基于F-K和Kirchhoff法的隧道衬砌双层钢筋偏移成像研究

黄岚清 洪亮 张亮 肖育旗

摘  要：针对隧道衬砌结构钢筋数量缺失与布置间距不合理等质量问题，基于探地雷达正演模拟试验，对隧道衬砌双层正对钢筋进行探测研究，分别采用F-K法和Kirchhoff法对钢筋检测图像进行偏移归位处理，探究钢筋回波信号偏移归位效果，比较两种偏移方法的优劣。结果表明：理想无噪声条件下，F-K法和Kirchhoff法能获取相同的偏移速度，并使衬砌双层钢筋回波信号准确归位，但由F-K偏移法得到的偏移图像信息熵更小，偏移效果更精确。含噪声情况下，F-K偏移法具有更强的抗噪性，能获取稳定有效的偏移速度，偏移处理后钢筋信号能量集中且易于识别。

关键词：隧道衬砌；探地雷达；偏移成像；F-K偏移法；Kirchhoff偏移法

中图分类号：TP39；TN957.52 文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2023）15-0189-06

Research on Migration Imaging of Double-layer Reinforcement in Tunnel Lining Based on F-K and Kirchhoff Methods

HUANG Lanqing， HONG Liang， ZHANG Liang， XIAO Yuqi

（School of Civil Engineering， Hunan City University， Yiyang  413000， China）

Abstract： In response to quality issues such as missing quantity and unreasonable spacing of reinforcements in the tunnel lining structure， based on the forward modeling test of Ground Penetrating Radar， the detection of double-layer facing reinforcement in the tunnel lining is studied. The F-K method and Kirchhoff method are used to migrate and return the reinforcement detection images， and the effect of reinforcement echo signal migration and return is explored. The advantages and disadvantages of the two migration methods are compared. The results show that the F-K method and Kirchhoff method can obtain the same migration speed and accurately locate the echo signal of the double-layer reinforcement in the lining under the ideal noiseless conditions. However， the information entropy of the migration image obtained by the F-K migration method is smaller， and the migration effect is more accurate. In the presence of noise， the F-K migration method has stronger noise resistance and can obtain stable and effective migration speed. After migration processing， the reinforcement signal energy is concentrated and easy to identify.

Keywords： tunnel lining; Ground Penetrating Radar; migration imaging; F-K migration method; Kirchhoff migration method

0  引  言

在經济快速发展、科学实力和技术水平不断提高的背景下，我国交通设施网在不断完善，隧道工程建设也在快速发展，规模不断扩大，隧道衬砌结构的质量检测也随之越来越重要。隧道衬砌检测的内容主要包括衬砌结构的厚度、衬砌密实度、衬砌结构内部钢筋分布是否满足设计要求等。探地雷达由于有操作简单、成果直观、适应性强、分辨率高且为无损探测的特点，而被广泛应用于隧道衬砌结构钢筋分布、质量缺陷检测中。采用探地雷达进行隧道衬砌探测与状态分析对衬砌施工质量的把控有至关重要的作用。衬砌结构内钢筋介电常数远高于混凝土介电常数，电磁波遇到钢筋会发生强烈反射，多层钢筋引起的反射和绕射问题复杂，导致检测人员难以对图像进行准确的解释和判断。需探索不同条件下适用于钢筋数量检测与间距分析的方法，对钢筋进行准确的位置还原与识别，发现结构中存在的钢筋错位等问题，及时检测衬砌结构服役性能。

