有显著影响.Pingel[7]发现行人在小坡度下坡时的运动速度高于平地，过大的上下坡度均会降低运动速度.Wall-Scheffler[8]发现在同等运动速度倾向下，男性在斜坡上的运动速度快于女性.除影响运动速度外，Sheehan 等[9]的研究还表明，斜坡上运动的行人跌倒的风险高于平地和相同坡度的楼梯.Meeder等[10]发现城市道路的坡度会影响行人行走的选择，坡度增加1%会使步行的吸引力减少约10%[11].现实中，由于斜坡广泛存在于各类公共设施，如城市道路、过街天桥及人行地道等，系统性地研究斜坡行人运动特性对该类设施的设计[12]有重要指导意义.

行人流仿真方法由于不受场地限制、可控性高等优点常被用于各种场景下行人运动特性的研究.行人仿真模型包括宏观模型和微观模型.宏观模型以流体力学模型为代表，将行人流视为流体，根据守恒规则描述行人现象[13-14]，这类模型计算效率高，在行人流仿真发展初期应用较广，但其仅能描述行人流整体，行人的心理效应、自组织行为等基于行人个体的重要现象无法展现.微观模型以元胞自动机（cellular automata， CA）、社会力模型（social force model， SFM）为代表，通过描述人群中每一个行人的行为，进而表现出整体现象.CA 离散时空并通过转移概率控制行人运动，计算效率较高，若制定合理的转移规则能再现众多自组织现象[15-16]，但模型的表现过于依赖转移规则，且离散空间难以展现多变的行人速度，有一定局限性.SFM 基于牛顿第二定律控制行人运动[17]，随着模型的不断完善及计算机技术的发展，其最初的计算效率低、行人行为不够合理等缺点逐渐被克服.相对于CA，SFM 的理论支撑更为严谨，连续时空方便控制行人速度和展现自组织现象.

目前，有少量学者关注斜坡行人流仿真研究，菅肖霞等[18]考虑行人间的局部挤压和冲突作用力、斜坡通道的倾斜角度，建立势函数场CA 模拟斜坡通道双向行人流运动.Sarmady 等[19]拓展了精细网格CA 用于模拟不同坡度、不同方向、不同速度的斜坡行人流.但CA 由于空间离散的局限性，实现斜坡上行人运动速度差异性的方法十分繁琐，制约了计算效率.王丽等[20]在经典SFM 的基础上加入重力分量，实现了复杂地形行人运动仿真，但未就重力分量与行人运动速度二者进行参数校准，难以保证改进后模型中运动速度的合理性.同时，这些研究均未对斜坡上行人可能发生的意外情况（摔倒、受伤等）深入讨论，也没有考虑人群异质性、行人心理变化对斜坡运动的影响.

因此，本文综合考虑行人在斜坡上的运动速度、可能发生的意外情况及特殊心理，提出一个考虑行人摔倒、受伤和不耐烦心理的社会力模型，并将其运用于斜坡相向行人流仿真，以期量化斜坡对行人运动的影响，为斜坡设计、人群管理和疏散提供参考.

1 斜坡对行人运动速率的影响

行人行走的实质是脚掌蹬地产生向前的静摩擦力f提供前进的加速度.

斜坡上行走时，行人的受力不同于平地，平地上行人重力G与地面支持力FN均垂直于地面，仅靠静摩擦力f与空气阻力Fk（可忽略不计）的合力驱动向前行走；上坡时，重力G的下滑分量与前进方向相反，需要行人提供更大的f；下坡时，若坡度较小，G的下滑分量有助于行人行走，若坡度较大，行人需提供与前进方向相反的f以防止速度过快而摔倒，如图1 所示.

图1 行人斜坡受力Fig.1 Force analysis of pedestrians on the slope

因此，相较于平地而言，无论上、下坡，较大的坡度均会让行人行走更费力，降低运动速度，只有坡度较小的下坡能让行人运动省力，提高运动速度.

Tobler[21]基于大量观测数据提出斜坡上行人行走速度为

式中：v为行人平均行走速度，m/s；θ为斜坡坡度.

在坡度为-3° 时，行人速度最大，约为1.67 m/s.此外，汤雪飞等[22]通过斜坡疏散实验获取了行人的最大速度.王丽等[20]根据相关文献[5，23-25]的实证数据和预测方法也获得不同坡度下的行人速度.随着斜坡坡度增加，上下坡行人的速度均会减小，如图2 所示.

