数学运算素养提升的培养策略探究

叶良铨

摘 要：一些高中数学课堂教学重解题思路分析，轻过程计算，已严重阻碍了学生数学运算素养的发展。教师应理解教材，展示过程计算，消除学生的计算惰性，重拾学生的运算自信，在过程计算中感受數学的运算之美，塑造学生坚忍不拔的意志品质，培养严谨、创新、一丝不苟的数学精神。

关键词：过程计算；运算素养；数学精神

中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1673-8918（2023）33-0069-06

一、 引言

一些高中数学课堂教学重解题思路分析，轻过程计算，“粗爆”抛答案，久而久之，学生的运算能力逐渐失去，计算惰性悄悄形成，为今后学生的进一步学习埋下了巨大隐患，严重阻碍了学生数学运算素养的发展。重拾学生的运算信心，消除学生的计算惰性，引领学生在计算过程中体悟数学的运算之美，塑造学生坚忍不拔的意志品质，培养学生严谨、创新、一丝不苟的数学精神，践行学科育人，实现立德树人，是目前高中数学课堂教学迫切的价值追求。

二、 数学运算素养提升的培养策略

（一）理解数学运算，理清算法、算理

首先要理解数学运算。数学运算是高中数学六大核心素养之一，《普通高中数学课程标准》中指出，数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。它主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果。

据此，不难看出，执行数学运算其实质就是运算对象的不断转换，而在转换过程中又是不同运算法则的切换，也就是说，根据运算法则，由p推得q，这与演绎推理在推理形式上是相同的。因此，数学运算和逻辑推理存在紧密的联系，它们相互依存，但又各有侧重。本质上说，演绎推理把运算抽象化，过程运算又把演绎推理具体表现。

【例1】 已知实数a，b满足a2+4b2=1，求a+b的最大值。

【变式1】 已知实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=1，求a+2b的最大值。

本题做了一点变化，在厘清本题的运算对象后，就要探究运算思路，发现此题如果用前面容易想到的两种方法来执行计算是行不通的。此时我们在教学时就应适时引导学生做好算理、算法的合理选择与调控，慢节奏拆分因式，让学生自己逐步发现算理指向二维向量的数量积，在探究过程中自然形成思维活动经验的积累。

作为教师，在课堂上我们更想看到常规方法之外的东西，这就需要教师在平时的教学中将这些运算素养因子浸润到教学的点滴中，正所谓“润物细无声”。因此，教师在教学人教A版选择性必修第三册P98—99：在推导相关系数r的取值范围时就应该驻下脚步，带领学生感受“从碰到困难→观察联想→从结构假设→联想向量的数量积→n维向量的数量积→第一分量构成n维向量→第二分量构成n维向量→利用三角的有界性→r取值范围的求出”这种解决问题的过程，思维活动经验的积累是宝贵的，沉淀的，今后才能厚积薄发。

如果学生有课堂上n维向量数量积思想方法的积淀，那么，此题构造三维向量的数量积就显得自然而流畅。

故ab+2bc+2ac的最大值为4。

（二）理解教材，在展示过程计算中培育数学运算因子

【例2】 （武汉市2023届高中毕业生二月调研考试第11题）已知离散型随机变量X服从二项分布B（n，p），其中n∈N*，0

A. a+b=1

此题的题面容易理解，因为已经明确告知是二项分布，所以可以快速地得到a，b的表达式，关键是如何计算的问题。如果我们在二项式定理教学时，能够从计算的整体上去教学，引导学生发现二项式定理的结构，通过变式训练教学，植入数学运算因子，揭示二项式定理的内部规律，让学生认清二项式定理的数学本质，解决此题就得心顺手。

故C正确，从而D错。

命题者正是站在了新课标、新高考、新考试评价体系的理解上来命制这道题的，考生在考场上能不能拿下这道题，就是考查考生的数学运算能力有没有形成，反过来，就看教师在平时教教材、用教材时有没有真正理解教材，有没有指导、引领学生走计算的道路，有没有一起带领学生去体会、领略计算道路上的荆棘和艰辛跋涉后见到“美好风景”的愉悦。只有理解教材编写专家的意图，在平时的课堂教学中重视运算的过程，注重数学运算核心素养的培养，学生的运算能力才能水到渠成。

（三）利用齐次化思想优化解析几何运算

每年的高考，解析几何是考查考生运算能力素养的一道不可或缺的载体，也是每位考生不可逾越的一道鸿沟。

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点。

（2）通法：易想不易做，解题流程为：

此种解法比较传统，属于老三篇的做法，费时费力，性价比低。但如果能够顺势（题目）而为，利用齐次式结构，就可以避开烦琐、荆棘的计算，从容快速地解出正确答案。

那么，如果把这个思想方法类比到解析几何里，如斜率公式、齐二次的因式分解等，往往能使我们走出烦琐计算的深渊，另辟蹊径，让繁杂的计算变得简洁、高效，柳暗花明。

由x2+4y2=4，得x2+4（y-1）2+8（y-1）=0，接下来构造齐二次：

考虑到8（y-1）是一次的，必须乘以一个一次式来构造齐二次，又因为直线l∶mx+n（y-1）=1，进行“1”的代换：从而，有x2+4（y-1）2+8（y-1）·［mx+n（y-1）］=0，