诸多学者对隧道衬砌钢筋探地雷达检测及其回波信号分析展开研究。陈伟等[1]采用探地雷达对隧道衬砌模型进行正演模拟，深入分析了不同介质对电磁波反射的影响，得出检测结果中钢筋分布等图像特点；吴庆全等[2]在对工程实例的地质雷达钢筋检测研究中发现回波信号受钢筋埋深、直径以及分布情况等因素影响；舒志乐等[3]对雷达数据进行二维和三维的分析研究，发现钢筋间距的不同会产生不同程度的干扰；尹涛等[4]通过FDTD数值模拟发现不同类型的衬砌缺陷的识别难度不同，双层钢筋网的屏蔽作用更强；杨宇等[5]通过对模拟实际混凝土结构中不同埋深的钢筋的检测及信号处理，提高了混凝土内部深浅埋钢筋的可视化程度。探地雷达常用的偏移算法包括柯希霍夫（Kirchhoff）积分偏移法[6]、F-K偏移法[7，8]等。偏移处理的作用在于提高图像的分辨率，从而恢复复杂结构的真实状态和准确位置。黄玲[9]等对单层钢筋及缺陷正演结果进行F-K偏移处理，很好地把钢筋网的绕射波聚集归位，有效地改善了图像的成像效果；林志强等[10]提出基于图像熵的探地雷达Kirchhoff偏移成像算法，较准确地估计出地下电磁波的传播速度.

本文通过引入图像熵的概念，动态估计可使F-K法和Kirchhoff法偏移成像效果最好的波速参数，并采用F-K法和Kirchhoff法对理想无噪及存在强干扰噪声的衬砌双层钢筋正演图像进行偏移成像处理，对两种方法的钢筋偏移归位效果进行比较和判断，从而为实际工程中衬砌钢筋的偏移归位处理及准确识别提供理论参考和依据。

1  偏移方法和理论

1.1  kirchhoff偏移法

Kirchhoff偏移法在20世纪70年代被提出并逐步成熟，其始于绕射偏移原理并依据Kirchhoff积分公式来实现偏移成像，并借此发展为地震波动方程积分法。该偏移方法通过对探测波波动方程進行Kirchhoff积分求解，将地面路径上接收到的地下物体某一点处探测波绕射信号汇集起来形成偏移图像，在实际工程的探测中也得到了一定应用。

在介质均匀的条件下，探地雷达发射电磁波的电场分量E（x，y，z，t）满足标量波动方程：

式中，v为波速。

式（1）的Kirchhoff积分解为：

其中，S表示包围点（x0，y0，z0）的任意光滑闭曲面，r表示点（x0，y0，z0）到曲面S上任意点的距离，k = ω / v称为波数，ω表示电磁波的角频率，? / ?n表示沿S的外法线方向的方向导数。

由于在探地雷达探测过程中，波场仅存在于地面以下的半空间中，所以选取闭曲面由无限大的地平面S0和一个半径无穷大的半球面构成。由电磁波的传播规律可知，无穷大半球面上的波函数为零，因此对式（2）进行推导可得：

其中，E - = E（x，y，z，t - r / v）。

式（3）说明P点t时刻的波场值是由前一时刻t - r / v地面上的场源激发的，这符合电磁波“向前”传播的规律，而探地雷达记录的数据是地下目标反射至地面的波场函数值，探地雷达偏移成像的目的是利用记录的数据反演出目标在地下的真实位置，这要依靠波“倒退”的规律。事实证明，波“倒退”也符合惠更斯—菲涅尔原理，也可以用Kirchhoff偏移积分来描述，只是需要将时间“逆转”，于是有：

其中，E + = E（x，y，z，t + r / v）。

利用探地雷达的反射成像原理，偏移速度取真实速度的1/2，并利用在地平面（z = 0）处记录的数据在t = 0时进行成像，可得：

Kirchhoff偏移法具有精确成像、快速计算、适应性强、处理灵活、效率高等特点，能够解决横向速度剧烈变化带来的偏移成像不精确的技术难点，极大地提高了回波成像的分辨率和信噪比，并且积分法能够适应变化的观测系统和起伏的地表，因此积分法能够适应复杂结构的偏移成像。