图2 不同文献斜坡行人速率对比Fig.2 Comparison of pedestrian speeds on slopes in different literature

2 社会力模型的改进

2.1 经典社会力模型

Helbing 等[26]提出的SFM 将行人视为半径不同的圆形个体，以牛顿第二定律为基础运动，每个行人受到自驱动力、人与人之间的作用力及人与障碍物之间的作用力，如式（2）所示.

式中：vi(t)为行人i在时刻t的速度矢量，m/s；mi为行人i的质量，kg；vi0(t)为行人i在时刻t的期望速度，m/s；ei0(t)为行人i在时刻t的期望方向；τi为行人反应时间，s；fij为行人i所受行人j的排斥力及摩擦力，N；fiW为行人i所受障碍物W的排斥力及摩擦力， N；rij为行人i与行人j的半径之和，m；dij为行人i与行人j的中心距离，m；diW为行人i的中心与障碍物W的距离；Ai与Bi分别为排斥力强度系数及范围系数；k与κ为常量系数；ri为行人i的半径，m；nij、niW分别为行人i指向行人j、障碍物W的单位向量；tij、tiW为行人i分别与nij、niW正交的单位向量；Δvji为行人i与行人j的切向速度差；g(x)为判断函数，且当x<0 时，g(x)=0，当x>0 时，g(x)=x.

尽管经典SFM 在单出口房间、走廊等场景表现良好，但性能不够完善，不能直接应用于斜坡仿真.因此，本文结合行人在斜坡上运动的特点，对经典SFM 在人群速度差异与异质性、行人摔倒受伤及行人不耐烦心理等方面进行改进.

2.2 考虑人群速度差异与异质性

第1 节中提到行人在斜坡上运动的动力是与地面的静摩擦力f与重力G下滑分量的合力，其功能与SFM 中的自驱动力相同，因此，本文将自驱动力视为f与G下滑分量的合力，行人期望速度vi0参考Tobler[21]数据，按式（5）进行计算.由于行人个体的差异性，每个人的vi0不完全相同，可认为服从正态分布.

式中：σ1为标准差.

行人是二维平面上不同宽度的椭圆，经典SFM将行人形状近似为圆形以提高计算效率[27]，但原模型未考虑到行人的体型与质量之间的关系.由于人体密度几乎相等，更大的质量意味着更大的体积，也意味着更大的横切面积，即行人半径应随着行人重量的增加而增加.假定行人半径和质量分别在[0.25,0.35] m 及[50,80] kg 内均匀分布，关系近似表示为

2.3 考虑行人摔倒与受伤

人体重心偏离其支撑面超过半个脚掌（约12～14 cm）时可能摔倒[28]，如图3 所示.

图3 行人摔倒示意Fig.3 Process of pedestrian fall

行人自由行走时，高龄、女性、既往病史、恶劣天气、不平整的路面及道路坡度[9,29-30]等各种因素均会增加摔倒风险，但在拥挤的人群中，推搡是引发摔倒的主要原因.受到推搡的行人上半身会产生瞬时加速度，致使其重心偏离支撑面，若平衡能力较差（即质量低，体积小，支撑面小）则会摔倒.同时，在坡道上，人体重心与支撑面自然偏离，受到推搡后更易摔倒.

因此，提出摔倒概率公式（式（7））模拟推搡行为，行人瞬时加速度、质量以及道路坡度为摔倒的主要影响因素，其余对摔倒无决定性作用的为随机因素.公式中，各项常数的确定以重心偏离支撑面为依据计算.各参数若超出取值范围，则取离结果较近的边界值.

式中：Pi为行人i摔倒的概率；ai为行人i摔倒时的加速度，m/s2；kθ为坡度摔倒系数，在[0,1]内取值，随着坡度的增加，kθ的取值增大；ε为难以量化且无决定性影响的随机因素，ε～N（0,），为简化考虑，后续计算取σ2=0.

行人摔倒后会成为障碍物，暂时无法运动，短暂时间Ts后起身继续运动.

