φ-Hilfer分数阶共振边值问题解的存在性

司换敏, 江卫华

(河北科技大学 理学院, 石家庄 050018)

0 引 言

分数阶微分方程广泛应用于物理、 生物、 控制、 信号处理等领域[1-3]. 含有φ-Riemann-Liouville导数和φ-Caputo导数的分数阶微分方程边值问题是目前该领域研究的热点, 已取得了一些成果[2-15]. Ji等[7]用单调迭代方法研究了φ-Riemann-Liouville分数阶两点边值问题

在非共振下正解的存在性, 其中1<α<2.Abdo等[8]利用Schaefer和Banach不动点定理证明了φ-Caputo分数阶两点边值问题

上述文献分别用不同方法研究了φ-Riemann-Liouville和φ-Caputo分数阶边值问题, 得到其解的存在性和唯一性结果. 随着对分数阶微积分研究的不断深入, 研究者们将φ-Riemann-Liouville和φ-Caputo导数进行了推广, 得到了既包含又介于这两类导数之间的φ-Hilfer分数阶导数, 含有φ-Hilfer导数的分数阶微分方程的研究也取得了一些成果[7-8]. Borisut等[9]用Schaefer和Banach不动点定理, 证明了非共振情形下φ-Hilfer分数阶多点边值问题

解的存在性和唯一性, 其中0

对于φ-Hilfer分数阶微分方程边值问题的研究, 大多数是在非共振情形下考虑的[12], 而在共振情形下关于其解的存在性研究目前尚未见文献报道. 受上述研究工作的启发, 本文考虑共振情形下φ-Hilfer分数阶微分方程积分边值问题

(1)

1 预备知识

1) ∀(u,λ)∈[(domLKerL)∩∂Ω]×(0,1),Lu≠λNu;

2) ∀u∈KerL∩∂Ω,Nu∉ImL;

3) deg(QN|Ker L,Ω∩KerL,0)≠0, 这里Q:Y→Y是投影算子, ImL=KerQ.

定义2[14]设函数φ∈Cn[a,b],φ′(t)>0于[a,b], 对u∈L1[a,b], 其α(α>0)阶φ-Riemann-Liouville分数阶积分定义为

定义3[14]设函数φ∈Cn[a,b],φ′(t)>0于[a,b], 对u∈Cn[a,b], 其α(α>0)阶φ-Riemann-Liouville分数阶导数定义为

定义4[14]设函数φ∈Cn[a,b],φ′(t)>0于[a,b], 对u∈Cn[a,b], 其α阶β型φ-Hilfer分数阶导数定义为

(2)

其中n-1<α

Cn-γ;φ(0,1]∶={u|(φ(t)-φ(0))n-γu(t)∈C[0,1]},

u(t)=c1(φ(t)-φ(0))α-1+c2(φ(t)-φ(0))α-2+…+cn(φ(t)-φ(0))α-n,

其中ci∈,i=1,2,…,n,n=[α]+1.

引理3[14]设函数f,φ∈Cn[a,b], 对任意的t∈[a,b],φ′(t)>0,α>0, 则有:

引理4[15]在[a,b]上的任一有界变差函数f(x)均可表示为两个增函数之差, 即存在两个增函数h(x)和g(x), 使得f(x)=h(x)-g(x).

假设下列条件成立:

设φ∈Cn[a,b],φ′(t)>0于[a,b].定义算子L: domL⊂X→Y和算子N:X→Y分别为

其中

则微分方程边值问题(1)等价于Lu=Nu,u∈domL.

2 主要结果

引理5假设条件(H1)成立, 则L: domL⊂X→Y是一个零指标的Fredholm算子.

证明: 显然KerL={u∈domL|u(t)=c(φ(t)-φ(0))γ-n, ∀t∈(0,1],c∈}.

下面求ImL.取y∈ImL, ∃u∈domL, 则Lu(t)=y(t), 即

(3)

(4)

其中ci∈,i=1,2,…,n.

(5)

将u(t)代入积分边界条件左边可得

将u(t)代入积分边界条件右边可得

从而由积分边界条件可得

(6)

定义线性算子P:X→X为

其中

显然Q2y=Qy, 所以Q是一个幂等算子, 即是Y上的线性投影算子.易验证ImL=KerQ.

