尝试教学研究新路径 践行数学教育新要求

【摘 要】为进一步改进和提高数学教育教学质量，新课标指明了方向，新教材提供了示范，但在一线的实际教学中与国家的要求还存在着一定的距离.通过课堂转型，作业创新研究，重视数学语言教学等途径，进行尝试与实践，不断达成或提高教学效果.

【关键词】研究性学习课堂;作业多样化;数学语言教学

培养学生的数学学科核心素养，已成为目前数学教育教学的首要任务.但是在有关培训的讲座中，听到最多的还是一些“新说法”；在有关新著作、有的中学数学期刊文章中，看到的是一些“晦涩难懂”的指教；在教学一线的实践中，“标语、口号”不少，实际做的却不尽人意或是另外一回事.

當下越来越多的老师正在成为别人研究成果的消费者或模仿者，拿来主义者，而非产品的生产者.如与外地区学校联考就是其中一例，外地的试卷是其阶段性针对该地区的学生实际而命制的，而并非针对我们的学生实际.虽然本不想这样做，但如果不尝试实践教学研究新路径又能怎么样呢？此方法不灵了，再想个新办法.我们总是在不断提口号、订制度、搞活动中前进.

新课标、新教材、新高考呼唤新教学，我们要做教学变革的践行者.教师要与时俱进，但也不要指望观摩一节课、听一次讲座、参加一个教研活动、读几篇教研文章就会使自己的教科研水平一下子提高多少.而首先要静下心来研究备好每一节课，上好每一天的课，改好每一次的作业，再是记下自己觉得有益的事、问题以及处理问题的数学思想方法等，不断实践，日积月累.

尝试研究新途径，本人也没有什么特别与众不同的做法，事实上多年来的实践证明也不会有什么“高效、奇效”的方法，如果有那也是昙花一现.只是在继承我国传统的因材施教、启发式教学上“依标施教”“交流式”教学，侧重于教与学的某个方面做了一点思考和实践.

1 努力将课堂转型为师生共同参与探讨研究性学习的新型课堂

北师大顾明远教授指出，教育的本质在某种意义上来讲就是培养学生的思维，而课堂是培养学生思维的最好场所.培养学生思维，提高教育质量，从课堂教育入手.教学的主阵地在课堂，我们要努力将课堂转型成研究性学习的课堂，与学生同步分析、思考、探索，守正创新.这就需要对教学内容的呈现方式和课堂结构的设计进行新的尝试和实践，减少有套路、老问题的分析讲解，多增加一些研究性学习问题的讨论，增加课堂教学的“开放度”，少“习题化”课堂.

如专题或微专题是研究性学习课堂的常见教学设计：（1）数学核心素养方面如空间想象的设计；（2）数学思想方法方面如类比的设计；（3）数学基本技能方面如问题串（问题链）的设计；（4）数学思维能力方面如概念教学的设计等.这当中有交集，仅是聚焦于某个方面.

案例1（1） 正弦定理的引入（片段1：“退而求其次”）［1］.

下面的问题尽量让学生说或写（在黑板左右对应图形下方分别板书）.

边角关系（探索）：任何三角形中：C>Ac>a，b<cB<C（大角对大边，小边对小角）.

直角三角形中： sinA=a/c，sinB=b/c，sinC=1=c/c（或写成a=csinA，b=csinB）.

cosA=b/c，cosB=a/c，cosC=0．tanA=a/b，tanB=b/a（鼓励学生，充分地让学生说、写）.

注 课前不要求学生预习，课上也不允许学生翻看教科书（在苏教版新教材中也没有上述内容）．老师接着在黑板右边斜三角形（图1）的下方写上一个醒目的“？”（触及课题）．

教师提出问题：直角三角形中边角关系的结论在斜三角形中都不能直接的成立，那么能否退而求其次，其中间接的关系有成立的吗？如从sinA=a/c，sinB=b/c，能得出a/sinA=b/sinB，即asinB=bsinA等等？自然过渡，引出正弦定理.

设问（循序渐进）：在图1中能找到asinB，bsinA；csinB，bsinC的几何意义吗？让学生思考并上黑板尝试画出（添加辅助线——高线）．这里教学重点得到了体现，难点得到了突破．

（片段2：“向量实数化”）

我们知道要使向量a=OA“变成”实数，可以通过数量积“自乘”a2=OA2∈R，或者“它乘”a·j=OA·j∈R来实现.

在△ABC中，因为AB=AC+CB，所以

①AB2=（AC+CB）2，展开即得余弦定理c2=a2+b2－2abcosC；

②AB2=AC·AB+CB·AB，得c2=bccosA+accosB，即射影定理c=bcosA+acosB；

③若j是与AB平行的单位向量，则AB·j=AC·j+CB·j，即c=bcosA+acosB；

若j是与AB垂直的单位向量，则由AB·j=AC·j+CB·j，可得0=bcos（90°－A）+acos（90°+B），0=bsinA－asinB，即正弦定理a/sinA=b/sinB；

若j是满足〈AB，j〉=θ的单位向量，则可得ccosθ=bcos（A+θ）+acos（B－θ）.上述分别是θ=0或θ=π，和θ=π/2的特殊情形.