除摔倒外，密集人群中个体的物理交互作用还会形成聚集力链，导致人群压力增加，进而造成行人受伤[31].根据相关研究推算[26,32]，行人承受径向压力与其周长比值超过1 600 N/m 时受轻伤并减缓行动速度，超过3 800 N/m 时会造成骨折等重伤无法运动.由于受伤的具体情况复杂，可近似由式（8）计算行人伤势对其期望速度vi0(t)的影响.同时，若伤势严重，现有速度vi(t)瞬间变为0.

式中：Fji为行人i在时刻t-1 所受径向力大小，N；Ci为行人的周长，m.

同时，行人摔倒后会有一定概率受伤，受伤的概率Qi应同行人摔倒时的加速度呈正相关.若发生受伤情况，则其起身后运动速度应降低，如式（9）～（10）.

式中：qh为行人i受伤后期望速度的减少程度，在[0,1]内取值.

2.4 考虑行人的不耐烦心理

车道效应是相向行人流中典型的自组织现象，即异向行人相遇时会自发分离为数条步行方向相同的车道，如图4 所示.

图4 车道效应示意Fig.4 Lane effect

车道效应的产生能减少行人间冲突，提升通行效率[33]，Lee 等[34]将其产生的原因解释为同向的行人倾向于聚集，以减少来自异向行人冲突带来的阻力，进而提高行走的效率，即行人的跟随心理和避碰行为是车道效应产生的关键，并以此为基础，在SFM中加入跟随力和避碰力以模拟车道的产生.张琦等[35]认为行人的前摄决策致使车道效应产生，在CA 模型中加入潜在势能场（基于前方同向异向行人的行为建立）实现车道效应.值得注意的是，Helbing 等[33]提到车道效应是在人群无意识状态下形成的，大部分行人间无交流也非主动表现出分离行为.基于此，本文认为车道效应的形成偏向于“被动”而非“主动”，车道效应在行人不耐烦心理的驱动力产生.

现实中，当正常行走的行人被迫停止或缓慢运动的时间过长，会产生不耐烦心理[35]，这在高密度行人流中十分常见.不耐烦心理对行人的影响主要表现在两个方面，一是期望速度增加以期朝目标方向更快运动，二是试图横向移动以寻找前进机会.在不耐烦心理的驱使下，行人总会朝着能向前移动的位置靠近，无意识地完成了“聚集”的过程，形成车道效应，如图5.

图5 车道效应形成过程Fig.5 Process of lane effect formation

同时，不耐烦心理增加了人群中的不确定性.行人的不耐烦心理是一个渐进的过程，行人处于不耐烦状态的时间越久，行人变得越“暴躁”，因而其期望速度急剧增加.这种情况会使人群内部压力急剧变化（类似推搡现象），进一步造成行人摔倒和受伤.当行人开始快速运动后，其不耐烦程度逐渐减少甚至消失.

本文引入不耐烦因子刻画行人不耐烦心理，当行人连续Tim时间内实际速度远小于期望速度（|vi|

式中：n为行人i处于不耐烦状态的时间，s；kim为不耐烦因子.

同时，不耐烦行人的期望速度方向变为向附近能向前行走的行人位置靠近，如式（12）所示.

式中：pi(t)为时刻t行人i所在位置坐标；pj(t)为行人i前方3 m 范围内前进速度最快的行人j所在位置坐标；nio为行人i期望速度方向的单位向量.

当行人朝着期望方向开始逐渐运动（|vi|>vi0/5）时，不耐烦心理消失.

3 斜坡场景仿真

3.1 模型参数设置

在MATLAB 平台实现模型运行，模型各参数取值根据经典SFM 及经验提出，可根据实际仿真情况进行调整，如表1 所示.

表1 模型各参数取值Tab.1 Parameter values of the model

3.2 斜坡模型

地铁站双向换乘走廊为满足换乘需求而设计一定坡度，其特点为双侧封闭、行人相向运动、人群易随列车进出站发生规律性拥堵等.此场景可视为如图6 所示的双向斜坡理想模型，根据《地铁设计规范》[36]（GB 50157—2013）, 将模型设计为长20 m，宽5 m，坡顶及坡底平台面积25 m2.

图6 斜坡模型示意Fig.6 Slope model

模型双侧被墙体围住（行人无法在中途离开斜坡），斜坡坡度及人群属性（人群数量及个体特征）可根据需求改变.行人进入斜坡有2 种方式：一是以一定流量从两端平台连续流入（边界开放）；二是以一定初始密度一次性从两端平台进入（边界封闭）.

