学会“抓不变量”解题

◎刘北荣

在解决长方体与正方体的实际问题时，经常会出现一些立方体改变形状的问题。针对这类问题，如果我们能抓住题目中的不变量去解决，就能迅速获解。

例1：把两个长12厘米、宽10厘米、高6厘米的小长方体铁块熔铸成一个大长方体铁块（损耗不计），大长方体铁块长16厘米、高6厘米，它的宽是多少厘米？

解析：这道题是把两个小长方体铁块熔铸成一个大长方体铁块。在熔铸的过程中，前后的体积不变，它是一个不变量，因此可以先求出原来一个小长方体的体积，再用两个小长方体的总体积除以大长方体的长和高，就可以求出它的宽。

解：（1）大长方体的体积：

12×10×6×2=1440（立方厘米）

（2）大长方体的宽：

1440÷（16×6）=15（厘米）

答：它的宽是15厘米。

例2：将一个长为8厘米的长方体的长减少3厘米，变成了一个正方体，这时长方体的体积减小了105立方厘米，原来这个长方体的体积是多少立方厘米？

解析：这道题解题的关键是找出题目中的不变量。根据题意可知这个长方体的长减少了3厘米，变成了正方体，这里虽然形状变了，但宽和高所在的面的侧面积没变，它是一个不变量，因此可以根据“长方体体积=侧面积×长”求出侧面积。已知体积减小了105立方厘米，长减少了3厘米，所以可先求出侧面积，再根据侧面积乘长就可以求出原来长方体的体积。

解：（1）原来长方体的侧面积：

105÷3=35（平方厘米）

（2）原来长方体的体积：

35×8=280（立方厘米）

答：原来这个长方体的体积是280立方厘米。