案例1（2） 异面直线所成角的定义（片段）［2］.

在图2中，我们知道AB与A1D1，AB与A1C1都是异面直线，再用两根棒针在空中旋转演示，试问它们在空间的位置有什么区别呢？如何用数学语言合情合理地刻画（度量）不同位置情形的两条异面直线呢？能否类比初中相交直线进行描述？自然引出两条异面直线a与b所成的“角”的概念．

让我们用联系运动变化的观点，来研究图3中两个图．数学本质往往没有写在教材上，需要我们自己去体会和领悟．将两条异面直线“回归”（平移）共面，渗透空间问题平面化的思想，再用平面几何知识刻画度量（这比教材中从空间任取一点O，引两条异面直线的平行线定义来的自然）：

（1）由等角定理可知，角的大小与O点的位置选择无关．为了方便，通常将O点取在其中一条直线上（如有关线段的中点、端点等）；（2）如果所成的角为90°，则称异面直线a与b垂直，记作a⊥b，并且得到一个很常用的结论：a⊥b，b∥ca⊥c；（3）两条异面直线所成角的范围为0，π/2．

案例2 函数单调性的呈现方式与拓展应用.

定义：设函数y=f（x）的定义域为A，区间IA.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f（x1）<（>）f（x2），那么称y=f（x）在区间I上单调递增（减），I称为y=f（x）的增（减）区间.

2 从课堂研究到作业研究，彰显作业的作用，放大作业的功能

经典的课堂案例我们欣赏、学习、研讨过不少，但是作为教与学之间不可缺少的重要纽带——作业，长期以来却被“遗忘”一边，重视、研究、利用的程度不够.如今在新课程、“双减”背景下得以彰显，它的功能与力量逐渐放大.

目前数学作业存在的问题：作业的随意性太大，缺乏目标意识；作业脱离学情，不注意难度或难易把握不住；作业没有试做的习惯，更不去认真推敲；作业缺乏改编创新，抄袭陈题；作业不能及时批阅、反馈（纠正）和巩固等．

尝试有效的改进方法，本人也没有什么特别与众不同的做法，只是在传统做法的基础上做了一点改良．布置一些课堂上与学生一起学习、共同研究或探索过的问题（主要是例题、练习题等）的改编题、引申题等．尽可能体现一定的层次性，尽量少一刀切．根据教学内容及课堂教学的实际，作业的布置灵活多样．

在课后让学生做什么样的习题，做多少才能达到“精炼高效”上本人倾注了很多时间．凡交给学生练的都事先做一遍，将不适当的习题（比较偏、怪、难、繁的，陈旧的、重复的、以后做简便的等）毫不犹豫的删掉，教师不事先做一遍是体会不到的．

案例5 （1）去掉本节课学案后面作业［3］（或配套资料××页练习）中的××条、××条（以减轻学生的课业负担）；（2）将某一题的某个条件或某一题的某一小问改为……，或将课上讲的某一问题再增加一小问……；（3）有时会根据课堂观察、基于课堂真实的学情，将课堂上的例题或课本上典型的习题或优秀的高考试题进行改编等，另外适当补充一两条；

（4）概念多的课或实践性、内容研究性较强的课就要求交一自选作业或数学小文章，如建議学生通过学校图书馆查阅有关资料摘抄或上网下载与教学内容相关的信息整理等．现实一点，学生能够做到．

尽量做到少留作业，难度根据学生的反映不断变化，学生很喜欢，每次布置练习时，他们都会热切的期待．我们要做一名“作业设计师”，提供一些值得同行相互学习、借鉴和推广的“作业范例”，如研究如何设计情境题、开放性探索性试题、数学结构不良试题、纠错题，或是课堂问题的延续等等，每周尽可能高质量地设计1-2次．

案例6 “直线与方程”的一次作业：判断下列命题真假，如果是假命题，说明理由.

1．平面上任意一条直线都既有倾斜角α，又有斜率k．

2．若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等；反之，若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等．

3．经过两点P1（－2，a）与P2（b，3）连线的斜率k=3－a/b+2．

4．直线xsinθ－ycosθ+1=0的倾斜角为θ．

5．直线l过点P（1，3）且到点Q（2，1）的距离为1，则l的方程为3x+4y－15=0．

6．已知集合A=（x，y）y－3/x－2=4－3/3－2，B={（x，y）|y=x+1}，则A=B．

7．过点（4，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是x+y－7=0．

8．直线l1：（a+2）x+（1－a）y－3=0与l2：（a－1）x+y+2=0垂直的充要条件是a=-1.

9．设直线l的方程为（m2－2m－3）x+（2m2+m－1）y－2m+6=0（m≠－1），

坐标原点到直线（a2+1）x+y-a2=0的距离的取值范围是［1，2］.