仿真界面如图7 所示，该界面为图6 的俯视图，上侧为坡顶平台及下行人群，下侧为坡底平台上行人群，左右两侧为墙体不可通行，中间为斜坡部分.除实时演示仿真过程外，该程序还能监测各行人状态并统计在窗口右侧.

3.3 封闭边界斜坡及行人流特性

3.3.1 模型有效性分析

封闭边界相向行人流疏散过程可分为3 个阶段，即自由流动、减速死锁及加速流动，分别对应行人流接触前、中、后3 个时期，本模型能在保证运行效率的同时，较好复现车道效应等典型现象，如图8 所示.

图8 相向流各阶段示意Fig.8 Different phases of counterflow

图9 经典模型与改进模型对比（t=18 s）Fig.9 Comparison of traditional model and improved model (t=18 s)

3.3.2 斜坡行人运动特性分析

应用改进模型进行多次仿真并分析结果，分析指标如表2 所示.

表2 分析指标及含义Tab.2 Analysis indicators and meanings

分别在坡度θ= 0～10° （步长为1°），行人初始密度ρ0= 0.20～1.60 人/m2（步长为0.20 人/m2）的条件下进行10 次仿真，并对行人平均运动时间取平均，结果如图10 所示.

图10 不同密度、不同坡度下的行人平均运动时间Fig.10 Average movement time of pedestrians under different densities and slopes

可以看出，不同的θ和ρ0，行人的运动特性均有所差异，下面依次进行分析.另外，不耐烦因子kim是本文为解决车道效应引入的重要参数，对其效果进行单独分析.

1） 坡度θ

坡度主要影响行人的自由流动速度，随着坡度的升高，各初始密度下行人平均运动时间均呈上升趋势，如图10 所示.

为进一步分析坡度θ的影响，在ρ0=1.00 人/m2的条件下多次仿真，得到各坡度行人平均运动时间统计，如图11 所示.

图11 不同坡度下的行人平均运动时间统计Fig.11 Average movement time of pedestrians under different slopes

组内标准差可以反映各坡度下行人平均运动时间的离散程度，进而表征运动过程中的不确定性.通过比较组内标准差发现，5° 以上坡度相比5° 以下坡度的平均离散程度增加1.18%，这表明坡度对行人运动的影响不仅仅体现在自由流动速度上，在较高坡度的场景下，行人发生意外的概率更大，给运动过程带来更大不确定性.

2） 行人初始密度ρ0

在我国传统的肉羊养殖过程中，在饲料加工利用方面的技术是较为匮乏的，通常是利用养殖地区秸秆资源来进行粗放式饲养，但是由于作物秸秆中所含有的木质纤维以及纤维素非常丰富，营养能量较低，使得在这种粗放式饲养的过程中肉羊对于秸秆的消化和吸收较为困难，不但会造成饲料的浪费，同时也不利于肉羊增重。为了更好的提升肉羊对秸秆的吸收，可以对秸秆进行发酵处理，通过微贮加工技术来有效的提升肉羊对于饲料中养分的吸收率，从而使肉羊可以迅速增重。

行人初始密度ρ0主要影响人群的拥堵程度，高初始密度人群的平均运动时间以及运动过程中的不确定性均高于低初始密度人群，如图10 所示.

在相同坡度下，ρ0升高造成相向流相遇时拥堵程度加剧，平均运动时间变长.同时，长时间拥堵会加剧人群内部压力，增加因挤压而造成受伤的风险，提高运动过程中的不确定性.图12 为在坡度5° 的情况下进行10 次仿真后，各初始密度总计受伤情况统计，可见随着ρ0的增加，受伤人数显著增加，行人受伤率从0 增加至43.75%并呈加速趋势.

图12 不同行人初始密度下的受伤情况统计Fig.12 Injured pedestrians under different initial densities

3） 不耐烦因子kim

不耐烦因子kim用以刻画当行人处于不耐烦状态时，其内心变得更“暴躁”的倾向，更大的kim意味着更激进的行走策略.然而，更激进的行走策略并非意味着更高的运动效率.

