知整体 明方法 重策略

文／张卫明

“全等三角形”是苏科版数学教材八（上）第1 章内容，是初中几何的重要内容之一。本章的学习，不仅可以丰富同学们对已知图形的认识，也为后面学习等腰三角形、四边形、圆等知识打下基础，为研究相似三角形提供了思路。现从单元整体上做如下梳理。

一、整体理解全等三角形的结构体系

本章围绕全等三角形的性质和判定展开，重点探究全等三角形的判定条件，并应用全等三角形的知识，掌握两个尺规作图：①作一个角的平分线，②过一点作已知直线的垂线。同学们在本章也较为系统地学习了直接证明方法中的综合法，“利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立”。综合法往往由已知条件出发，不断推出新结论，直至这个结论就是所求的结论。同学们要学会用综合法证明有关三角形全等的命题，学会逻辑推理，并用规范的数学语言表达，发展演绎推理能力。

二、感悟体会全等三角形的学习方法

1.在操作中感悟全等三角形的判定

在学习了全等三角形的定义和性质后，“具备怎样的条件，两个三角形就全等”这一问题便顺势而生。从三角形组成元素的角度出发，将笼统的“完全重合”转变为具体的、可操作的“寻找有效条件”。以“两边及其夹角相等的两个三角形全等”为例，我们可尝试完成两次操作。操作一：用长方形纸片剪出一个直角三角形，使剪出的直角三角形与另一个直角三角形重合，根据两直角边相等，可得到两个三角形全等；操作二：用直尺和圆规作△ABC（图略），使得∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′，进一步体会结论的正确性。

2.在运动中体会全等三角形的性质

我们可以借助图形的运动来学习全等三角形的性质。两个三角形经过平移、翻折、旋转后完全重合，提供了识别全等三角形对应顶点、对应边、对应角的方法，有助于形成良好的空间观念。

例如，如图1、图2，可以通过平移使两个三角形完全重合，快速找到两个全等的三角形的对应元素。

图1

图2

如图3、图4，可以通过翻折使两个三角形完全重合。

图3

图4

如图5、图6，可以通过旋转使两个三角形完全重合。

图5

图6

三、研磨凝练全等三角形的解题策略

“全等三角形的对应边相等、对应角相等”，借助这样的性质，我们可以证明线段相等、角相等，在此基础上，可进一步探究线段之间的数量关系和角之间的数量关系。由此可见，全等三角形是几何证明的重要工具。这里提供两种全等三角形的解题策略。

1.洞悉条件，巧选判定方法

三角形的全等判定一般有四种方法：SAS、AAS、ASA、SSS，直角三角的全等判定除了前面四种方法，还有HL。我们发现，至少有三个元素相等方可判定两个三角形全等，且至少要有一组边对应相等。全等三角形的判定有多种方法，不同的判定方法的条件也是不同的。我们先要观察待证全等的两个三角形中，已有哪些条件，再恰当选取判定方法。题目通常会给定全等三角形判定所需的两个条件，我们再推理出第三个相等要素即可（如例1）。

例1（2022·陕西）如图7，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A。求证：DE=BC。

图7

【分析】要证明DE=BC，只需求证△ABC≌△CDE。已知这两个三角形中有一组对应边相等和一组对应角相等，即AB=CD，∠A=∠DCE，且边是角的邻边。根据上面的分析，我们可通过找AC=CE或∠B=∠EDC来证明△ABC和△CDE全等，由条件DE∥AB可推出∠B=∠EDC，从而解决问题。

2.添线搭桥，构造全等三角形

当要证在两个三角形中的两条线段或两个角相等时，我们可直接证明这两个三角形全等。但有时要证的相等线段或相等角不在两个全等的三角形中，这时我们就需要添加辅助线，构造全等三角形，搭建已知与结论之间的“桥梁”。添加合适的辅助线往往能“绝处逢生”（如例2）。

例2如图8，AC=AD，BC=BD，求证：∠C=∠D。

图8

【分析】要证明∠C=∠D，但∠C和∠D并不在两个三角形中。因此，我们可以连接AB，构造出△ABC和△ABD。这样∠C和∠D分别在△ABC和△ABD中，即转化为求证△ABC和△ABD全等，根据“SSS”即可证得。

全等三角形是初中数学中几何学习的基础，也是发展推理能力的关键。要想学好全等三角形，同学们要学会从整体的视角研究问题，学会用数学的思维思考问题，明晰学习方法，凝练解决问题的策略，积累数学活动经验。这样我们就会打开更广阔的数学思维空间，能够更深入地探索几何学的奥秘。