探索三角形全等的条件

文／赵维坤（正高级教师、江苏省特级教师）

我们知道，如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等、对应角相等。反过来，当两个三角形有多少组对边或对角分别相等时，这两个三角形就全等呢？

我们先思考两个三角形中只有一组元素相等的情况。例如，我们可以分别画出一条边AB=3cm 的△ABC和一条边DE=3cm 的△DEF，或者∠ABC=30°的△ABC和∠DEF=30°的△DEF，我们发现，这两个三角形不全等。也就是说，当两个三角形只有一组对边或对角相等时，这两个三角形不全等。

我们再思考两个三角形中只有两组元素相等的情况。例如，我们可以画出边AB=3cm、BC=4cm 的△ABC和 边DE=3cm、EF=4cm 的△DEF，或 者画出∠ABC=30°、∠BCA=45°的△ABC和∠DEF=30°、∠EFD=45°的△DEF，或者画出边AB=3cm、∠ABC=30°的△ABC和边DE=3cm、∠DEF=30°的△DEF，这两个三角形也不全等。因此，当两个三角形有两组对边或对角相等时，这两个三角形也不全等。

通过画图我们发现，三组以下元素分别相等的两个三角形不全等。

那么，在两个三角形中，如果有三组元素分别相等，它们就一定全等吗？

观察下图中的三角形，请你找出其中的全等三角形，并在透明纸上画出这些三角形，叠合验证。

这里给出的12 个三角形，可以分成这样的四类：三边分别相等、三角分别相等、两边和一角分别相等、一边和两角分别相等。

同学们可以两个人一组，根据下面6 个条件，在透明纸片上分别画出△ABC。

条件一：AB=2cm，BC=3cm，CA=4cm；

条件二：∠ABC=30°，∠ACB=100°，∠BAC=50°；

条件三：AB=2cm，∠BAC=45°，AC=3cm；

条件四：CB=2cm，∠BAC=30°，AC=3cm；

条件五：∠ABC=30°，AB=3cm，∠BAC=45°；

条件六：∠ACB=100°，AB=3cm，∠BAC=45°。

通过操作，我们发现，三边分别相等的两个三角形是全等的，只有三角分别相等的两个三角形是不全等的。事实上，根据三角形内角和定理，“三角分别相等”实质上就是“两角分别相等”，这样不能判定两个三角形全等。

“两边和一角分别相等的两个三角形”有两种情形：两边及其夹角分别相等的两个三角形是全等的，只有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不全等。

“一边和两角分别相等的两个三角形”中，两角及其夹边分别相等的两个三角形是全等的，两角和其中的一组等角的对边分别相等的两个三角形也是全等三角形。还有其他情形吗？同学们可自行画图解决。

在两个三角形中，如果有4 对（或5 对）元素分别相等，那么这两个三角形一定全等吗？这就留给同学们自己动手操作证明了。