创新，从集合开始

■扬州大学数学科学学院 张雨嫣

创新意识与创新应用是时代的召唤与主旋律,也是高中数学学习过程中不断渗透与培养的一种基本精神。而集合作为高中数学学习的第一个知识点,可以很好地加以铺垫,以集合为依托,以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,很好地融入创新意识与创新应用,也为高中数学的学习开了一个好头。

一、新概念

例1若一个数集中任何一个元素的倒数仍是该数集中的元素,则称该数集为“可倒数集”。试写出一个含有3 个元素的可倒数集为_____。

分析：借助数集所满足的特殊条件来定义新概念,利用特殊的对称性,结合新概念集合中含有3个元素(奇数个)来构建方程,确定其中一个元素的值,再结合新概念所对应的集合的基本特征写出满足概念的集合即可。

点评:解决此类集合中的定义新概念问题,关键是正确分析、理解并掌握新概念的内涵与实质,抽象出对应新概念的属性,并结合结论所要确定的目标进行逻辑推理或代数运算。此题以开放性创新题的形式来创设,答案不唯一,从概念、形式等多个层面加以创新,很好地融入创新意识与创新应用。

二、新名称

分析：本题以集合的子集为背景,创新定义集合中的新名称——“长度”,根据该集合的新名称,分别确定集合M、N的“长度”,而求解M∩N的“长度”,就可以转化为求解两线段公共部分最短时的长度值。

解：根据新名称——“长度”,可知集合M的“长度”为,集合N的“长度”为,集合“{x|0≤x≤1}”的“长度”为1,那么求解M∩N的“长度”的最小值,就相当于求两线段公共部分最短时的长度值。如图1 所示,设AB是一长度为1 的线段,a是长度为的线段,b是长度为的线段,a,b可在线段AB上自由滑动,a,b重叠部分的长度即为M∩N的“长度”,由图1 可知,当a,b各自靠近线段AB的两端(如a靠近端点A,b靠近端点B)时,重叠部分最短,所以集合M∩N的“长度”的最小值是。

图1

故选择答案:C。

点评:解决此类集合中的定义新名称问题,关键是挖掘新名称的实质,以对应定义的新名称所对应的集合的实质,或元素属性,或集合运算,或集合性质等来转化与应用。此题以集合的“长度”来创新定义集合所对应的区分的长度,“数”与“形”合理渗透与转化,以“形”创新解“数”,数形结合,创新应用。

三、新运算

例3设U为全集,对于集合X,Y,定义新运算“*”:X*Y=∁U(X∩Y)。对于集合U={1,2,3,4,5,6,7,8},X={1,2,3},Y={3,4,5},Z={2,4,7},则(X*Y)*Z=____。

分析：正确分析题意,根据定义的新运算,以及集合的交与补的基本运算加以交汇与综合,先确定X*Y所对应的集合,再利用定义的新运算,进一步确定(X*Y)*Z的集合,实现集合的创新运算的应用。

解：由于U={1,2,3,4,5,6,7,8},X={1,2,3},Y={3,4,5},Z={2,4,7},可得X∩Y={3}。由题中定义的新运算,可得X*Y=∁U(X∩Y)={1,2,4,5,6,7,8},则有∁U(X∩Y)∩Z={2,4,7}。所以(X*Y)*Z=∁U[∁U(X∩Y)∩Z]={1,3,5,6,8}。

故填答案:{1,3,5,6,8}。

点评:解决此类集合中的定义新运算问题,关键是挖掘新运算的内涵与运算规则,同时应用集合中已有的交、并、补等基本运算,以及相关的代数运算等加以综合,正确逻辑推理,巧妙代数运算,从而达到解决创新应用问题的目的。

四、新性质

例4(多选题)设集合P为实数集R的非空子集,若对任意的x,y∈P,都有x+y,x-y,xy∈P,则称集合P具有“封闭性”。则下列说法中正确的是( )。

A.集合P={a+|a,b为整数}具有“封闭性”

B.若集合P具有“封闭性”,则一定有0∈P

C.具有“封闭性”的集合一定是无限集

D.若集合P具有“封闭性”,则满足P⊆T⊆R的任意集合T也具有“封闭性”

