模糊厌恶下基于区块链挖矿算力投资模型研究

王良熠,沈明轩,费为银

(安徽工程大学 数理与金融学院,安徽 芜湖 241000)

比特币作为第一个去中心化的可运行的数字货币,它的市场运作与行业动态值得我们关注研究。在比特币等一类加密数字货币市场中,商家和消费者能够以更低的成本去交易,且区块链技术使得这样的交易和使用传统银行系统相比几乎是一样安全的。这种安全性依赖于将密码原语的稳健性和参与协议执行的代理人的经济激励相结合。矿工在这其中扮演主角,他们通过工作量证明解决随机数难题生成新区块并以加密方式赋予时间戳,获得记账权的矿工将交易信息记录在区块中。在工作量证明共识机制下,每个节点利用自身的算力不断进行哈希运算来寻找符合条件的随机数。最快找到随机数并验证通过的节点将获得记账权,生成并发布新区块添加到区块链上,该过程就称为“挖矿”,每轮竞争的获胜者会获得一定数目的比特币作为奖励,分散在世界各地的通过操纵计算机或矿机参与挖矿的人称为“矿工”。攻击比特币的成本与矿工投入的算力成正比,因为该成本由工作量证明协议中随机数难题的难度决定。整个系统要想保持安全性,攻击的成本必须服从比特币价值的指数级增长,用于挖矿的其他资源也是一样。起初一些矿工由于兴趣爱好使用他们的个人计算机开始挖矿,而后渐渐地发展成为挖矿行业,使用专门用于挖矿的机器设备(后文中统称为矿机)进行挖矿,这个行业通过挖矿社区网络消耗全世界近0.15%的电力。因此,矿工的挖矿行为决策需要考虑成本、回报以及市场的不断变化和不确定因素。综上,本文的研究工作首先去分析挖矿市场中的一些重要因素以供进一步建模并深入研究。

众所周知,比特币的可行性对于挖矿市场而言是十分重要的,本文基于模糊不确定环境,建立了一个表现挖矿市场随时间演化的均衡模型,表明网络算力投资仅使用比特币兑美元的汇率就可以预测,并且当市场的模糊程度较高时,矿工挖矿面临的投资风险较大。挖矿的硬件投资有两个重要特点:第一,矿机在挖矿市场之外没有转售的价值,因为矿机只能用于挖矿;第二,未来的收入有诸多的不确定性,因为比特币兑美元的汇率波动较大。这两个重要的特点结合就使得还未进入市场的矿工由于预期收入不确定需要考虑进入市场是否合理,而对于现有的已在市场中挖矿的矿工而言,退出市场的成本也是足够高的,同样需要谨慎考虑。本文的研究面临的主要挑战是,我们不能将每个独立矿工对待挖矿收入的问题看作是外生的,相反,我们必须考虑市场中活跃矿工的数量如何内生性地决定回报。本文的经济学视角是比特币协议的相关规定使得挖矿算力产生了一条下降的需求曲线,因此,挖矿市场表现为一个具有竞争力的行业,与传统的完全竞争市场类似。

本文将比特币兑美元的汇率与比特币网络总算力结合,构建了一个衡量矿工回报的新变量,建立模型并预测出矿工购买新的硬件当且仅当回报达到反射边界,回报不会超过这个临界值,因为新的进入触发了挖矿难度的增加,导致收入降低。本文还考虑挖矿硬件设备的技术进步因素,在均衡模型使用了一个体现技术进步的比率,从而使得分析描述更具显示意义和研究价值。

