儿童数学符号意识的发展探索——以“分一分（一）”为例

■文/罗春萍

数学语言是一种由数学符号、数学术语、式子和图像组成的科学语言，具有抽象性、准确性、简约性和形式化等特点。数学运算和推理也以符号为载体，因而符号意识非常重要。《义务教育数学课程标准（2022 年版）》在课程目标中明确指出：“符号意识主要是指能够感悟符号的数学功能，知道符号表达的现实意义，能够初步运用符号表示数量、关系和一般规律，知道用符号表达的运算规律和推理结论具有一般性，初步体会符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式，符号意识是形成抽象能力和推理能力的经验基础。”符号意识是核心素养在小学阶段的主要表现，包含在数学抽象中，新课标在核心素养内涵的阐述中写道：“通过数学的眼光，可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式，提出有意义的数学问题；能够抽象出数学的研究对象及其属性，形成概念、关系与结构。”因此，学生对数学认识抽象概括的结果也可以用数学符号来表达，使其具有简约性和一般性。下面，我从符号意识研究现状、符号意识课程目标、符号意识发展策略三个方面，谈一谈自己的一些粗浅认识。

一、符号意识研究现状

目前，国外对数学符号意识的研究主要集中在具体内容分析及概念界定上，国内则主要集中在数学符号意识的内涵解读与培养方面，这与《全日制义务教育阶段数学课程标准（实验稿）》及《义务教育数学课程标准（2011 年版）》中将符号感（符号意识）作为核心概念是分不开的。但在实际教学中，学生的数学符号意识大多停留在认识和记忆层面，使用数学符号进行运算和推理的能力较弱。关于数学符号意识的研究虽然取得了一些成果，但更多的是针对具体年级或者阶段，缺乏较为系统的数学符号意识培养的研究和评价，缺少一定的理论支撑，对一线教师来说，缺乏指导性和操作性。因此，在实际教学中，教师应该关注学生数学符号意识的培养和发展。

二、符号意识课程目标

新课标提出：“数学课程要培养的学生核心素养，主要包括三个方面：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。”同时指出：“在义务教育阶段，数学眼光主要表现为：抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识。”符号意识是小学阶段主要的核心素养之一，在学段目标中均有明确的要求。第一学段提出经历简单的数的抽象过程，认识万以内的数，能进行简单的整数四则运算，形成初步的数感、符号意识和运算能力。第二学段提出要认识自然数，经历小数和分数的形成过程，初步认识小数和分数；能进行较复杂的整数四则运算和简单的小数、分数的加减运算，理解运算规律；形成数感、运算能力和初步的推理意识。第三学段要求经历用字母表示数的过程，认识自然数的一些特征，理解小数和分数的意义；能进行小数和分数的四则运算，探索数运算的一致性；形成符号意识、运算能力、推理意识。

从三个学段的目标要求上来看，符号意识和数感有着紧密的联系。Picciotto 和Wah（1993）认为符号意识是超越数感的一种数学文化水平，是对符号思考能力的鉴赏，是对何时并且为什么使用符号的一种理解能力，是数学结构的一种感知能力。由此可见，符号是数学抽象的结果，符号意识的发展也必须经历“抽象—建模—应用”的过程。

三、符号意识发展策略

下面，笔者以“分一分（一）”一课为例，谈一谈儿童数学符号意识的发展。

“分一分（一）”是北师大版三年级上册第六单元“认识分数”的第一课时，主要介绍的是将一个物体或图形作为整体的分数认识，重点是让学生理解分数的意义，难点是让学生感受分数的相对性。教材创设了分苹果的情境，即把1 个苹果平均分给2 个人，每人分到这个苹果的一半，通过具体情境，让学生了解分数的必要性；通过折一折、涂一涂，让学生理解分数的意义。

