含导数项两端固定支撑的弹性梁方程的可解性

瞿 婧, 李永祥

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

0 引 言

考虑四阶边值问题(BVP)

(1)

的可解性, 其中f: [0,1]×2→连续.问题(1)是描述两端固定支撑静态弹性梁形变的数学模型, 其中u(x)表示梁形变的位移,u′(x)表示隅角.弹性梁是现代建筑、 飞机和船舶的基本结构之一, 由于弹性梁的支撑条件不同, 已推导出了各种边值问题[1].近年来, 对四阶边值问题的研究多集中于两端简单支撑的弹性梁方程

及一端固定、 另一端自由的弹性梁方程

关于这两类问题的研究已有很多结果[2-3].而对两端固定的弹性梁方程BVP(1)的研究相对较少, 已有研究只考虑了该问题非线性项不含导数项的情形[4-10].Agarwal等[4]首次考虑了四阶边值问题

(2)

利用压缩映射和数值迭代方法研究了该问题正解的存在性; 文献[5-7]分别用锥拉伸与锥压缩不动点定理、 Krasnoselskii不动点定理和锥上的混合单调算子不动点定理, 在非线性项f满足一些不等式的条件下, 讨论了BVP(2)正解的存在性; 文献[8]在部分有序度量空间中用不动点定理得到了BVP(2)的唯一对称正解; 文献[9]用不动点指数理论和上下解方法研究了BVP(2), 得到了该方程多个正解的存在性结果, 并且建立了正解与对应线性问题第一特征值之间的关系; 文献[10]通过对非线性项f的约束条件进行弱化, 利用Laplace变换的方法求出了BVP(2)的Green函数, 从而用不动点指数定理给出了该问题正解的存在性.

上述研究方法大多数都是通过粗略估计对应Green函数的性质, 在非线性项f非负且不含导数项的情况下, 得到了相应问题非负解或正解的存在性, 但对BVP(1)含导数项的情形研究目前未见文献报道. 本文在不假设f非负, 允许f(x,u,v)关于u,v超线性增长的条件下, 用Leray-Schauder不动点定理给出BVP(1)解的存在性和唯一性结果.

1 预备知识

为讨论BVP(1), 先考虑相应的四阶线性边值问题(LBVP):

(3)

引理1对任意的h∈L2(I), LBVP(3)有唯一解u∶=Sh∈H4(I), 且解算子S:L2(I)→H4(I)是线性有界算子.

证明: 设h∈L2(I), 易验证

(4)

是LBVP(3)的唯一解, 其中G(x,y)为LBVP(3)的Green函数, 其表达式参见文献[6].由式(4)知, 解算子S:L2(I)→H4(I)是线性有界算子.证毕.

引理2对任意的h∈L2(I), LBVP(3)的解u=Sh∈H4(I)满足

(5)

(6)

则由Fourier系数的积分公式, 可得u″的正弦展式

(7)

(8)

由式(6)～(8)及Parseval等式, 有

因此式(5)成立.证毕.

设f:I×2→连续, 定义映射F:C1(I)→C(I)为

F(u)(x)=f(x,u(x),u′(x)),x∈I,u∈C1(I).

由f的连续性,F:C1(I)→C(I)连续且它将C1(I)中的每个有界集映为C(I)中的有界集.考虑复合映射

A=S∘F.

(9)

由S:C(I)→C1(I)的全连续性及F:C1(I)→C(I)的连续性可知,A:C1(I)→C1(I)是全连续算子.由LBVP(3)解算子的定义知, BVP(1)的解等价于算子A的不动点. 下面用Leray-Schauder不动点定理[11-12]讨论BVP(1)解的存在性.

2 主要结果

假设条件:

(H1) 存在常数a,b≥0, 满足a/π4+b/π2<1且c>0, 使得

-f(x,u,v)u≤au2+bv2+c,x∈I,u,v∈;

(H2) 存在常数a,b≥0, 满足a/π4+b/π2<1, 使得

-(f(x,u2,v2)-f(x,u1,v1))(u2-u1)≤a(u2-u1)2+b(v2-v1)2,x∈I, (u1,v1),(u2,v2)∈2.

定理1假设f:I×2→连续, 若f满足条件(H1), 则BVP(1)至少有一个解.

证明: 设A:C1(I)→C1(I)是如式(9)所定义的全连续映射, 则BVP(1)的解等价于算子A的不动点.本文用Leray-Schauder不动点定理证明A有不动点.先考虑同伦方程簇

u=λAu, 0<λ<1.

(10)

下证方程(10)的解集在C1(I)上有界.设u∈C1(I)是某个λ∈(0,1)对应的方程(10)中的解.由算子A的定义,u=S(λF(u)).令h=λF(u), 由于h∈C(I), 由S的定义,u=Sh∈C4(I)是LBVP(3)的唯一解.因此u满足微分方程

(11)

将方程(11)中第一式两端乘以-u(x), 由条件(H1), 有

将式(12)在I上积分, 左侧利用分部积分, 右侧由引理2, 有

从而得

(13)

因此, 对任意的x∈I, 由引理2及式(13), 有

定理2假设f:I×2→连续, 若f满足条件(H2), 则BVP(1)有唯一解.

证明: 取u1=v1=0,u2=u,v2=v, 易证(H2)⟹(H1).因此由定理1知, BVP(1)至少有一个解.设u1,u2∈C4(I)是BVP(1)的两个解.令u=u2-u1且h=F(u2)-F(u1), 则u=u2-u1=Au2-Au1=S(F(u2))-S(F(u1))=Sh是LBVP(3)的解, 且满足方程

(14)

将方程(14)两端乘以-u(x)=-(u2(x)-u1(x)), 由条件(H2), 有

在I上积分不等式(15), 左侧利用分部积分, 右侧由引理2, 有

(16)

3 应用实例

例1考虑如下四阶边值问题:

(17)

对应BVP(1), 非线性项

f(x,u,v)=4v+uv2+u3+sin(πx)

(18)

关于u,v超线性增长, 文献[4-10]的结果不适用于BVP(17).

因此条件(H1)成立.由定理1知, BVP(17)至少有一个解.

例2考虑如下四阶边值问题:

(19)

对应BVP(1), 非线性项f(x,u,v)=-3u+5u3+4v+x关于u超线性增长, 文献[4-10]的结果不适用于BVP(19).

下面验证条件(H2)成立.取a=4,b=4, 则a/π4+b/π2<1.对任意的x∈I, (u1,v1),(u2,v2)∈2, 由微分中值定理知, 存在ξ=u1+θ(u2-u1),η=v1+θ(v2-v1), 其中θ∈(0,1), 使得

因此条件(H2)成立.由定理2, BVP(19)存在唯一解.