1.2  频率波数（F-K）偏移法

设二维信号或图像f （x，z = 0，t）的傅里叶变换为F（kx，z = 0，w），则：

式中：x表示水平坐标，z表示垂直坐标，向下为正，t表示时间.在频率波数域内，深度z的波场可表示为：

F（kx，z，w）=F（lx，0，w）eik，z（7）

设二维信号f （x，z，t）{ f （x，t）在z方向的延拓}为F（kx，z，w）关于kx，w的二维傅里叶逆变换，则：

然后，根据频散关系式：

将式（9）代入式（8），令t = 0，经过推导可得：

根据式（10），可以对探地雷达图像进行频率波数偏移成像分析。

2  图像信息熵评价

信息熵用以描述事件或集合的不确定性或无序性，图像信息熵则反映了图像平均信息量的大小。若被分析对象越是规则有序，所包含的有用信息量越大，对应的信息熵值就越小；若被分析对象越杂乱无序，则所具备的有用信息量就越小，对应的信息熵值就越大。信息熵测度是反映被分析对象规则性水平的一个重要度量。

在地质雷达回波图像熵值的度量中，当偏移成像信息越集中，则图像信息熵测度值越小，反之，若接收图像中多次波或绕射波越多，则图像熵值越大。在偏移归位处理中，恰当的偏移速度是偏移成像能否成功的关键。当选取的偏移速度过小，则双曲线收敛不完全，反映在对应的图像熵值偏大；当偏移速度过大，此时会出现偏移过聚焦问题，绕射波反向沿更浅处延伸，图像信息熵值也会偏大，合适的偏移速度会使图像中反射界面绕射波尽可能地收敛，表现在回波图像的信息熵处于较低值。

地质雷达图像信息可表示为：

式中，aij表示地质雷达图像第i行第j道采样数据的样本值。图像信息熵值定义为：

上式中，E_t表示所有采样点的总能量值；Pij表示单个信号点能量占总能量的比值；D表示图像信息熵值。

3  隧道衬砌钢筋正演模拟图像偏移处理分析

3.1  理想不含噪声正演计算图像

采用GPRMAX软件程序建立隧道衬砌结构探测正演计算模型，衬砌结构存在两层正对钢筋，以模拟实际工程中隧道衬砌结构内钢筋的探测与识别。模型尺寸为长×宽= 2.00 m × 0.95 m，空气层厚度为0.05 m，天线步距为0.01 m，天线收发距为0.1 m，信号道数为192，天线中心频率为900 MHz，混凝土的介电常数为6.0，钢筋直径0.04 m，横向间距0.14 m，排距为0.1 m。上层钢筋埋深为0.7 m，上层钢筋埋深0.8 m，每排钢筋数量均为10根，如表1所示。正演建模及计算结果如图1所示。

由图可知，由于钢筋与混凝土的电性差异大，雷达波在传播过程中遇到钢筋发生强烈的电磁反射，钢筋回波信号呈开口向下的双曲线弧形（月牙状），其顶部为钢筋所在位置，浅层钢筋的双曲线反射较为强烈，但同时也会削弱下层钢筋的反射，导致下层钢筋的反射信号变弱，不易分辨。首先对正演计算图像进行静校正处理，以去除直达波。由于正演模型衬砌混凝土介电常数为εr = 6，根据介电常数法，电磁波在衬砌混凝土中传播速度估计值为  cm/ns。基于该偏移速度值，设定偏移速度区间为[9.25 cm/ns，15.25 cm/ns]，速度扫描间隔为0.2 cm/ns。分别采用F-K法和Kirchhoff法对钢筋正演探测图像进行偏移校正处理，并计算每个速度值对应的钢筋偏移图像信息熵值，结果如图2和图3所示。

由图可知，两种偏移方法的速度-信息熵曲线都非常规则，有明显的变化规律，并且两种方法的速度-信息熵曲线中均存在极小信息熵值，信息熵的极小值对应的偏移速度均为Vbest = 12.45 cm/ns，表明相对于其他速度值，采用该最佳速度值对钢筋正演图像进行偏移成像处理，钢筋回波信号能得到最大程度归位和收敛。基于该最佳偏移速度值，分别采用F-K法和Kirchhoff法对钢筋探测正演图像进行偏移归位处理，结果如图4所示。