1 文献综述

现有的很多文献从各个方面对比特币作出了详细分析研究。Nakamoto[1]最早提出了比特币系统的架构模型,为其设计了工作量证明(PoW)共识机制并在文献中详细说明。Decker和Wattenhofer[2]分析了比特币如何通过网络传播交易和区块来更新分类账副本,并使用收集到的信息来验证以下猜测:网络中的传播延迟是区块链分叉的主要原因。Karame[3]分析了使用比特币进行快速支付的安全性,并专注于研究针对快速支付的双重支付攻击。Reid等[4]从比特币的公有交易历史出发,研究了两个网络的拓扑结构,证明了这两个网络具有非平凡的拓扑结构,提供了比特币系统的互补视图,并且对匿名性有影响。

随着加密货币原理逐渐应用到经济领域,部分文献开始对比特币一类的加密货币以及挖矿行为进行较为深入的经济学机理研究。Chiu[5]研究了比特币等一类加密货币的优化设计,并定量评估此类货币对双边贸易的支持程度。Hong等[6]分析了法定货币和数字货币的双重货币制度,并在传统货币经济模型框架下研究了法定货币和数字货币的潜在挤出效应。研究发现,当使用一种货币(交换媒介和价值储存)的成本极高,而使用另一种货币的成本极低的极端情况下会产生挤出效应。Rosenfeld[7]描述了用于计算比特币矿池挖矿参与者奖励的各种评分系统,解释了每种评分系统的设计用来解决的问题并分析了各自的优缺点。洪阳等[8]在模拟诚实矿工挖矿实验的基础上,重点研究自私挖矿情况下矿工的最佳相对收益。姚前[9]基于经济学的视角剖析了区块链技术的激励相容设计。

还有一些文献通过建立模型来分析矿工行为以及比特币挖矿市场的动态。Biais等[10]将工作量证明区块链协议建模为一个随机博弈,并分析了理性的战略矿工的均衡策略。费为银等[11]从挖矿找到随机数这一事件入手,建立挖矿收益与确定性等价收入模型,建立矿池管理者关于池费的最大化期望效用模型和矿工关于自身算力分配的最大化收益模型,分析算力优化问题。Athey等[12]建立了一个用户采纳和使用虚拟货币(如比特币)的模型,重点研究了当存在汇率不确定性引起的摩擦时,虚拟货币用户采纳的变化情况,该理论模型可用于分析市场基本面如何决定法定货币兑比特币的汇率。Prat等[13]提出了用比特币/美元汇率来预测比特币网络算力的模型,通过校准模型参数预测网络算力随时间的演变规律,通过样本外测试和对进入规则的调查来确定模型的准确性。

挖矿活动作为一项不可逆投资,其中有许多经济学因素值得深入研究,也与许多竞争行业有着类似之处。Aied等[14]建立了明确的社会最优规则,用于具有不确定性的不可逆的投资决策,并详细讨论了经济效应。Caballero等[15]研究了在一个具有不可逆投资的竞争性行业中,行业性和不确定性对企业进入、总投资和价格的影响,并决定了进入决策和由此产生的行业均衡及相关特征,指出不同的不确定性来源产生的影响。作者强调不可逆性影响价格的均衡分布,而均衡分布又反过来影响进入。Dixit等[16]首次详细阐述了企业资本投资决策的新理论方法,强调了大多数投资决策的不可逆性,以及做出这些决策的经济环境的持续不确定性。

