基于多维度变异学习与收散归优的鲸鱼优化算法

关燕鹏 李子鸣 贾新春

摘 要：針对鲸鱼优化算法（WOA）在解决高维、多峰、最优值非原点等问题时存在的收敛精度低、易被局部最优捕获等缺陷，提出了一种基于多维度变异学习与收散归优的鲸鱼优化算法（MLDOWOA）。首先，引入自适应权值以及优势个体干扰动态调整个体螺旋包围的方向，提高了算法的全局搜索能力和收敛精度；然后提出多维度变异学习机制对种群变异方向进行自适应规划，进一步扩大了算法的搜索范围；最后引入收散归优机制协调了搜索步长，帮助种群突破了中后期搜索停滞的局限。通过8个高维基准函数和4个固定维基准函数对MLDOWOA算法进行测试，结果表明同基本算法WOA、SSA以及改进的ACWOA、AWOA、MSIWOA、ADWOA相比，该算法在收敛精度和应对高维函数的能力上具有显著的优越性。将该算法应用于FOPID控制器的参数整定，并将实验结果同近年来该工程问题的研究成果进行对比分析，证明了该算法在FOPID参数整定问题中具有卓越的性能。

关键词：鲸鱼优化算法； 自适应权值； 优势个体干扰； 多维度变异学习； 收散归优； FOPID控制器

中图分类号：TP301.6   文献标志码：A

文章编号：1001-3695（2023）09-018-2674-07

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.02.0049

Whale optimization algorithm based on multi-dimensional variationlearning and distributed optimization

Guan Yanpeng， Li Ziming， Jia Xinchun

（School of Automation & Software Engineering， Shanxi University， Taiyuan 030031， China）

Abstract：Aiming at the shortcomings of low convergence accuracy and easy to be captured by local optimum when whale optimization algorithm（WOA） solved problems such as high dimension， multi-peak and non-origin of optimal value， this paper proposed a whale optimization algorithm based on multi-dimensional variation learning and distributed optimization（MLDOWOA）. Firstly， this algorithm introduced adaptive weights and dominant individual interference to dynamically adjust the direction of individual spiral surround， which improved the global search ability and convergence accuracy of the algorithm. Then， in order to further expand the search range of the algorithm， it used a multi-dimensional variation learning mechanism to adaptively plan the direction of population variation. Finally， it put forward the distributed optimization mechanism to coordinate the step size of search， so as to help the population break through the limitation of search stagnation in the middle and late stage. The test results on 8 high dimensional benchmark functions and 4 fixed dimensional benchmark functions show that， compared with the basic WOA， SSA and the improved ACWOA， AWOA， MSIWOA， ADWOA， the MLDOWOA has significant advantages in convergence accuracy and ability to cope with high dimensional functions. This paper used the MLDOWOA to tune the parameters of the FOPID controller， and compared the control results with the research results of this engineering problem in recent years. It proves the excellent performance of the proposed algorithm in FOPID parameter tuning problems.

Key words：whale optimization algorithm; adaptive weights; dominant individual interference; multi-dimensional variation learning; distributed optimization; FOPID（fractional order PID） controller

0 引言

群智能算法通过模拟自然界中生物种群的追捕、运动、等级机制、晋级与淘汰机制等构造出多种搜索优化方法。群智能优化算法有较强的稳定性和自组织性，已被广泛用来解决高维和目标函数非凸等复杂优化问题［1］。鲸鱼优化算法（WOA）是由Mirjalili等人［2］通过模拟鲸鱼捕食行为提出的一种新型元启发式算法，由于结构简单、兼容性强等优点在解决工程实际问题中有着出色的表现。Abbas等人［3］将WOA应用于图像的特征选择，相较于传统方法更大程度地降低了训练模型的复杂度。Falehi等人［4］将WOA用于优化SOSMC抑制器在抑制电力系统区域振荡过程中的不确定参数。Liu等人［5］通过WOA帮助聚类技术寻找最优聚类方案，提高了无线传感器网络的服务质量。然而，WOA在应对复杂多变工况下的实际问题时，存在收敛精度低、容易落入局部最优等缺陷。为此，黄清宝等人［6］提出一种同步余弦惯性权值与多项式变异策略，提高了算法的搜索精度和跳出局部最优的能力；Saafan等人［7］通过WOA移动策略与樽海鞘群算法移动策略灵活切换有效地解决了算法陷入局部最优的问题。