经偏移处理后，钢筋两侧绕射信号得到有效归位，偏移图像钢筋信号的形状与其真实形状接近，位置也得到还原，图像分辨率较高，钢筋回波信号清晰可见，能量较为聚焦。經计算，F-K法衬砌钢筋偏移图像信息熵值为9.31，而Kirchhoff法对应的钢筋偏移图像信息熵值为9.60，由F-K法得到的钢筋偏移图像信息熵较小。相对于Kirchhoff法，经F-K法偏移处理后，钢筋回波信号分布更为集中，绕射信号收敛更为完全，表明在理想的无噪声环境下，F-K偏移法对衬砌双层钢筋的偏移成像效果优于Kirchhoff法。

3.2  含噪声正演计算图像

同样建立衬砌结构双层钢筋正演探测几何模型，模型大小、钢筋及背景介质情况与上述理想不含噪声情况下的衬砌钢筋检测模型一致，并开展模型探测正演计算。在正演图像中加入强度为45 dBW的高斯白噪声，几何模型及加噪后的正演计算图像如图5所示。对比图5和图1可知，在其他参数一致的条件下，由于图像受噪声影响，正演计算图像中钢筋回波信号更为模糊，双曲线尾部交叉点难以辨别。

对含噪的正演计算图像进行去直达波处理，由于衬砌混凝土介电常数不变，因此电磁波在衬砌中的传播速度估计值同样为v2 = 12.25 cm/ns，设定速度扫描区间为[9.25 cm/ns，15.25 cm/ns]。基于该速度区间，分别采用F-K法和Kirchhoff法对去直达波后的衬砌钢筋探测图像进行成像处理，结果如图6、图7所示。

对比图6和图7可知，F-K偏移法速度-图像信息熵曲线最小信息熵为11.28，最小信息熵对应的偏移速度为12.45 cm/ns；Kirchhoff偏移法速度-图像信息熵曲线最小信息熵为11.31，对应的最佳偏移速度为13.05 cm/ns；与理想无噪声情况下经偏移处理后得到的速度-信息熵曲线相比较，F_K偏移法速度-信息熵曲线仍然非常规则，规律明显，辨识度高，存在极小信息熵值，可采用该准确的偏移速度值进行偏移成像处理；而Kirchhoff偏移法速度-信息熵曲线较为凌乱，图像信息熵值无明显变化规律，难以获取准确有效的偏移速度值，从而影响衬砌钢筋回波信号偏移成像归位。

由图8可知，F-K法偏移处理后，图像信息熵值略小于由克希霍夫法偏移处理得到的图像信息熵，表明F-K法对含噪图像仍然具有很好的偏移归位效果，较克希霍夫偏移法具有一定的抗噪性，且F-K法处理后，含噪图像分辨率较高，钢筋反射信号清晰可见，能量较为聚焦，而克希霍夫法偏移后，由于其较差的抗噪性，图像钢筋反射回波易被噪声干扰信号所掩盖，经偏移处理后的图像模糊，较难识别和辨认，无法准确还原钢筋位置。

4  结  论

基于探地雷达电磁波基本理论和GPRMAX正演数值方法，分别采用F-K法与Kirchhoff法对隧道衬砌双层钢筋探测正演图像进行偏移成像处理，通过分析含噪及理想不含噪条件下双层钢筋的偏移归位情况，并运用图像熵理论对偏移效果进行定量计算和评价，比较两种偏移方法的实际运用效果。相对于Kirchhoff偏移法，F-K偏移法获取的偏移速度-信息熵曲线更规则，计算得到的偏移速度更为准确合理，偏移处理后钢筋信号更聚焦、能量更为集中，两侧绕射波收敛则更完全，并且F-K偏移法对含高强度噪声的钢筋检测图像也具有很好的归位效果，较克希霍夫偏移法具有一定的抗噪性。F-K偏移压制了多次波和绕射波，有利于钢筋位置的还原和识别，提高了图像解释精度。因此，在隧道衬砌双层钢筋的偏移成像处理与识别中，F-K法具有优越性和较好的适用性。

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