运用Mathematica软件进行开普勒定律教学

郑 磊 李 学

(1. 北京市第十三中学,北京 100120;2. 北京市第九中学,北京 100041)

1 引言

“行星的运动”是人教版高中物理必修第二册第七章的内容,教学重点是开普勒定律,理解该节内容对接下来学习万有引力定律具有至关重要的作用。开普勒定律是开普勒在第谷等人天文观测的基础上,运用数学手段总结得出的,在常态化教学中一般通过史实的介绍,帮助学生了解开普勒定律,这种未经铺垫就直接给出开普勒定律的教学方式略显突兀。如果能够带领学生“重走”开普勒的探究之路,引导学生自主观察、归纳、总结得出行星运动规律,便能更有效地帮助学生理解开普勒定律,为以后万有引力定律的学习扫清障碍。

基于以上想法,利用Mathematica软件就可以帮助我们解决这个问题,该软件可以支持数值和符号计算,实现引擎、图形系统、编程语言、文本系统等多种模式的交互式组合,3D动画演示功能比较成熟。中学教师可以利用Mathematica软件的3D建模与绘图功能,带领学生对天体运动进行探究。

2 运用Mathematica软件进行教学

运用Mathematica软件进行“行星的运动”教学的思路如下:建立行星的动力学微分方程,[1]仿真呈现其运动轨迹,分别创建出行星在不同状态下的运动过程,引导学生观察不同状态下的运动轨迹,进行归纳总结,最终得出结论。

2.1 开普勒第一定律

利用Mathematica软件对上述方程进行数值求解,[2]即可得到该行星绕太阳运动的坐标,再通过软件的3D绘图功能可模拟行星绕太阳的运动情况,图1所示为行星初速度v0=30 km/s时的运动轨迹。

图1

图2

从图2我们可以发现,行星绕太阳做圆周运动是个特例,只有行星在轨道上以特定的速度运行时才能做圆周运动,在其他初速度下的运动轨迹都为椭圆,且太阳处于椭圆的其中一个焦点上。通过软件的动画模拟,如果初速度v0小于30 km/s,行星做向心运动,速度先增大后减小;如果初速度v0大于30 km/s,行星做离心运动,速度先减小后增大(图3)。开普勒早在1605年,便试图用磁力假说解释行星运动的椭圆轨道,只不过当时的解析几何学的发展不够完备,开普勒只能根据当时已有的理论推导行星运动轨道的特性,这大大增加了求解的难度,但经过不懈的努力,他还是给出了椭圆轨道距离的正确表达式。[3]

图3

2.2 开普勒第二定律

继续利用Mathematica软件处理该行星的运动(初速度v0=36 km/s),其强大的数学计算功能,取相等的时间间隔记录一次行星的位置,将这些位置与太阳进行连线,计算这些位置与太阳的连线所扫过的面积,并逐渐缩小时间间隔,发现行星与太阳的连线在任意相等的时间内扫过的面积均相同(图4)。结合图3的动画演示,说明了行星在公转轨道上运动的另一特点:行星距离太阳较近时,运行速度较大;离太阳较远时,运行速度较小。

Δt=0.46yearS=4.1×1022 m2

Δt=0.15yearS=1.4×1022 m2

Δt=0.077yearS=6.43×1021 m2图4

2.3 开普勒第三定律

为了重演开普勒探究第三定律的过程,将表1中各行星轨道的半长轴与运行周期进行相关的排列组合,试图找到行星轨道的半长轴与运行周期的规律,最为简单的方法就是描点绘图,通过将每一个行星轨道的半长轴与运行周期作为坐标点(x,y)绘制图像,观察图像的形状。