任取y∈ImL, 将其写为y=(y-Qy)+Qy, 其中Qy∈ImQ, (y-Qy)∈KerQ=ImL, 因此Y=ImL+ImQ.取y∈ImL∩ImQ, 由y∈ImQ得y=Qy, 由y∈ImL=KerQ得Qy=0, 因此y=0, 从而ImL∩ImQ={0}, 于是Y=ImL⊕ImQ.又因为dim KerL=1=co dim ImL<∞, 所以L是一个零指标的Fredholm算子.

引理6Ldom L∩Ker P的逆算子Kp可表示为

证明: 易验证Kpy(t)满足边界条件, 对y∈ImL, 有

因此Kpy(t)∈domL∩KerP, 且有

另一方面, 对于u∈domL∩KerP, 因为

所以可得

从而Kp=(L|dom L∩Ker P)-1.

假设下列条件成立:

(H3) 存在常数M>0, 使得当u∈domL, 且对∀t∈(0,1], |u(t)|>M时,QNu≠0;

(H4) 存在非负函数a(t)∈X,b(t)∈Y, 使得|f(t,x)|≤a(t)+b(t)|x|,t∈(0,1],x∈, 其中

(H5) 存在常数G>0, 如果|c|>G, 则不等式cQNu(t)>0或cQNu(t)<0之一成立, 其中u(t)=c(φ(t)-φ(0))γ-n,c∈.

定理1假设条件(H1)～(H5)成立, 则边值问题(1)至少有一个解.

为证明定理1, 先证明如下3个引理.

引理8若条件(H1)～(H4)成立, 则Ω1={u|u∈domLKerL,Lu=λNu,λ∈(0,1)}在X上有界.

因此

从而可得

整理可得

故Ω1有界.

引理9若条件(H1)～(H3)成立, 则Ω2={u|u∈KerL,Nu∈ImL}在X上有界.

证明: 任取u∈Ω2, 则u(t)=c(φ(t)-φ(0))γ-n,c∈, 因此|(φ(t)-φ(0))n-γu(t)|=|c|.因为Nu∈ImL=KerQ,QNu(t)=0, 由条件(H3)可知, ∃t0∈(0,1], 使得|u(t0)|≤M, 因此有

|c|=|(φ(t)-φ(0))n-γu(t)|≤(φ(1)-φ(0))n-γM,

故Ω2有界.

引理10若条件(H1)～(H3),(H5)成立, 则Ω3={u∈KerL|λJu+(1-λ)θQNu=0,λ∈[0,1]}在X上有界, 其中J: Ker →ImQ,J(c(φ(t)-φ(0))γ-n)=c,c∈,t∈(0,1]是线性同构映射,

证明: ∀u∈Ω3,u(t)=c(φ(t)-φ(0))γ-n, 从而可得

λJ(c(φ(t)-φ(0))γ-n)+(1-λ)θQN(c(φ(t)-φ(0))γ-n)=0.

如果λ=1, 则λJc=0, 所以c=0.如果λ=0, 则由条件(H5),θQN(c(φ(t)-φ(0))γ-n)=0, 所以|c|≤G.如果λ∈(0,1), 假设|c|>G, 由条件(H5)可知λc=-(1-λ)θQNu(t).因此λc2=-c(1-λ)×θQNu(t)<0, 矛盾.所以假设不成立, 故|c|≤G.因此Ω3有界.证毕,

1) ∀(u,λ)∈[(domLKerL)∩∂Ω]×(0,1),Lu≠λNu;

2) ∀u∈KerL∩∂Ω,Nu∉ImL.

下面证明deg(QN|Ker L,Ω∩KerL,0)≠0.令H(u,λ)=λJu+θ(1-λ)QNu, 则由引理10可知H(u,λ)≠0,u∈∂Ω∩KerL.由度的同伦不变性, 得

应用引理1可知微分方程边值问题(1)在X上至少有一个解, 定理1证毕.

3 应用实例

考虑下列共振边值问题:

(7)

因此条件(H4)成立.

因此

故条件(H3)成立.

故条件(H5)成立.由定理1可知问题(7)至少有一个解.