以上所述的改进对WOA的搜索性能虽然有一定的提升，但改进后的算法仍存在因为步长受限导致中后期搜索停滞、局部搜索不充分等问题。本文基于WOA本身存在的缺陷提出了一种基于维度变异学习与收散归优的鲸鱼优化算法。a）引入自适应权值以及优势个体干扰提高了算法的全局搜索能力以及收敛精度；b）引入多维度变异学习机制进一步扩大了搜索范围；c）引入收散归优机制协调了种群的移动步长，帮助算法突破中后期搜索停滞的局限。

3 实验分析

3.1 实验函数与参数设置

为了验证MLDOWOA的性能，本文将MLDOWOA同WOA、混合策略改进鲸鱼算法（MSIWOA）［11］、自适应动态鲸鱼优化算法（ADWOA）［12］、自适应鲸鱼快速优化算法（AWOA）［13］、人工蜂群混合鲸鱼优化算法（ACWOA）［14］、麻雀算法（SSA）［15］对于12个不同类型测试函数的搜索结果进行比较分析，其中不定维单峰函数、不定维多峰函数以及固定维多峰函数分别如表1～3所示。

3.2 变异学习参数分析

为了确定合适的变异概率，保证充分发挥变异性能的同时避免冗余计算，本文分别选择单峰函数F4和多峰函数F5对MLDOWOA在变异概率分别为0.1、0.4、0.7和1情况下测试结果的平均值（ave）、标准差（std）以及程序运行时长（time）进行分析，问题维度选择为500维，其余参数设置与3.4节一致，测试结果如表4所示。

通过表4所示的测试结果容易发现，当变异概率从0.1升高到0.4时，高维函数F4和F5性能指标的平均值和标准差都发生了明显下降，表明变异概率的升高显著提升了算法的搜索精度，随着变异概率从0.4上升到0.7，以及从0.7上升到1，算法的精度未发生明显变化。变异概率的升高同样导致了程序运行时间的延长，因此为同时保证变异充分性以及减少变异带来的冗余计算量，本文设置变异概率为0.4。

3.3 精度与搜索范围分析

优化问题的目的是搜索目标的最优值，而测试函数的理论最优值是先验确定的，因此本文利用个体各维度与理论最优相应维度位置间距离的变化来分析种群在迭代过程中的搜索精度以及种群的搜索范围。设维度j上的距离表达式如式（19）所示。

disj=|XT*j-Xj|（19）

其中：XT*j表示维度j上的理论最优位置。选择MLDOWOA与WOA对30维函数F5进行测试，j设置为1，计算dis1，绘制图像如图4所示。

从图4可以看出，WOA得到的dis1值在中后期保持在一个小范围中，表明其中后期搜索范圍较小，种群趋于集中，且最小值未突破10-4，表明该算法在中后期由于步长受限陷入搜索停滞。得益于收散归优机制产生的丰富而精细的步长，MLDOWOA在迭代中后期摆脱了搜索停滞并持续突破最小值，达到了10-10，表明MLDOWOA搜索到的最优值比WOA更接近理论最优值。一系列分布于100～102的距离值表明，收散因子使得个体取得了在中后期搜索最优值外围空间的能力，提高了算法在中后期跳出局部最优的能力。证明本文策略在提高算法精度的同时减缓了种群过度集中的趋势。

