CO2色散干涉仪上相位差校正方法的研究

厉天扬，陈兴杰

(上海工程技术大学城市轨道交通学院，上海 201620)

0 引言

电子密度是聚变等离子体的重要参数之一，聚变的反应率与等离子体电子密度的平方成正比，高密度下的等离子体运行更是各个聚变装置希望达到的目标[1]。目前用于测量等离子体密度的HCN 干涉仪，波长为337μm[2]，在弹丸注入导致等离子体密度急剧上升时，需要进行16～20 次的密度翻转[3]，这提升了等离子体密度测量错误的概率。短波长干涉仪密度翻转次数少，然而聚变装置运行过程中产生的机械振动将导致短波长干涉仪测量结果产生极大误差。

CO2色散干涉仪的波长为10.6μm，具有条纹翻转次数少，同时能够抑制机械振动的优点[4]，因此被应用于等离子体密度测量中。CO2 色散干涉仪运行的过程中，无法保证激光束调制的谐波与光学弹性调制器(PEM)产生的方波传输的同步性。中国科学技术大学吴彤宇先生针对此问题提出一种相位差校准方法。此方法通过寻找两路信号的初始相位差，根据两路信号的初始相位差来对输入的谐波信号进行相位差补偿，来保证参考测量信号的同步性。此方法通过遍历的方式寻找两路信号的起始相位差，耗时1s[5]，实时性较差，无法保证CO2 色散干涉仪在运行过程中方波与谐波的传输的同步性。

针对上述问题，本文提出了一种基于正交解调的相位差实时校准方法，用于实时校正参考信号与测量信号之间传输不同步导致的相位差。并将该相位差校准方法在XC7K325T-2IFFG900 型FPGA 上实现。该相位差校准算法能够进一步提升等离子体密度的测量结果，校正相位差的速度为原本的3600 倍，相位测量精度可达0.7°。

1 CO2色散干涉仪测量原理

CO2色散干涉原理图如图1所示[6]，干涉仪系统包括了激光器，倍频晶体，光学弹性调制器，等离子体，滤光片，光电探测器以及数据采集与处理系统。

图1 色散干涉仪原理图

CO2色散光学部分的工作原理为：

CO2 激光器提供一束初始偏振方向为垂直的激光(频率为ωm)。该束激光经过光学倍频晶体(SHG)以后，产生一束偏振方向为水平的倍频波[7]。倍频波通过了光学弹性调制器(PEM)与等离子体以后，基波经过第二个光学倍频晶体(SHG)，产生第二路倍频波。此时，两路倍频波的相位可以表示为：

其中，为激光经过等离子体后带来的相位变化，，由等离子体线密度积分决定，4π∆为干涉仪运行过程中机械振动导致的光路长度变化带来的相位影响，g sin(ωmt)表示了激光经过光学弹性调制器(PEM)产生的相位变化。ψ1与ψ0分别为两个倍频波的初始相位。

两路倍频波经过滤光片(filter)以后，在探测器处混频，可得到基波频率为ωm的多次谐波I：

可以得出通过混频的方法，机械振动的影响2πω∆l c已经被消除。为了求出多次谐波I中的基波与二次谐波。对多次谐波进行傅里叶展开，提取出频率为ωm与2ωm的信号的强度，可以表示为以下形式：

其中，J1(g)和J2(g)分别对应了第一类贝塞尔函数。当g=1.3149 时，J1(g)=J2(g)。最终可以得到测量结果为：

CO2色散干涉仪数据处理部分的工作原理为：

探测器端产生的周期性谐波在去除直流分量与噪声后，经过傅里叶展开后可以表达为[8]：

为了提取谐波中的基频项强度，将输入谐波与sin(ωmt)混频后展开可得：

取一个谐波周期内输入谐波与sin(ωmt)的互相关结果可得谐波中的基频项：

同理，通过提取谐波中的倍频项强度，将输入谐波与cos(ωmt)混频并展开后可得：

取一个周期内的互相关结果可得谐波中的倍频项：

通过互相关函数，可得到一个谐波周期内的基于频率ωm的基频项强度与倍频项强度I1与I2的均值。其中，互相关函数可以用FIR低通滤波器代替，来提升测量结果的时间分辨率。然后根据公式⑹就可以求得离子体密度。

2 相位差校准算法的改进

第1 节的推论基于理想条件下，光学弹性调制器(PEM)产生的方波与光电探测器产生的谐波的传输是同步的。然而在CO2 色散干涉仪实际运行的过程中，由于探测器与光学弹性调制器内部的电路延迟，导致了探测器输出信号与光学弹性调制器输出信号输出时间不同步，产生了一个相位差θ。

此时输入信号可以表达为：

将输入信号分别与sin(ωmt)以及cos(2ωmt)混频，并分别求得一个谐波周期内的互相关结果。则求得基频信号与倍频信号的幅值分别为：

可见，相位差θ的引入导致了基频信号的幅值M1与倍频信号的幅值M2衰减程度不同，此时无法通过求两路信号的幅值比M12来求得等离子体密度。因此需要求得相位差θ，并基于该相位差构造两组波形sin(ωmt+θ)与cos(2ωmt+2θ)，用构造的两组波形进行混频，从而消除相位差θ对测量结果的影响。

为了避免因两路信号之间的相位差θ对测量结果的影响，同时提升寻找相位差θ的速度，本文提出了一种基于正交解调的实时相位差校准方法，此方法相比于遍历寻找相位差的方法，求得相位差的速度提升为原本的3600倍。