分析：根据集合所具有的新性质——“封闭性”来创设,利用选项中的不同场景,结合新定义加以逐一分析与判断,或推理论证,或特殊值处理,或举反例等,从不同的视角切入,借助不同的方法来分析与解决。

解：对于选项A,任取x,y∈P,不妨设x=a1+b1,y=a2+b2(a1,a2,b1,b2∈Z),则x+y=(a1+a2)+(b1+b2),其中a1+a2,b1+b2均为整数,即x+y∈P,同理可得x-y∈P,xy∈P,故选项A 正确;

对于选项B,当x=y时,0∈P,故选项B正确;

对于选项C,当集合P={0}时,P具有“封闭性”,但不是无限集,故选项C错误;

对于选项D,设集合P={0}⊆T={0,1},显然P具有“封闭性”,T不具有“封闭性”,故选项D 错误。

综上分析,说法正确的是选项A、B。

故选择答案:AB。

点评:解决此类集合中的定义新性质问题,关键是挖掘新性质的本质,借助逻辑推理、代数运算等来分析,有时也可以通过特殊值法处理或举反例辨错等方式来阐述集合新性质问题。此题以多选题的形式来创设,设置不同情境,借助不同方法来分析与处理,更好地渗透了数学知识、数学能力与数学思想等,倡导创新意识与创新应用。

五、新综合

例5已知有限集A={a1,a2,…,an}(n≥2,n∈N*),如果集合A中的元素ai(i=1,2,3,…,n)满足a1·a2·…·an=a1+a2+…+an,就称集合A为n元“创新集”。

(1)若ai∈R,试写出一个二元“创新集”A;

(2)若a1,a2∈R,且{a1,a2}是二元“创新集”,求a1·a2的取值范围;

(3)若ai是正整数,求出所有的“创新集”A。

分析：根据新定义——n元“创新集”,挖掘实质,从集合列举、函数与方程、不等式求解,以及逻辑推理等多个层面加以综合,结合韦达定理与反证法思维来解决创新综合问题。

解：(1)等。(答案不唯一)

(2)若a1,a2∈R,且{a1,a2}是二元“创新集”,不妨设a1+a2=a1·a2=m,则由根与系数的关系知a1,a2是一元二次方程x2-mx+m=0的两个实数根,由判别式Δ=m2-4m＞0,解得m＜0或m＞4,即a1·a2＜0或a1·a2＞4,所以a1·a2的取值范围为(-∞,0)∪(4,+∞)。

(3)不妨设集合A中的元素a1＜a2＜a3＜…＜an,由a1·a2·…·an=a1+a2+…+an＜nan,可得a1·a2·…·an-1＜n。

当n=2时,有a1＜2,结合ai是正整数可得a1=1,于是1+a2=a2,此时无解,不存在满足条件的“创新集”A;

当n=3 时,有a1a2＜3,故只能a1=1,a2=2,求得a3=3,此时“创新集”A只有一个为{1,2,3};

当n≥4 时,由a1·a2·…·an-1≥1·2·3·…·(n-1),若“创新集”A存在,则需n＞1·2·3·…·(n-1),但是1·2·3·…·(n-1)≥(n-1)(n-2)=n2-3n+2矛盾,即当n≥4时不存在“创新集”A。

综上分析,可知“创新集”A={1,2,3}。

点评:解决此类集合中的定义新综合问题,关键是理清题目的创新内涵,综合集合、函数与方程、不等式等相关知识加以交汇,渗透相关的数学思想与数学方法,实现问题的交汇与融合。此题以集合新综合为问题背景,巧妙融入集合、函数与方程、不等式等知识,以及推理与证明、数学运算等基本能力。

创新意识与创新应用问题可以很好地考查同学们的阅读理解能力、创新应用能力、知识迁移能力与终生学习能力等,也是历年高考命题中的一大亮点,备受各方关注。融入集合知识,渗透创新意识与创新应用,有效检测同学们对知识理解与掌握的广度和深度,挖掘同学们的学习潜能,提高数学品质,提升数学能力,培养创新意识与数学核心素养。