3.4 各算法性能对比

此处设置种群个数N=50，最大迭代次数max_t=500，为了测试算法应对高维问题时的表现，设置函数维度为30、100和500。各算法的参数设置如表5所示，每个算法独立运行30次，对得到的结果分别计算平均值（ave）和标准差（std）作为各算法搜索精度和稳定性的评价指标，得到的算法测试结果如表6～8所示。

所有的仿真实验均在CPU：AMD Ryzen 3 2200U with Radeon Vega Mobile Gfx、2.50 GHz主频的计算机设备上实现，软件环境为MATLAB R2018b（64 bit）。

通过分析表6和7容易发现，针对所给出的12个测试函数的测试结果，除ADWOA在最优值为原点的函数F1～F3上的表现与MLDOWOA持平外，对于其余函数，MLDOWOA均取得了最小的平均值和标准差，并且对于测试函数F1～F12，MLDOWOA均收敛到了理论最优值。对于500维的单峰函数F1～F4以及多峰函数F5～F8，算法精度分别达到了10-16和10-11，表明本文提出的策略显著提高了算法的收敛精度和稳定性。

随着维度的升高，除MLDOWOA和ADWOA对函数F1～F3的优化结果未受影响外，其他函数的测试性能都表现出不同程度的下降，对于多峰函数F6，维度升高导致ACWOA和AWOA测试结果的标准差从10-1和10-2上升至102和103，这两种算法开始变得不稳定。反观MLDOWOA，虽然其搜索性能也有所下降，但是对于高维函数F6仍能够在30次独立搜索中每次都得到测试函数的理论最优值，标准差从10-12上升至10-3，仍然远小于其他算法。这表明MLDOWOA在优化低维和高维函数时都拥有较高的收敛精度。

通過每个算法经过30次独立实验得到的迭代过程适应度均值绘制平均收敛曲线，其中部分曲线如图5和6所示。由图5、6可以看出，在优化多峰函数F5上，WOA、ADWOA、MSIWOA算法均陷入局部最优且未能跳出，而除MLDOWOA之外的其余算法在跳出局部最优之后由于步长受限导致搜索停滞。通过观察MLDOWOA的收敛曲线容易发现，迭代过程优化曲线在前期出现转折，表明MLDOWOA依靠维度变异学习机制和收散归优机制跳出了局部最优。对于100维函数F5，MLDOWOA在第73次迭代跳出局部最优，并分别在第104次和第165次迭代追上并超越ACWOA和SSA；对于最优值非原点单峰函数F4，MLDOWOA由于加入了优势个体干扰来增强搜索充分性，减缓了前期种群向最优位置聚集的速度，所以在前期的收敛速度略慢于ACWOA和SSA。但是，对于低维度和高维度的函数F4，MLDOWOA均取得了最高的收敛精度；对于100维函数F4，MLDOWOA分别于第76次和第129次迭代追上并超越了ACWOA和SSA，并且其收敛曲线在迭代全程以稳定的速度持续下降，这表明引入到局部搜索策略中的自适应权值以及收散归优因子使算法得到了随迭代灵活变化的搜索步长，使得本文算法在迭代中后期能够稳定精细地搜索，推动算法最终以高精度收敛到全局最优值。

3.5 FOPID参数整定

FOPID控制器是控制领域一种有着优秀控制性能的模型，相较于传统PID，FOPID将模型参数拓展到了五个，即在原基础上将积分和微分的阶次推广到了分数阶，从而扩大了PID模型性能的调整空间，使控制参数的调节具有了更高的灵活性；与此同时，控制参数的增加也带来了更高的设计难度。其传递函数表达式如式（20）所示。

G（s）=Kp+KIsλ+KDsμ（20）

其中：λ为积分阶次；μ为微分阶次。

为了测试MLDOWOA在实际应用中的性能，本文以寻找一组FOPID中的最优控制参数［KP，KI，KD，λ，μ］为目标，进行优化模型的搭建和测试。以找到控制偏差最小的控制模型为目标，优化模型的适应度函数Q设置为响应过程产生的误差总和，如式（21）所示。