整理得：（8n+4）（y-1）2+8m（y-1）·x+x2=0，两边同除以x2，

代入直线得2（x+y-1）n+（x-2）=0，得x=2，y=1，故l过定点（2，1）。

上述方法的解答过程，简短、高效，在考场有限的2个小时内省出了大量的宝贵时间和精力，为其他问题的解答提供了精力和时间上保障，是解这道题的最优选，可以简明扼要地概括为：

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点。

因为直线l必不过点A（2，1），故可设直线l∶m（x-2）+n（y-1）=1，由x2-2y2-2=0，得（x-2）2+4（x-2）-2（y-1）2-4（y-1）=0，

构造齐二次：（x-2）2+4（x-2）·［m（x-2）+n（y-1）］-2（y-1）2-4（y-1）·［m（x-2）+n（y-1）］=0，

即（-4n-2）·y-1x-22+（4n-4m）·y-1x-2+（1+4m）=0，从而，4n-4m=0，得m=n≠-12，

所以，直线l的斜率为-1。

（四）强化结构理解，优化运算方式

解法1：本题从结构上，容易联想到基本不等式“1”的代换，即在a+2b的后头乘上一个因式，使得与a+2b相乘之后能出现常数和字母部分能互为倒数的两个分式，从而应构造出a+1和b+1这两个式子，即：

双换元就是为了强化结构，优化运算方式。

【变式1】 已知实数a，b满足6a2+4b2+6ab=1，求a2-b2的最大值。

这道题采用双换元法，优化结构和算法，就显现出它运算的优势了。

【变式2】 已知正实数a，b，c满足a2+b2+c2-ab-bc=1，求c的最大值。

解：观察题目结构与求解的方向是字母c的最大值，故可将条件等式中的a，b都转换成c来替代。

令a=mc，b=nc（m>0，n>0），则c2（m2+n2-mn-n+1）=1。

觀察结构，联系分子、分母发现分母的两个单项式是ab，bc都与b有联系，联想到均值不等式，故b2应拆分成两项，分别与a2，c2组合。

基于前面的经验，我们发现所求式子ab+2bc+cd中ab和2bc中都含有b；2bc和cd中都含有c，故此题要考虑b2和c2都需拆分成两部分来用。所以在数学运算时对运算式结构的理解至关重要，优良的运算方法是建立在对结构的理解上，所以要求教师在教学数学计算时要引导学生从运算式的结构分析，强化对结构的理解，从而制订最优的运算方法。

（五）培养运算自信，感悟运算之美

信心是准确运算的良好开端，而信心又源于自身的实力（运算能力），运算能力就需要教师在平时教学中的点滴培养积累。当然，除了算法、算理的合理选择与优化，坚韧的运算品质也是信心来源不可或缺的一部分，所以，除了引导学生要适时把控运算方向、优算算法，还要让学生感受到、看到运算是有“前途”的，有“希望”的，这样才能培养学生运算的决心和信心以及继续“走”下去的勇气。在探索运算思路和执行计算的过程中，会比较“孤独”，有时也会感到无助，就好比一个人走在一条无光、狭窄、幽静的道路上，四面楚歌，所以在运算推理时，要带领学生经历从狭窄、无光、幽静的运算管道中，通过不懈努力，终于冲出黑暗的“管道”看到外面的“无限光芒”和“精彩世界”，这种柳暗花明的经历对学生运算信心的培养和树立无可替代，是学生永恒的财富。另外，在运算推进过程中，要引导学生去发现“路途”上的美。其实，数学之美无处不在，运算本身就蕴含着美的元素，在运算推进的过程中无不体现数学运算的理性美、创新美、对称美、严谨美。所以，教师在平时的运算教学中既要让学生感受到沿途的“美丽风景”，又要让学生体会到艰辛的“爬山涉水”，“越过险峰”后的“壮丽景色”的愉悦心情。

三、 结论

总之，学生良好的数学品质的形成，运算素养的提升是一项长期的工程，它渗透在整个高中数学课程的学习中，是日积月累形成的，所以，教师在平时的课堂数学运算教学中，在演算到一些运算的“紧要处”时要舍得时间和空间，留给学生自己去探索，因为这样的经历是必要的，由此积淀起来的思维活动才是今后学生进一步学习的宝贵财富，也最具鲜活性和持久性，对数学运算素养的提升才最具有实质性的意义。因此，以最优的运算方法解决实际问题，在解决问题中形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的数学精神，促进数学思维的发展，塑造坚强的意志品质，践行学科育人，才是数学教师应承担的历史使命，而在展示过程计算中去展现数学运算之美，激发学生对数学运算情感的依托，提升学生的运算素养，五育并举，培养走向社会的现代人，也是数学教师的神圣职责，更是目前高中数学课堂教学迫切的价值追求。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.