10．因为点（x0，y0）关于直线y=x+m的对称点为（y0－m，x0+m）；同样可求证点（x0，y0）关于直线y=－x+n的对称点为（－y0+n，－x0+n）．所以点（－2，3）关于直线y=2x－1的对称点为（2，－5）．

案例7（探究） 人教版新教材：构造其它可用解析式y=x（10－x）描述其中变量关系的问题情境.

苏教版新教材：已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域为［1，4］，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数.

人教版、苏教版新教材：设a，b是给定实数，函数f（x）的定义域为A.x∈A，都有（1）f（a－x）=f（a+x）；（2）f（2a－x）+f（x）=2b.问此函数的图象分别具有怎样的对称性？说明理由.

作业既是一次教学全流程的终结性环节，也是不可缺少的关键环节，更是实现教学目标的“最后一公里”.由于作业是完整课堂的有机组成部分，所以作业研究可以被视为课堂研究的延伸、拓展和深化，是课堂研究新的拓展点、深化点和生长点.如，利用作业案例导入新课是一个非常棒的做法.

为了取得实效，还要充分利用、有效使用现代信息技术工具，它和作业设计与实施有关，尤其是服务于作业布置、批改与评价，也是提供典型范例的现实需求.3 重视数学语言教学，加强数学文字语言、符号语言、图表语言间的转化训练数学语言具有准确性、简约性、应用广泛性等特点，从形式上可分为文字语言、符号语言和图表语言三类，并具有表达功能、应用功能和思维功能.数学语言既是数学思维的载体，又是数学思维的具体体现.斯托利亚尔提出：“数学教学也就是数学语言教学.”［4］能否运用恰当、准确的数学语言有逻辑地表达、交流，体现了数学学科素养的高低．学会正确、合理地使用数学语言是数学学习的一项基本而重要的任务.

目前中学生在“读、说、写、画”数学方面的能力表现欠佳，从教学实际情况看，数学语言的教学还存在种种问题：书写较随意，表述不规范，意义不了解，思维不严谨，转换不灵活；从重视程度看，师生为了应试中、高考，在数学语言表达训练上认为不值得花功夫等．

在义务教育和普通高中数学课程标准中，凝练提出的数学学科核心素养：数学抽象（基于初中生实际，这一素养在义务课标中要求低、不明显）、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析，以及数学学业水平质量中虽然没有明确提出“数学语言教学”，但在每个核心素养给出的详细具体表述中，几乎都有“数学语言表达”的教学要求（多达十多处）：

“用数学语言对数学抽象予以表征”“提出命题，探索和表述论证过程，有逻辑地表达与交流；增强交流能力”“用数学语言表达问题．学生能有意识地用数学语言表达现实世界”“利用几何图形描述问题”“规范化思考问题”“基于数据表达现实问题”．在高中数学学业水平质量中有关数学表达的描述也是非常多且详细的．如其中思维与表达——表达的严谨性和准确性；交流与反思——能够用数学语言直观地解释和交流．

人教版、苏教版新教材均有体现，比如阅读、链接等，但还不够凸显，可以充分利用学校图书馆资源，发挥图书馆的育人功能．本人从中提出了“数学语言教學”，要重视中学数学语言教学的观点，使数学核心素养的落实有了一个很好的抓手（获得2021年江苏省教学成果二等奖）.

将图形语言（首先要能识别）表示成符号语言（函数式），再转化为文字语言（用数学语言表达客观世界）.这才真正体现课标的要求，体现教书育人的宗旨.

要根据不同的数学语言形式采取不同的教学策略，打好数学语言基本功.常见的文字、符号、图表三种形式的数学语言的学习是相互制约又相辅相成的，文字语言是基础，符号语言是抽象的，图表语言是直观的.加强数学阅读，提高数学语言表达能力.突破狭隘的数学语言能力培养观，重视数学模型意识培养.

引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.学生才能够具备适应其终身发展和社会发展需要的关键能力（能使用数学语言）、必备品格（习惯正确的使用数学语言）和价值观念（坚持把数学语言使用规范灵活）．才能培养出有责任担当、造福国家、服务社会高素质的科研型人才．

参考文献

［1］黄桂君，陆永宏，桂楚．“正弦定理”教学设计与课堂纪实．中学数学研究［J］.2021（07）：19.

［2］黄桂君，叶超．数学教学要自然简约求实．中学数学杂志（高中）［J］.2018（05）：22-23.

［3］黄桂君．高中数学作业现状及其改进的尝试．中学数学杂志（高中）［J］.2011（09）：5.

［4］黄桂君，王新珍．要重视学生数学语言表达的教学［J］．数学教学通讯，2019（04下旬）：10.

作者简介 黄桂君（1964—），男，江苏省特级教师，中学正高级教师，连续3次获得江苏省教学成果奖二等奖、江苏省教育科学优秀成果三等奖一项；个人教学思想入选苏派著名特级教师教学思想录，“江苏人民教育家培养工程”首批培养对象，第八届“苏步青数学教育奖”获得者，“全国优秀教师”等．