浅谈复变函数中初等多值函数教学的几个要点

卜玮平 刘红良

【摘要】在复变函数的教学中，初等多值函数是其中的难点.文章以根式函数为例，并结合笔者的教学实践，对初等多值函数中支点和支割线的选取及单值解析分支的确定与计算等要点进行了讨论.

【关键词】初等多值函数；支点；支割线；单值解析分支

【基金项目】湖南省普通高等学校教学改革研究项目[立项编号HNJG-2021-0422]

引 言

复变函数是大学数学中继数学分析后的又一门重要分析类课程，其相关理论已广泛应用于众多学科.由于所考虑的自变量为复数，这使得一些函数通常呈现多值性，这是复变函数与数学分析这两门课程的一个重要区别.事实上，在复变函数中多值函数具有广泛应用.然而，实践教学表明初等多值函数这部分内容是众多学生学习的难点，也是部分初次讲授复变函数的青年教师教学中感到吃力的地方.文章主要针对初等多值函数中支点、支割线和单值解析分支等内容并结合教学实践中学生存在的问题展开讨论，浅析教学中需要注意的一些关键点.

定义1 一般地，具有这种性质的点，使得当变点z绕这点一整周时，多值函数的函数值发生改变，也就是说，当变点回转至原来的位置时，函数值与原来的值相异，则称此点为多值函数的支点.

一般地，寻找多值函数的支点是教学中的一个难点.下面笔者通过几个多值函数来说明支点的求法.

通过例1中的4个小题，可以得出判断某一点是否为支点时所要注意的几个关键点.首先，由（1）和（2）可知当自变量z绕某一点一整周时，关注函数w的辐角是否起变化，这是该点成为支点的前提.其次，比较（3）和（4）可知某一点为支点的条件是函数w的辐角变化不能为2π的整数倍.再次，由（3）可知当考查自变量z绕某一点一整周时应该选取充分小的邻域进行考查，这样可以避免出现误判，例如当考查1是否为支点时所取邻域包含0和1，这将导致函数w的辐角改变量为2π的整数倍，从而得出1不是支点的错误结论.

定义2 一般地，用来割破复平面，借以分出初等多值函数w=f（z）的单值解析分支的割线，称为w的支割线.

从支割线的定义可以看出，其本质是为了限制自变量来达到限制函数w的辐角变化的目的（此时w的辐角不变或仅改变2π的整数倍）.事实上，对于给定的初等多值函数，支割线的选取方法并不唯一，这也是学生难以理解该知识点的一个原因.下面笔者针对例1中的4個例题来说明支割线的选取方法.

例2 给出例1中各函数支割线的一种选取方法.

解 （1）已知函数的所有支点为0和∞，显然只要将复平面沿着0和∞的任意连线割开就可保证函数的辐角值不发生变化，这是因为按照上述方法割开的复平面将使得自变量z不能绕支点一整周（即割破的复平面上z的辐角的连续变化范围小于2π），这就保证了函数的辐角值不起变化.特别地，笔者可取沿着负实轴连接0和∞的线作为支割线.

（2）类似于（1）中的讨论，为了使得在割破的复平面上z-a的辐角的连续变化范围小于2π，只需沿着任意连接a和∞的线割破复平面即可.因此，笔者取沿正实轴连接a和∞的线作为支割线的一种选取方法.

（3）由（1）和（2）可知，一种最简单的方法是选用沿着正实轴连接0和∞的线作为支割线，因为此时在割破的复平面上z，z-1，z-2，z-3，z-4的辐角连续变化范围均小于2π.然而，应该指出这种支割线的选取方法割破了复平面上一些本可不被割破的地方.事实上，可取沿正实轴分别连接0，1和2，3的线段及连接4和∞的射线构成支割线.下面笔者说明这种取法的合理性，此时z只有绕着0，1和2，3形成的线段一整周时，z（z-1）（z-2）（z-3）（z-4）的辐角值才会起变化.具体而言，当z绕着0，1形成的线段逆时针一整周时，仅z和z-1的辐角值起变化（即均增加2π）；当z绕着2，3形成的线段逆时针一整周时，仅z-2和z-3的辐角值起变化（即均增加2π）.这表明尽管z绕着分别由0，1和2，3形成的线段一整周时w的辐角值会起变化，但其辐角的增加值为2π的整数倍，因此w的数值不发生变化，即上述支割线的选取是合理的.

（4）根据（3）的分析，显然可取沿着正实轴连接0和3的线段作为多值函数的支割线，也可取沿着正实轴连接0，1的线段及连接2，3的线段作为支割线.

通过上述4个例题，可得选取支割线时所要注意的几个关键点：第一，多值函数支割线的选取并不唯一；第二，复平面上的支割线可由多段构成；第三，当取复平面上多段构成支割线时，必须保证复变量z绕每一段旋转一周时函数w的辐角改变量为2π的整数倍.

现比较上述三种解法.第一种解法的错误原因在于没有确定正确的单值解析分支，即可理解为将单值解析分支函数自变量的取法搞错了.事实上，如果例3中所取的支割线为沿负实轴连接原点z=0和∞的线，则第一种解法是正确的.这表明在实际解题中如果能够准确写出单值解析分支函数，则应该注意函数自变量的取法，同时在解题时应该特别注意题设中所给定的是哪一种支割线，因为支割线的选取不一样将可能使计算中所得的结果不同.对比第二种与第三种解法可知，尽管它们都能得到正确的结果，但是第二种方法需要知道单值解析分支的准确表示形式，然而实际当中存在众多无法准确写出单值解析分支的情形，因此在教学中笔者推荐用第三种解法进行解题.

总 结

教学实践表明，初等多值函数是复变函数课程中学生学习感觉最吃力的内容之一.文章针对初等多值函数的支点、支割线和单值解析分支的确定与计算这些学生难以理解的内容进行了讨论.通过结合例题的解答，笔者进一步阐释了支点、支割线和单值解析分支这些概念，并指出了教学中应该注意的一些地方.

【参考文献】

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