基于MPC的永磁同步直线电机位置控制*

徐英振 ， 廖雪松

（1.包头长安永磁电机有限公司，内蒙古 包头 014030；2.内蒙古自治区先进永磁电机及其控制技术企业重点实验室，内蒙古 包头 014030）

在一些特定领域需要电机提供精准的位置控制能力，目前比较有效的方式是采用基于MPC的永磁同步直线电机。永磁同步直线电机在很多领域都有非常广泛的应用，尤其是借助尖端数控技术，可以使电机在多个技术方面得到大幅优化和提升，是永磁直线电机研发的一个关键方向[1]。相比传统直线电机，基于MPC的永磁同步直线电机位置控制在动态控制和稳态精度方面实现了较大提升，相关课题的研究对于整个永磁同步直线电机的应用发展有非常显著的促进作用。

1 永磁同步直线电机位置控制概述

位置控制精度是直线电机性能的重要指标，在传统直线电机中，其位置控制以级联型三闭环方式实现，就是利用PI控制器完成对位置的准确控制[2]。级联型三闭环PI控制器应用方便，有较强的适用性，但动态响应效率较低，且位置控制的稳态精度严重受限。因为这些问题的存在，传统直线电机在高端应用领域难以得到更大空间。而近年来，随着高性能微型计算机技术在永磁直线电机研发领域的快速发展和充分运用，模型预测控制（MPC）被更多地用于电机控制，并非常有效地改善了系统的快速响应能力。

模型预测控制是一项非常有开发潜力的技术，通过与不同的应用需求相结合，可以演化成多种形式。就目前应用而言，电机控制领域的MPC主要包括两种控制模式：一是FCS-MPC，即所谓的有限集模型预测控制；二是CCS-MPC，即所谓的连续集模型预测控制[3]。课题组所讨论的永磁同步直线电机位置控制是基于连续集模型预测控制的应用设计，其位置控制方式非常有特点，尤其是在动态性能和稳态精度性能方面表现出色，由此可以看出MPC对于电机控制性能的提升升级价值[4]。

2 基于MPC的永磁同步直线电机系统数学仿真模型的建构

为更有效分析以MPC为技术基础的永磁同步电机在位置控制中的功能和作用，需要建立与设计相对应的数学仿真模型，通过仿真来确定永磁同步直线电机的工作状态。基于仿真结果，进行实际的电机设计，以获得所要性能的永磁同步直线电机[5]。为此，首先需要明确其工作机理，其次，还要对数学模式进行离散化处理，进而为电机设计奠定理论基础。

2.1 永磁同步直线电机模型工作机理的数学解析

为研究基于MPC的永磁同步直线电机运行状态下位置控制中的具体机理，需要明确其实际工作原理。总的来说，永磁同步直线电机位置控制原理与PMSM比较类似，因此，其数学模型的建立也可以采用与PMSM基本一致的函数表达式，用于解析其各变量之间的关系。具体分析过程中，可采用两相同步旋转坐标系，在该坐标系中对电压方程进行建构，其函数表达式为：

式（1）基于两相同步旋转坐标系对电压方程分别进行求解，其中，ψd被设定为直轴磁链，ψq被设定为交轴磁链，ψd和ψq的求解方程分别为：

在式（1）、式（2）和式（3）中，ψmf为永磁体磁链，ud为直轴电压，uq为交轴电压，id为直轴电流，iq为交轴电流。为获得更加准确的仿真数据，需要引入电角速度，用ωe来表示。对于PMLSM，需要充分考虑动子位置的影响，因为动子运动距离达到对极，则三相电流就会发生一个周期的变化，基于此，可以计算电角速度，其计算公式为：

式（4）中，v为动子速度，τ为永磁体极距。进而可以求解PMSM转矩方程，其函数表达式为：

式（5）的转矩方程中，Tm为永磁转矩，Tτ为磁阻转矩。通过分析该转矩方程，不难发现，对PMLSM的求解过程可以等价于对PMSM的径向展开处理，在这一基础上，就可以进一步推导PMLSM的推力方程，该推力方程可以通过PMSM转矩方程进行变换来获得。其方程的定义式为：

将系统相关运行参数代入式（6）中，R为电机定子内径，根据其结构特点，满足2πR=2pτ。对R结果的求解算式与其他方程进行联立，将这一函数关系代入式（6），经过变换处理，能够进一步获得PMLSM的推力方程，其函数表达式为：

如果考虑永磁同步直线电机为平板式永磁同步直线电机的实际情况，此时，存在Ld=Lq的平衡条件，基于此，可以对式（7）进行进一步的化简。并得到如下的表达式：

在此基础上，对永磁同步直线电机的运动方程进行求解，其函数表达式为：

式（9）的运动方程中，所涉及的函数变量包括动子质量、运动速度、电磁推力、扰动负载和黏滞摩擦系数，并分别表示为M、v、Fe、Ft和B。在相关变量确定条件下，就可以对整个永磁同步直线电机的运动方程进行分析，进而针对位置控制的相关性影响因素加以具体讨论。

2.2 永磁同步直线电机数学模型离散化处理

对于永磁同步直线电机的数学模型建立，需要对模型采取必要的离散化处理，其处理方法包括多种选择。基于本文所分析和讨论的实际情况，需要兼顾直线电机的精度以及在具体运营环境的适用情况，主要选择了一阶前向欧拉差分法，通过该处理方法对PMLSM模型进行离散化处理，在位置控制精度以及工作稳定性方面都会有较好的仿真效果[6]。在实际的离散化处理中，需要设定一些基本条件，对于采样周期T，假设T充分小，在某一确定的k时刻，存在如下等式关系：