经济环境的不确定性影响着投资者的决策,目前,不少国内外学者开始研究模糊不确定对各种经济行为的影响。随着全球经济环境的不断变化,影响金融市场中投资者投资决策的因素也变得越来越复杂,这些因素往往会对投资者的投资效率带来冲击。因此在进行投资决策时,除了需要考虑风险外,还需要将模糊性纳入衡量投资收益的不确定性当中进行考量,以便作出更加明智的决策。Chen等[17]在一个具有代表性的代理资产市场环境中提出一个模型,该模型提供了对超额回报的限制并考虑了反映风险溢价和模糊性单独溢价的情况。文中表示不确定性定义可分为明确的两部分:风险(Risk)和模糊性(Ambiguity)。风险是指存在特定的概率分布,可计算期望和方差的不确定性;而模糊性则是指不确定性无法计算的情况,即没有明确的概率分布以及期望和方差。Miao等[18]在研究中区分风险和模糊不确定性,采用了多先验效用模型研究模糊性对期权行权决策的影响,结果表明模糊性对期权行使决策的影响取决于继续收益和终止收益的相对模糊程度,模糊性可能会加速或延迟期权的行使。Neamtiu等[19]主要研究了模糊性对投资管理和现金控股的影响。Agliardi等[20]将模糊性引入可转换债务的未定权益模型,研究了股权持有人和债务持有人的模糊偏见对可转换债务估值的影响,运用债券价值对持有人态度变化的模糊性及稳定性参数,对债券价值提供了敏感性分析。Agliardi等[21]从模糊性理论的角度探讨了以下问题:为什么一些公司发行股票而不是债务?为什么大多数公司保留他们持有的现金,而不是作为股息分配?在严重的金融限制和模糊时期,或在面临不可预测的金融危机的威胁时,企业如何改变其融资政策?文章分析了模糊性如何影响公司的权益和债务价值,表明投资者的模糊厌恶偏差足够大时,现金持有会保留更长的时间。李昊骅等[22]考虑决策者是模糊厌恶的,利用实物期权方法,解析地给出了银行价值,企业价值和最优停贷水平,分析了模糊厌恶和基准波动率对最优贷款利率,最优停贷水平,企业价值和银行价值的影响。Epstein等[23]用一个连续时间框架下的效用模型刻画了资产价格波动和漂移的模糊性特征,进而将资产定价理论中的一些基本结果在模糊性下进行了推广。何俊勇等[24]考虑投资者在每个期末由于投资经验获得的随机禀赋与风险资产未来收益之间的相关系数存在模糊性,进而分析这种模糊性对资产定价和社会福利的影响。在最近的十几年中,金融市场投资决策相关理论的迅速发展深化了我们对不确定性的理解,由于比特币挖矿市场中,矿工的投资决策也同样受到市场中各类复杂因素的影响,矿工获得的回报奖励受到多种因素变化带来的冲击,这种冲击具有不确定性,因此为了更加灵活地处理模糊性对矿工投资决策的影响,我们有必要引入肖-布朗运动考虑模糊不确定性来刻画挖矿市场的行业动态。

目前还有一些文献基于G-布朗运动去研究现实中的种种经济行为和决策。彭实戈[25]给出非线性期望的基本定义,表明非线性期望理论可以广泛地用于分析和计算现实世界数据背后隐藏的概率和统计分布的不确定性,进而使人们对现实世界中概率模型本身的不确定性也能进行定量的分析和计算。费晨等[26-27]强调概率统计模型本身的不确定性是本质的且无法消除掉的,并在此基础上研究了Knight不确定下连续时间动态契约设计问题。费晨[28]根据次线性期望空间上的G-布朗运动性质,研究了非线性期望下随机控制最优性原理,又进一步利用推导出的定理研究了一个考虑波动模糊性的最优消费和投资组合决策。这些文献在研究中用G-布朗运动替代标准布朗运动来表征非线性,用下期望替代标准期望来表示最坏情况下的决策结果。在大多数情形下,只考虑事情发展到最坏时的预期结果,即代理人关注最坏的情况来确定他们的最佳决策,这确实是一个合理的思路。然而,仅考虑模糊不确定环境中的最坏情况,往往并不能充分解释现实中的个体在模糊不确定环境下的行为和决策的多样性。事实上,在现实环境下代理人对不确定性的厌恶程度也许介于模糊厌恶和模糊喜好之间的任意程度,所以本文从肖-布朗过程视角,刻画决策者的模糊不确定。

在对比特币挖矿市场动态均衡模型的研究中,矿工所获得的回报奖励受到多种因素的影响,这些因素既表现出风险特征,也具有一定的模糊性特征。因此,本文在Prat等[13]研究比特币挖矿市场演化模型的基础之上进一步考虑模糊性对矿工挖矿行为及回报的影响,并将肖-布朗运动引入到模型当中,从而以一种崭新的视角来研究挖矿行业动态均衡。