ρ0=1.20 人/m2，θ=5° 时，不同kim的运动效率及人均意外发生率统计如图13.结果表明，不耐烦因子每增加1，人群总体运动效率平均降低约9.0%，人均意外发生率平均增加约7.6%.当不耐烦因子达到5 时，人群总体运动效率降低至33.0%，人均意外发生率增加至38.0%.这与以往文献房间内疏散的主流结论不同，过去认为一定程度的恐慌情绪（恐慌情绪也会带来期望速度的提高）有助于疏散，恐慌情绪超过一定限度时会不利于疏散，这也被称为“快即是慢”效应[26].斜坡上观察到的现象不支持此效应，可能的原因是过往文献未考虑意外发生的情况，虽然适当的不耐烦心理有助于期望速度的提高及车道效应的形成，但人均意外发生率也在增加，发生意外情况对运动效率的降低作用大于车道效应的提升作用，因此，不耐烦心理对斜坡行人运动只有负面影响.

图13 各不耐烦因子下的人群运动效率及人均意外发生率Fig.13 Movement efficiency and per capita accident rate of the crowd under different impatience factors

3.4 开放边界斜坡相向行人流基本图

行人流基本图是行人流处于平衡状态时流量、密度和速度三者之间的关系[37]，绘制基本图对系统容量、行人流特征的把握有重要意义.设置斜坡长20 m，宽5 m，行人以逐渐增加的流量连续不断从斜坡一端进入，并从另一端离开，如图14 所示.统计不同坡度下行人流的基本参数（流量R、密度ρ、平均速度V），如式（13）～（15）所示.

图14 开放边界斜坡仿真场景Fig.14 Simulation scenario of open boundary slope

式中：PH为时间T内通过横截面H的行人数；B为斜坡宽度；L为斜坡长度；PT为时间T内斜坡上行人总数.图15 为不同坡度下的流量-速度散点图，将该坡度下数据分箱处理取平均值后拟合得到趋势线.高坡度场景下行人运动过程混乱，数据点散乱，趋势拟合结果无统计学意义.中低坡度下，流量-密度关系呈先上升后下降的趋势，平均流量在行人密度为0.52 人/m2左右时达到最大，且同密度下平地上的流量整体高于有坡度的场景，其最大流量可达到0.55 人/(m•s).

图15 各坡度下的流量-密度关系Fig.15 Flow-density relationship under different slopes

图16 为不同坡度下的速度-密度散点图，各坡度趋势线通过一次多项式拟合得到.总体而言，速度-密度关系呈下降趋势，低密度场景下，坡度的增加会明显降低平均速度，相对于平地，自由流动时5°和10° 坡度的平均速度分别降低6.57%及35.96%；随着密度的升高，5° 和10° 的平均速度差值逐渐缩小，直到当密度为1.50 人/m2时基本重合.同时，更高密度下平地和坡道场景的平均速度更加接近.

图16 各坡度下的速度-密度关系Fig.16 Speed-density relationship under different slopes

需要注意的是，高坡度高密度条件下的数据点较少，因为当密度高于1.50 人/m2时，行人发生意外的情况大幅增加，大量摔倒和受伤的行人堵塞道路，致使其余行人无法流动，结束仿真.这也是导致高坡度流量-密度关系趋势不如平地明显，及高密度下各坡度平均速度比较接近的原因.

4 结 论

本文通过建立一个改进社会力模型实现了斜坡相向行人流仿真.该模型考虑斜坡上行人的速度、摔倒受伤状态及不耐烦心理，复现相向行人流典型自组织现象，相比经典社会力模型更真实有效.通过在斜坡场景下的仿真，得到以下主要结论：

1） 行人平均运动时间随坡度θ及行人初始密度ρ0增加呈上升趋势.

2）ρ0的增加会加剧相向流相遇时的拥堵程度，进而增加行人受伤率，ρ0在1.60 人/m2时行人受伤率高达43.75%.

3） 不耐烦心理会让行人在拥堵状态中变得“暴躁”，进而采取更激进的行走策略，虽然不耐烦心理有助于车道效应的形成，但由于意外情况的随之增加，会降低运动效率.

4） 斜坡行人流基本图中，中低坡度下流量-密度关系呈先上升后下降的趋势，高坡度下流量-密度关系趋势不明显；速度-密度关系呈下降趋势，高密度下各坡度平均速度比较接近.

本文模型为斜坡相向流动态仿真提供了量化方式，对斜坡上人群管理、安全疏散有一定借鉴作用.但由于缺乏大量实证数据验证，模型仍存在优化空间，后续可通过相关场景下的实证实验收集数据以进一步进行参数校准.