表1

当然,我们不能仅探究周期一次方与半长轴一次方之间的关系,通过图5可以看出T-r图线为一条曲线,我们不妨将行星的半长轴和周期进行指数运算,再一一将他们进行排列组合,找到T-r2、T-r3等多种组合方式,利用Mathematica软件强大的绘图功能绘制出不同的Tm-rn图像(图5)。从图5的6条函数图像中,我们能够发现一条最为特殊的函数图像,就是T2-r3,它是一条过坐标原点的直线,这条直线告诉我们,绕太阳运动的所有行星,其公转轨道半长轴的立方跟公转周期的平方之比为一定值。观察这条直线,自然科学规律的简洁性与普适性一目了然,这正是无数物理学家坚持不懈、为之奋斗的目标所在。

图5

开普勒经过长达十年的研究,在1619年发表了开普勒第三定律:所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。当然,开普勒提出开普勒第三定律的过程,远比我们通过简单的排列组合后描点绘图寻找规律的方法要复杂得多,他为了找到太阳系行星公转轨道的规律,尝试了无数种组合方式,耗时数年以当时的数学手段成功得出了结论。数百年后的今天,我们的数字化技术已经得到飞速发展。反观当时的开普勒,无论是他发表的科学成就,还是他探秘溯源的科学精神,无疑都是留给我们的宝贵财富。

3 反思与启示

3.1 经历探究过程,养成科学态度

《普通高中物理课程标准(2017年版2020年修订)》中提出:“高中物理课程是普通高中自然学科领域的一门基础课程,旨在落实立德树人根本任务,进一步提高学生的物理学科核心素养,为学生的终身发展奠定基础,促进人类科学事业的传承与社会的发展。”物理学科核心素养包括物理观念、科学思维、科学探究、科学态度与责任四个方面。在课堂上让学生观察行星的运动轨迹、行星位置与太阳连线的运动特点,以排列组合的方式将(Tm-rn)坐标描点绘制Tm-rn图像,总结运行周期与轨道半长轴的关系等探究活动,重演开普勒观察现象、提出猜想、总结规律的探究过程,培养学生自主实践、独立思考、总结规律的能力。学生在自主实践活动中,深刻理解知识,养成科学态度与责任,学习科学家实事求是、认真严谨的科学精神,引导学生以史为鉴,结合自身的探究经历进行反思,领悟物理学的真谛。

3.2 在物理教学中科学地应用信息技术

随着数字信息化时代的到来,科技已经渗透到生活中的方方面面,在教学中科学地应用信息技术,往往能够达到事半功倍的效果。以开普勒三定律的教学为例,在教学中引入Mathematica软件,利用其强大的数值运算和3D绘图功能,省去了繁杂的计算过程,通过3D动画演示功能创设可视化环境,将行星的运动直观地呈现给学生,有效地培养了学生的观察和总结规律的能力。

科学计算软件以其数字化编程的特点,决定了它相比传统教学手段具有一些特有的优势:Mathematica软件可以用于模拟理想实验,打破了实验室的条件限制;利用Mathematica软件可以生成3D动画进行演示,能够让教师根据教学需求改变实验参数,模拟、分析参数变化带来的影响,可快进、暂停、慢放动画,帮助教师引导学生观察变化,总结物理规律,验证猜想;实验结果方便储存,在科技如此便捷的今天,通过微信等即可完成传输,在一定程度上提高了教师的教学效率。

3.3 取其之长,避其之短

如何在教学中应用信息技术,需要教师不断学习,不断创新。值得注意的是,应用数字化教学工具并不是完全取代传统实验教学,对于设备操作复杂或实验条件困难的课程,可以应用科学计算软件与传统实验相结合,二者相辅相成,更能促进学生的发展。对于本课例,学生还没有学习万有引力定律,在行星绕太阳运动的动力学方程理解方面存在一定的困难,教师在进行教学时应结合学生的实际,不必要求学生掌握3D建模原理,只需要通过实验结果总结规律即可。这样不仅能减轻学生的学习负担,而且能够激发学生的探索欲望,使其在动态的教学环境下自主进行归纳总结,加深对物理规律的理解。