2 基本模型框架

比特币作为一种点对点的电子现金系统,是区块链技术的起源,区块链技术是构建比特币数据结构与交易信息加密传输的技术基础,实现了比特币的挖矿与交易。而比特币网络中的每个节点都是平等的,都可以接收发生的交易信息,但如果让每个节点都来记录和验证交易信息,又会导致效率低下,因此,比特币系统使用工作量证明共识机制来决定由哪个节点来记账。在PoW共识机制下,每个节点利用自身的算力不断进行哈希运算来寻找符合条件的随机数。最快找到随机数并验证通过的节点将获得记账权,生成并发布新区块添加到区块链上,该过程就称为“挖矿”,每轮竞争的获胜者会获得一定数目的比特币作为奖励,分散在世界各地的通过操纵计算机或矿机参与挖矿的人称为“矿工”。由于矿工的记录只有得到后续矿工的认可,奖励才有效,因此矿工有动机去诚实地记录交易。

我们从挖矿市场的主要特征入手来构建模型框架,给定比特币的需求并使用比特币/美元汇率的变动轨迹去预测网络算力。模型建立在连续时间上,为了与平均的出块时间保持一致,我们还要将时间长度标准化为10 min。由于规模报酬是常量,本文把矿工视为算力的无穷小单位并假设总的网络算力可以取实轴上的任意值。

2.1 矿工的回报

本文用Rt表示区块的美元奖励,即比特币/美元汇率乘以获得的新币与费用之和。Πt表示矿工找到一个有效区块的泊松率。那么矿工的回报Pt近似等于

Pt≡Rt×Πt。

2.2 算力的价值

挖矿是一个成本高昂的活动,要使得在τ时刻购买的一单位算力能够执行挖矿指令,就势必会产生电力成本流Cτ。这一成本会根据矿机的不同生产批次而变化,一般来说更新后的矿机在消耗同样多的能源下能够执行更多的算力,也就是说技术的进步会带来更低的挖矿电力成本。并且,从某种意义上说,算力的投资是不可逆转的,因为矿机是挖矿专用的机器,无法应用到其他领域,因此很难转卖出去。现假设矿机不会为了节省电力成本而自动关闭,也就是说即使电力成本再高,挖矿仍可以继续进行,这就不排除可能会导致算力价值出现负值的情况。由此我们可以得出以下关于批次τ的一单位算力价值的表达式:

(1)

式中,r是折现率。我们已经假定矿工与矿工之间是同质化的,除了电力价格,他们都面临相同的问题。由于市场是自由进入的,只有那些使用的电力较为便宜的矿工能够盈利,因此所有活跃矿工均面临或多或少的营运成本。注意到

(2)

式(2)给出了报酬的表达式,它定义了一个单位弹性的等弹性需求曲线。它的微观基础是相当独特的,不同于传统行业,因为回报P和行业产出Q之间的递减关系不是来自于消费者需求的饱和,而是由编码在比特币协议中的更新规则所导致。在比特币协议中,总的算力产出Q的增长给全网带来的调整是降低有效的工作量证明阈值,从而使得挖矿难度增大,因此使得每个矿工获得奖励的可能性减小,即回报P减小。

美元奖励R不仅取决于挖矿市场中的比特币需求,还受到比特币兑美元汇率的影响,因此不能只考虑内生性。随着全球经济环境的不断变化,无论是金融市场还是挖矿市场中,影响投资者投资决策的因素复杂多变,这些因素往往会给投资效率带来冲击。因此在进行决策时,除了需要考虑风险外,还需要将模糊性纳入衡量投资收益的不确定性当中进行考量,以便作出更加明智的决策。许多关于不可逆投资的文献均假设(Rt)t≥0服从几何布朗运动,而本文假设(Rt)t≥0满足肖-布朗(Choquet-Brown)过程:

(3)

给出了Rt服从的运动过程还不能够计算出回报的期望价值,因为它还取决于网络算力Q,Q的值是内生决定的。因此为了解决这个均衡问题,必须同时获得Q服从的过程以及矿工的市场进入规则。

2.3 市场进入

自由进入确保矿工不能通过向网络中增加算力来获取利润,故下面的不等式必须成立:

(4)

为了理解为什么这样的机制确定了一个竞争性的市场均衡,我们还需要对P的运动规律进行分解。将式(3)插入到式(2)中并使用伊藤引理,我们有

(5)

2.4 行业均衡

(6)

图1 回报及算力变化趋势模拟图

2.5 比较静态分析

3 数值模拟与经济学解释

现在给出模型相关参数设置,如表1所示。市场动态均衡演变框图如图2所示。

表1 模型参数设置

图2 市场动态均衡演变框图

本节在数值模拟的基础上进一步分析前文模型的经济含义,主要包括电力成本、网络总算力等因素如何影响矿工投入算力的实际价值以及挖矿的回报,并且当挖矿市场环境处于不同的模糊程度之下,矿工挖矿面临的风险以及行为决策的变化情况。

根据文中式(1)～(3),我们绘制出图3。电力成本对算力的实际价值影响显著,由图2可知,当电力成本过高时,算力的价值逐渐趋于0再到等于0,也就是说,当矿工挖矿的电力成本超过一定的数值时,投入算力去挖矿就几乎毫无价值了。

图3 不同模糊程度下算力价值与电力成本关系图 图4 不同模糊程度下挖矿回报与算力产出关系图

根据文中式(2)、(3)、(5),我们绘制出图4。从图4中不难看出,挖矿回报与算力产出之间为负相关关系,因为比特币协议对总算力增长的反应是降低有效的工作量证明阈值,使得挖矿难度增大,因此使得每个矿工获得奖励的可能性减小,即挖矿回报降低。但需要注意的是,图4中的端点值,也就是纵轴上的点在实际中是不存在的,当算力产出为0时,也就不存在挖矿回报了。这也与前文分析结果一致,表明挖矿回报始终达不到最大临界值,只可能无限接近于这一最大回报数值,也就是前文中所说的回报存在的障碍上边界。

4 结束语

本文已经证明,矿工投资挖矿设备以及电力资源等来获得算力投入挖矿的决策可以很好地近似看作一个具有不可逆投资的行业动态的标准模型,进而再去更深入地分析研究。研究表明,矿工挖矿行为的决策受到技术更新、电力成本、市场环境等多种因素的影响,矿工的挖矿收入因自由进入而产生上限,且随着网络算力产出的增加而减小。本文还创新性地在模糊不确定情况下去分析研究比特币挖矿市场,进而证明,对于模糊厌恶的矿工来说,模糊性影响着他们的决策,模糊程度越高,算力的价值越低,挖矿回报也越低,即矿工面临的风险越大,模糊程度越小则带来的风险也就越小。我们相信,本文的研究结果将会引起比特币等一类加密数字货币从业者和经济学家的兴趣。本文模型为相关从业者提供了一种预测网络算力流量的工具,并为矿工的激励机制提供了新的探索方向,这将更加有助于解释比特币的可行性。对经济学家来说,比特币的挖矿市场为测试行业发展演化模型提供了一个理想的环境。在这方面,我们的研究发现是十分合理的,因为结论表明,矿工的行为可以用传统经济学理论去解释,包括供求关系、价格理论、完全竞争市场机理等等,因此挖矿行业与现有行业动态理论表现出了较强的一致性。读者可以进一步考虑并深入研究,挖矿活动在ESG背景下如何权衡电力成本及碳排放等多种因素进而作出最优投资决策。