Q=∫∞0e（t）dt（21）

算法优化FOPID参数的控制框图如图7所示。

本文设置参数的取值范围为：KP∈［0，200］，KI，KD∈［0，100］， λ，μ∈［0，2］，设置粒子数为N=6，待优化问题的维数为m=5，最大迭代次数为max_t=10。在执行变异时，由于各参数的取值范围存在差异，无法直接进行替换，所以在变异之前对维度位置进行归一化之后再执行变异，其表达式为

Xi，j2=Xi，j1-lbj1ubj1-lbj1×（ubj2-lbj2） +lbj2（22）

其中：lb与ub分别为优化问题的下界和上界；j1与j2分别为主动维度与被动维度索引。

选择一个典型的二阶被控系统为

Gp（s）=14.32s2 + 19.1810s+1（23）

文献［16］采用人工蜂群算法（ABC）设计的FOPID控制器为

CABC（s）=179.8920+12.4811s-0.5822+50.300s0.7501

文献［17］利用自适应布谷鸟算法（CS）设计的FOPID控制器为

CCS（s）=78.9279+80.7954s-0.3215+88.4179s0.6843

文献［18］通过改进麻雀算法设计的FOPID控制器为

CISSA（s）=148.8479+20.9524s-0.2825+76.4190s0.7843

本文通过MLDOWOA算法整定得到的控制器为

CMLDOWOA （s）=183.6831+69.30168s-0.1184+65.83443s0.8888

以上得到的四个控制器对被控系统的阶跃响应曲线如图8所示，对每个控制器对应算法的优化实验独立进行30次，取其响应曲线的性能指标——上升时间tr、总误差值Q、调节时间ts、超调量σ的平均值作为实验结果，计算调节时间的误差带选择为Δ=0.02。系统Gp（s）的指标如表9所示。

由图8和表9所示可知，MLDOWOA设计的控制器满足系统的响应要求，在系统响应曲线的四个指标上均取得了优于文献［16～18］中提出的控制器结果，保证了控制效果的快速性、准确性和稳定性。

4 结束语

为了弥补鲸鱼优化算法搜索不充分、收敛精度低、缺乏跳出局部最优的能力等不足，本文将自适应权值以及优势个体干扰引入局部搜索策略，弥补了原算法搜索方向单一的缺陷；同时提出了一种多维度变异学习机制以及收散归优机制，为中后期的种群提供了更广的可到达区域和更高的搜索精度，帮助算法突破了后期搜索停滞的局限。通过对12个基准函数进行测试表明，MLDOWOA能够在30次独立实验中得到所有算法中最好的搜索结果，并且在应对低维和高维函数时都表现出了优秀的性能。将一个典型二阶系统作为被控系统，利用MLDOWOA进行FOPID控制器的参数整定实验，验证了MLDOWOA所设计控制器的优越性，其在调节时间、超调量、总误差等方面具有明显的优势。下一步研究重点是将MLDOWOA应用于多目标问题，并将其应用拓展到图像识别、数据分析、工程建模等工程问题中。

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收稿日期：2023-02-15；修回日期：2023-04-06  基金项目：国家自然科学基金资助项目（61973201）；山西省科技厅资助项目（202103021224030）；山西省省筹资金资助回国留学人员科研项目（2022-009）

作者简介：关燕鹏（1984-），男（通信作者），山西泽州人，副教授，硕导，博士，CCF会员，主要研究方向为网络化系统、智能计算与机器学习（y.guan@sxu.edu.cn）；李子鸣（1999-），男，山西长治人，硕士研究生，主要研究方向为智能计算与机器学习；贾新春（1964-），男，山西大同人，教授，博导，博士，主要研究方向为网络化系统与智能控制．