为了了解学生真实认知水平，找到学习的难点，我对三年级部分学生进行了前测，发现学生基本说不清分数所表示的意义，大部分学生对分数可以表示具体的数量难以接受。

基于对教材的认识和前测情况，我确定了自己的教学设想：三年级学生处于形象思维阶段，特别依赖丰富的学习素材和直观的操作体验。因此，认识分数的第一节课，应该从学生熟悉的分物过程和结果引入，当平均分物的结果不能用整数表示时，便出现了分数。2022 版新课标对数的认识提出了一致性的要求，正如史宁中教授所说，应该让所有数的认识（整数、小数、分数）具有统一性，要经历数学化的过程，这就对教师提出了更高的要求，教师既要认真研读课标、教材，了解不同学段的教学目标。又要站在整体的视角理解知识的本质，了解分数概念表达的多重性特征，以及各种表达之间的关联，这样才能使学生对分数理解的更加深入，从而实现对分数概念地深度建构。带着这样的思考，本节课我从分数表示具体的数量入手，再抽象出分数，让学生初步感悟分数表示部分与整体的关系，掌握分数从表示具体的数量到抽象的分率，使他们对分数的认知更为完整。在教学过程中，我结合课程目标要求，根据学生的认知基础，从以下四个方面设计教学环节，以此发展儿童数学符号意识，使学生逐渐形成数学素养。

1.结合情境“创造”分数，经历数学符号抽象过程

学习数学的目标之一是使学生懂得符号的意义，会用符号解决实际问题和数学本身的问题，发展学生的符号感。三年级学生处于形象思维阶段，在教学的过程中，教师要尽量向学生提供丰富的学习素材，置学生的学习活动于情境之中。同时，还要根据学生已有的生活经验，引导他们用自己的方式主动表示情境中的数量关系，经历符号产生的过程，逐步走进符号化的数学世界。

在“分一分（一）”的教学中，我用学生感兴趣的动画视频引出“小鸡分苹果”的故事，学生边看边思考：故事中隐藏了哪些数学算式？学生按照故事的先后顺序想到：4÷2=2（个）和2÷2=1（个），这是学生已有经验。我还让学生尝试讲一讲算式背后的故事，帮助学生进一步感受除法算式和结果的意义：把1个苹果平均分给2个人，用除法表示分的过程，即1÷2=？有部分学生的算式是2÷1，这可能与他们之前所见的除法算式都是被除数比除数大有关，学生根据已有经验，知道每个人可以分半个。我顺势引导并启发学生：如何表示半个苹果呢？学生就想到了一半、0.5、二分之一、。还有学生用画图的方式表示半个苹果，在比较以上表示方法的过程中，学生明显觉得用文字和图形比较麻烦，此时水到渠成地就引出了本节课需要理解的数学符号语言，如。

片断一：

师：在刚才的故事中，小鸡遇到了什么问题？

生：小鸡要把1个苹果平均分给两个人，每人应该分一半。

师：用什么可以表示“一半”呢？请同学们想一想，把方法写在练习本上。

学生很快就独立完成了，我随机指定一名学生让其将自己的答案写在黑板上。

师：大家想了这么多表示“一半”的方法，你觉得可以分为几类？

生：两类，一类是用图形符号表示，一类是用数字符号表示。

师：你更喜欢哪一类？为什么？

生：我更喜欢数字表示，因为它更简洁、方便、准确。

师：0.5和这两个数字符号都可以表示半个，0.5是我们以前学习的小数，是我们今天要认识的新朋友——分数。

学生在“分苹果”的过程中，自然而然地了解了分数产生的必要性，他们在从文字、图形表达到符号表达的过程中，充分感受了符号的优越性和准确性。

2.了解分数发展历史，感知数学符号来龙去脉

教材在“你知道吗”模块中呈现了分数发展的历史过程。从3000多年前古埃及分数的产生开始，在古埃及人的眼中，分数是没有几分之几的，他们只使用分子是1的分数，用一个卵形记号表示分子为1 的分数。2000 多年前的中国用算筹表示分数：分子在上，分母在下。继中国的筹算分数之后，又过了五六百年，印度出现了有关分数理论的论述，所不同的是使用了阿拉伯数字，但中间没有分数线。再往后，阿拉伯数学家发明了分数线，分数的表示法就成为现在这样了。