基于遍历方式寻找相位差方法的步骤如下：

⑴构造sin(ωmt+β)与cos(2ωmt+2β)两组波形。

⑵分别与谐波混频后低通滤波，求得滤波后的幅值M1与M2。

⑶将β从0°到360°的情况下依次混频，互相关，通过寻找比较在每个角度β下的幅值最大幅值M1max与M2max。

⑷通过M1max与M2max得出幅值所对应的角度β，便可以得到θ=β。

此方法消耗时间长，在所求相位差的精度为0.1°的情况下，寻找一次相位差需要混频3600 次，实时性差。针对此问题，本文提出的实时相位差校准算法在寻得正确的相位差的前提下，寻找相位差速度相比于遍历方式提升了3600 倍，同时算法复杂度低，利于FPGA实现。

实时相位校准步骤如下：

⑴分别产生两组频率为ωm的正弦波与余弦波，其表达式分别为sin(ωmt)和cos(ωmt)。

⑵将输入的存在相位偏移的谐波分别与sin(ωmt)和cos(ωmt)混频，可得以下公式：

取两路信号在一个周期内的互相关函数可得：

取两路信号的幅值比反正切，便可以得到相位差θ：

同理，产生两组频率为2ωm的正弦波与余弦波，也可以求得相位差2θ。最后，通过实时相位校正方法便可去除相位差θ的干扰。

3 相位差校正算法的FPGA实现

该相位差校正算法以125M 的时钟频率在型号为XC7K325T-FFG900-2I 的FPGA 上运 行，图2 为相位差校正算法的FPGA设计原理图。

图2 相位差校正算法的FPGA原理图

在图2 中，干涉仪信号与光学弹性调制器信号经采样率为20MSPS 的双通道ADC 采样后进入FPGA中。首先对输入信号进行降采样处理，采样率变为1MSPS。由于输入信号的频率ωm为50kHz，满足奈奎斯特-香农采样定理2ωm

滤波后的方波用于提供谐波的参考时间t，波形发生器基于t来生成混频波形。为了保证方波与谐波的处理同步性，通过长度为100 阶的移位寄存器(Shift Registers)向滤波后的方波提供0.1ms的延迟。

谐波经过降采样处理后，数据流向分为两路，一路暂存到FIFO 中，另一路用于实现相位差的校正。相位差校正通过将输入的谐波与sin(ωt+β)以及cos(ωt+β)混频，求出互相关的结果。通过将两路互相关结果进行反正切，就可以得到相位差θ。旋转坐标系算法(CORDIC)基于此相位差θ以及方波提供的参考时间t，生成两组解调波形sin(ωt+θ)与cos(2ωt+2θ)。将暂存在FIFO 内部的谐波与这两组解调波形混频，通过求两路信号混频后的互相关结果，最后求互相关结果的反正切值就可得到初始相位。将初始相位通过相位跳转算法(RPJP)处理后[9]，便可得到处理结果。

测量结果通过直接内存访问(Direct Memory Access，DMA)模块传输到上位机中，上位机接收到测量结果后将测量结果显示。测量结果通过DDR3控制器暂存到DDR3 中，放电结束后，DMA 模块经过AXI互联矩阵(AXI Interconnect)读取DDR3 内部的数据，通过PXIe 总线将数据传输到上位机的内存中。上位机接收DDR3 中的数据完成后，将测量结果通过以太网上传到中控系统中。

4 实验结果

图3 为电子学的实验平台，输入谐波与方波经ADC 采样进入FPGA 中，FPGA 将采样数据进行实时处理，同时将输入数据与处理结果暂存到DDR3内部，PXIe 机箱通过PXIe 总线获取FPGA 暂存在DDR3 上的处理结果。

图3 CO2色散干涉仪电子学实验平台

为了验证该相位差校正算法的效果，通过信号源产生一组已知相位变化的谐波与方波，将FPGA 的测量结果与已知的相位变化对比，从而求得测量精度。谐波与方波的表达式为：

在上述公式中，ρ0=2.6299，ωm=50kHz，sin(2πt)模拟了色散干涉仪运行过程中相位差θ的变化。

本文通过在MATLAB R2020b 的环境下生成后这两组波形后，将波形存储到RIGOL 公司生产的型号为DG4162 的信号源内，信号源通过读取存储文件并输出谐波与方波来模拟CO2 色散干涉仪运行过程中产生的信号。

通过PXIe 总线获取新的相位差校正方法的相位计算结果，并与参考相位变化θ(t)=(π12)t进行对照。实验结果如图4所示。

图4 信号源输入测量结果

从图4 实验结果可得，使用新的相位差校正算法的测量结果与参考相位变化θ(t)=(π12)t基本吻合，测量结果最大误差为0.7°，同时新的相位差校正算法能够对干涉仪运行及其相位变化进行实时校正。

其次在激光房内搭建光路，来模拟托卡马克装置放电的流程。在等到CO2色散干涉仪的产生了稳定的多次谐波后，通过电动平移台移动ZnSe 锲片，来模拟放电过程中等离子体密度的变化[10]，并且按照装置上光路实际设计距离来实现模拟测试，便可以得到变化的相位信号。图5为移动ZnSe锲片测得的实验结果。

图5 移动ZnSe锲片的测量结果

5 总结

本文提出了一种改进后的CO2 色散干涉仪上的相位校正算法，并将改进后的相位校正算法以125MHz 的频率在型号为XC7K325T-FFG900-2I 的FPGA 上运行。改进后的相位校正方法实现了相位的实时校正，相位校正速度为原本的3600倍。实验结果表明，改进后的相位校正方法能够可靠地跟踪等离子体密度的变化，测量精度可达0.7°。同时该相位校正方法能够正确测量因CO2 色散干涉仪上ZnSe 锲片的移动带来的相位变化。本文提出的CO2 色散干涉仪上的相位校正方法，可以进一步应用于托卡马克装置放电过程中等离子体密度的测量。