将式（10）与式（1）和式（9）进行联立，经过化简求解，就可以推导得出永磁同步直线电机工况下的离散化数学模型。将相关状态变量依次代入，永磁同步直线电机数学模型离散化状态下的空间方程表达式为：

将式（11）、式（12）和式（13）联立，可以建构形成基于MPC的永磁同步直线电机数学模型，能够通过该模型完成对位置控制等相关问题的分析[7]。式（13）中，将Kf定义为推力系数，用于对式（12）方程的求解。

3 模型预测控制原理及控制器设计

永磁同步直流电机的位置控制，需要利用对MPC控制器的设计来实现，其中，通过连续集模型进行预测控制是整个设计的最重要环节。有必要对其控制原理进行解读，并在此基础上探讨控制器设计的具体内容。

3.1 连续集模型预测控制原理

课题组的主要目的是讨论用于优化位置精确控制的永磁同步直线电机MPC控制器的设计，对于直线电机的模型预测控制（MPC）设计而言，其目标主要是考虑对未来控制变量轨迹的准确计算，并基于计算结果对系统输出进行优化[8]。整个优化的过程通过一个有限时间窗口来具体实施，而对时间窗口进行优化的同时也可以完成对系统信息的修正和调整。

3.1.1 系统增广模型分析

基于状态空间对永磁同步直线电机MPC控制器增广模型进行设定，其空间模型的表达式为：

式（14）中，x(k)、u(k)、d(k)分别代表永磁同步直线电机状态向量、系统输入向量和未知扰动项；式（15）中的y(k)为系统输出向量；A、B、C均代表系数矩阵，其下标d则意味着系统模型的特征。

在实际设计中，需要确保并充分实现永磁同步直线电机MPC控制器的运转稳定性，需要尽量将系统未知扰动消除，以防其对预测输出造成的干扰，电机系统鲁棒性因此得到充分提升。可以对控制器的设计选用增量形式，如果控制周期比较小，可以将短时间内系统扰动看作是稳定不变的常量，进而获得整个直线电机控制器系统的增量模型。增量模型要实现预测输出要求，在实际处理中可以将输出向量与增量向量进行联立，并引入一组新向量，进而能够对原电机系统进行向量扩展，并形成增广模型。

3.1.2 系统优化

按照通常情况下的处理方式，直线电机模型系统的代价函数选择以误差及输出增量为变量的二次函数，此时，如果其参考轨迹已经被给定，则代价函数等式自变量项目可以提供满足预测与给定输出误差的条件，并能够有效验证输出增量的数值。在系统优化过程中，需要充分考虑权重因子的影响，因为整个系统模型属于典型的对角线矩阵形式，其维数要保持高度统一。这样设计系统的目的就是要避免因输出增量太大造成整个系统的稳定性难以控制。

如果此时选择零矩阵形式，则该控制器系统的使用目的是要确保最小的误差。为满足代价函数实现最小值目标，可以在对代价函数进行偏导数求解时为0。按照这一过程重复进行，就可以得到系统在任意时刻MPC控制器的具体输出状态[9]。课题组讨论的前提条件是预测输出时采用增广模型，这种情况下，控制器输出就是输出增量不断累加的结果，这可以等价于闭环系统中结合积分运算，能够有效防止各种稳态误差，同时对未知扰动项的干扰也有很强限制作用，系统表现出显著的鲁棒性。

3.2 永磁同步直线电机MPC控制器设计

课题组所述的永磁同步直线电机模型为典型的连续集预测模型，其系统设计主要选择级联型结构，该系统结构在电流环控制器输出电压作为定轴电压进行处理时会比较方便，并通过SⅤPWM进行调制，再经过两个电平逆变器进行逆变处理，最终输出三相电实现对PMLSM的驱动。永磁同步直线电机通过离散化处理形成的状态空间方程中，为简化离散过程而采用增广状态向量，系统电流环的增广模型系数会以矩阵形式建立[10]。通常情况下，永磁同步直流电机逆变器会以10 kHz的开关频率运转，此时，离散控制系统对于任意t时刻的采样数据其结果应该与t-1时刻数据相同。通过计算获得u(t)在t+1时刻的数据，需要与t-1时刻数据保持一致才可以控制被控对象。

基于此，对预测步长的选取最小为3，而速度环的带宽为电流环带宽的1/10。按照这一思路，对电流环预测补偿的选取可以为10，进而获得最优输出。为此，还要对MPC控制器的输出电压进行必要控制，在不同的控制策略下，电压分量可以形成对输出的有效约束和限制作用。

4 系统仿真验证

利用MATLAB搭建PMLSM连续集模型预测控制仿真模型，电机及系统各仿真参数如表1所示。

表1 PMLSM连续集模型预测控制仿真模型仿真参数

通过系统仿真，对以CCS-MPC为基础的直线电机控制器位置响应情况进行分析，可以发现电机控制优势非常显著，不仅响应速度快，而且定位精度高。进一步对MPC控制器的鲁棒性进行验证，通过综合效果比较得出，相比传统直线电机，基于MPC控制器的永磁同步直线电机的鲁棒性表现更好。

5 结论

综上所述，永磁同步直线电机要实现更大的应用空间，需要解决很多具体的技术问题，其中，位置控制是非常关键的一项内容。课题组深入分析了基于MPC的永磁同步直线电机的位置控制，对其工作原理和功能实现进行了较为细致的阐述，在此基础上，建构了数学模型，并具体分析了MPC控制器设计的相关内容。最后，通过系统仿真，验证了该MPC控制器在位置控制方面的良好性能。课题组所提出的分析方法和设计过程，具有重要的现实意义。