片断二：

师：同学们真厉害，在分苹果的过程中像数学家一样创造了，其实，用来表示一半也是经历了漫长的发展过程。

出示课件：分数发展史

3000 多年前的古埃及、2000 多年前的中国、1000 多年前的印度、800 多年前的阿拉伯，让学生了解分数由图形符号到数学符号的发展过程。

师：现在说一说你有什么感受？

生1：古人太聪明了。

生2：分数是慢慢变成现在这个样子的。

生3：我想未来分数可能还会变。

师：通过分数的发展史，我们感受到了劳动人民的智慧，请大家把掌声送给所有充满智慧的劳动者。

在教学过程中，我通过引入分数发展的历史，一方面给学生增加数学文化知识，拓展学生的视野，另一方面帮助学生了解数学符号是在生产生活中产生的，随着时间的发展更加简洁、清晰。

3.多元化表示分数概念，丰富数学符号内涵

数学符号是数学存在的具体化身。学生认识符号不能只停留在表面，而是要通过多样化的表示方式加深对所学知识的理解，这是符号应用的前提和基础。

分数的意义可以从两个方面来理解，一是表示一个量，二是表示部分与整体之间的关系。本课就是从“量”到“率”的抽象过程，在认识个苹果后，我让学生尝试找一找生活中其他可以用表示的量，如张纸、米彩带。并帮助学生理解从“量”到“率”的意义，理解份的定义，明确无论1个苹果、1张彩纸、1条彩带，虽然分的物体不同，但都是把1个物体平均分成2份，得到其中的1份，可以用来表示。反过来说，表示的就是把1个物体平均分成2份，其中的1份就是这个物体的。

片断三：

师：我们已经知道了可以表示半个苹果，那么大家还知道可以表示哪些数量呢？和同桌说一说。

师：老师也找了一些，你能找到张纸吗？

生：把1张纸对折，半张就可以表示为张。

师：这是一条1 米长的彩带，你能找到米吗？

生：把1米长的彩带平均分成2份，一份就是米。

师：同学们，刚刚我们通过分一分得到了个苹果、张纸、米彩带，分的物体不同，却都能用来表示（板书），想一想这是为什么？

师：无论是分1 个苹果、1 张纸，还是1条彩带，虽然我们分的物体不同，但都是把1 个物体平均分成2 份，得到其中的1 份，可以用来表示。所以，除了表示“半个”以外，还可以表示把1个物体平均分成2 份，其中的1 份就是这个物体的。

师：通过学习，大家已经会找一个物体的了，下面请大家涂出教材第67页图形的。独立完成后，同桌之间可以相互交流，看看你们的想法一样吗？

随后，我展示了一个学生的作业，问：“谁和他的想法完全一样？谁有不同的想法？看看他这样涂对不对？”

师：只要把一个图形平均分成2份，给其中的一份涂色就是这个图形的。

小结：通过分一分、涂一涂活动，我们知道了把一个物体或一个图形平均分成2份，取其中的1份就是它的。

在这节课中，我主要采用了以下方式表示分数的形式：一是面积模型的表示方式，要求学生涂出不同图形的，虽然图形的大小（面积）不同，但它的都表示整个图形面积的一半，学生从中直观地理解了分数是表示图形的涂色部分与整个图形之间关系的一个数。二是符号模型的表示方式，分数的概念涉及学生对整体与部分之间关系的认识，反映的是一种“关系认识”的思维方式，这种整体与部分的关系认识又可以分为两个层次：第一个是认识单个整体与部分的具体关系；第二个是认识多个整体与部分的抽象关系，即把多个物体看作一个抽象整体，把这个抽象整体平均分成几份，其中的一份是就这个抽象整体的几分之一。

通过不同形式的表示，学生了解到了：同样的事物可以有多种不同的表达形式，这样不仅深化了学生对数学符号的认识，还丰富了学生的数学语言。

4.数形结合深化理解，发展数学符号应用意识

符号意识是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所作出的一种主动性反应，它也是一种积极的心理倾向。

学生在主动发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程中，进一步加深了对分数的理解，他们运用数学符号进行表征、推理，有效地发展的符号意识。

总之，数学符号是抽象性、简洁性与广泛应用性矛盾的统一，贯穿于整个数学教学过程之中。因此，小学数学教师必须树立自觉发展儿童符号意识的观念，切忌要求学生死记硬背数学符号，一定要帮助学生理清数学符号之间的关系，及其表达的数学知识之间的关系，还要关注学生的思维能力与心理特点，在润物无声中培养学生的符号意识，使学生逐步形成适应终身发展需要的核心素养。