合理构建坐标系，方程间转化应用——坐标系与参数方程

■湖北省恩施土家族苗族自治州高级中学 刘秀军

坐标系与参数方程在高考中主要以解答题的形式加以单独考查,此部分的高考考试大纲要求是:了解坐标系的建立方法和原则,体会在不同的坐标系中用有序实数组表示点的位置,理解方程与图形、方程与方程的关系,掌握简单的参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的互化,会从质点运动等实际问题中抽象出数学问题,并建立模型求解质点的参数(或极坐标)方程及解决简单的相关问题。

一、极坐标方程及其应用问题

极坐标方程问题包括:理解极坐标系中相关元素的概念与几何意义,极坐标方程的基本概念与内涵,极坐标方程和直角坐标方程之间的转化与应用等。

例1在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1:x+y=1与曲线C2:,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系。

(1)写出曲线C1,C2的极坐标方程;

(2)在极坐标系中,已知射线l:θ=α(ρ＞,若射线l与曲线C1,C2的公共点分别为A,B,求|OA|·|OB|的最大值。

分析：(1)直接利用转换关系,在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换与应用;(2)利用极径的三角函数的变换和正切函数的性质求出结果。

解：(1)已知曲线C1:x+y=1,将x=ρcosθ,y=ρsinθ,代入得曲线C1的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-1=0。

点评:解决极坐标方程问题的基本思路是:①将极坐标方程与直角坐标方程相互转化,得到对应点的直角坐标或极坐标,以及相互之间的关系等;②将曲线的极坐标方程进行合理联立,结合极径的几何意义及限制条件求出极坐标,从而巧妙得解。此类极坐标方程问题重点考查方程之间的转化,以及同学们的数学运算能力、化归与转化能力等。

二、参数方程及其应用问题

参数方程问题包括:理解参数方程的基本概念与参数的几何意义等,能熟练掌握相应的直线、圆、圆锥曲线等所对应的参数方程,以及参数方程与直角坐标方程之间的相互转化,并会加以简单应用。

例2(创新题)在极坐标系中,圆C:ρ=4cosθ。以极点O为坐标原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy,直线l经过点M(-1,-3 3),且倾斜角为α。

(1)求圆C的直角坐标方程和直线l的参数方程;

(2)已知直线l与圆C交于A,B两点,满足A为MB的中点,求α。

分析：(1)根据圆C的极坐标方程,结合等价变换,利用直角坐标与极坐标之间的转化公式得以确定圆C的直角坐标方程;直接利用题设条件确定相应的直线的参数方程。(2)设出A,B对应的参数,将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,构建关于参数t的一元二次方程,结合韦达定理及参数的几何意义,通过关系式的变形与转化得以确定对应的三角函数关系式,结合直线倾斜角的取值范围来确定与求解对应角即可。

解：(1)由 圆C:ρ=4cosθ,可 得ρ2=4ρcosθ,结合公式ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,可得x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,故圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4。

点评:参数方程与极坐标方程、直角坐标方程的等价转化是比较常见的考点,而参数方程中,对应参数的几何意义,也是创设试题考查的一个层面,熟练掌握并利用参数的几何意义,以及对应参数的取值范围与限制条件等,可以更加有效快捷地处理一些相关的参数方程问题,实现问题的转化与应用。

三、简单应用问题

通过对坐标系与参数方程内容的深入理解与掌握,体会从实际问题中抽象出数学问题的过程,进而培养探究数学问题的兴趣和能力,体会数学在实际中的应用价值,提高应用意识、创新意识与实践能力。

(1)求圆C1的极坐标方程及曲线C2的直角坐标方程;

分析：(1)直接利用题设条件,以及不同方程之间的转换关系式,将参数方程、极坐标方程和直角坐标方程进行转换;(2)利用三角形的面积公式、三角函数的变换和正弦型函数的性质的应用等,合理交汇与融合,结合数学运算与逻辑推理求出结果。

解：(1)圆C1的普通方程为(x-2)2+y2=4,展开得x2+y2-4x=0,将x=ρcosθ,x2+y2=ρ2,代入可得ρ2-4ρcosθ=0,即ρ=4cosθ,所以圆C1的极坐标方程为ρ=4cosθ。

点评:此类涉及坐标系与参数方程的简单应用问题,经常在极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化与应用的基础上,合理联系函数与方程、三角函数、不等式等其他相关知识,实现不同知识间的交汇融合,以此为背景来解决一些与之相关的简单应用问题,全面考查同学们解决问题的能力。

坐标系与参数方程部分的考查是以解答题的形式出现,以极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化与应用为基础,融入平面解析几何、函数、方程等其他相关的知识,难度中等,重点考查代数运算与逻辑推理等核心素养,以及函数与方程思想、化归转化思想与数形结合思想等。