一种基于本征正交分解的并群方法

武世伏,张 乾,张晋超,赵 强,*

(1.哈尔滨工程大学 核安全与仿真技术国防重点学科实验室,黑龙江 哈尔滨 150001;2.浙江大学 物理学系 浙江近代物理中心 先进核能理论与应用实验室,浙江 杭州 310058)

核电仿真机在核电人员培养和安全运行中起着无法替代的作用,堆芯物理的研究是仿真机的核心研究内容之一[1]。由于计算效率的限制,目前仿真机中应用的堆芯物理计算方法仍以确定论两步法为主。在当前的确定论方法中,多群方法是对能量进行离散处理的主要方法,其精度直接影响到反应堆物理的求解精度[2]。在理论上,能群划分得越细,多群方法计算的结果越精确。但在实际的确定论方法中,由于实际计算资源的限制,能群不能无限细化。一般是对能群进行多次归并来降低能量离散对于计算资源的需求,但每次能群的归并都会引入一定的近似误差[3]。同时,在传统两步法的组件计算至堆芯计算的能群归并中,组件计算一般为全反射边界,这种归并方法难以描述新型堆芯设计中的复杂组件间干涉效应[4]。

取消能群归并的全堆芯一步法或采用连续能量的蒙特卡罗方法,是提高反应堆物理计算保真度的有效手段,但由于计算资源的限制,全堆芯一步法和连续能量的蒙特卡罗方法距离工程实际应用仍有一定的距离[4]。因此,在保证计算效率的情况下优化当前计算框架、提高计算精度是提升堆芯计算保真度的有效办法。广义多群方法是近年来提出的一种新型并群方法,这一方法利用正交基函数在少群内重构精细能群结构,提供了一种在少群结构下利用与少群计算接近的计算资源近似恢复多群能谱的方法[5]。基于这一理论,进一步发展出了针对连续能量到多群的广义多群方法[6]和由多群到少群的离散广义多群(DGM)方法[7]。然而,与传统并群方法相比,采用离散勒让德正交基的DGM方法的基本形式会需要高阶展开才能有效保留多群能谱中的物理信息,在并群计算过程中需要更高的内存容量和计算资源[8]。快照与本征正交分解结合可以生成在低阶展开中便有效包含样本快照中物理信息的正交基函数[9]。这种包含物理信息的离散正交基函数应用在广义离散并群方法中发展成了一种新型并群方法,这一方法可通过低阶截断的方式有效降低广义并群方法对于计算资源的需求,从而在较低的计算资源需求下达到与多群计算近似的能量分辨率。

本文基于离散广义多群方法,使用一系列小型样本快照在KLT(K-L变换)下生成通量的本征正交基函数,并进行截断的广义并群计算,对一维UO2和MOX组件在不同截断阶数下的特征值、能谱重构效果进行研究。

1 理论方法

1.1 离散广义多群方法

Zhu等[10]于2011年发展了DGM方法,采用离散勒让德正交基获得从细群截面映射到粗群截面的截面矩。粗群截面矩可用于少群计算得到对应的粗群通量矩。利用基函数可将粗群通量矩扩展为细群通量矩。产生的细群通量可用于更新粗群截面的截面矩,反复进行直至收敛。

DGM方法在一维SN方程中的多群表述[2]为:

(1)

式(1)中φc,g＇,l为:

(2)

式中:Nα为角度离散的个数;对于选择的正交方法,wα为对应于离散角度μα的权重。

将g个细群划分到G个粗群中,多群公式可表示为:

(3)

(4)

式中,i为基函数的阶数。

同时定义φc,G,i,l、ψc,α,G,i为:

(5)

(6)

由此可定义从细群结构到粗群结构的映射关系为:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

联系式(6)～(8)可得到:

(12)

将式(6)、式(9)～(12)代入式(4),可得到:

(13)

1.2 本征正交分解

离散勒让德正交基函数本身不包含目标问题的物理信息,因此需要较高的阶数才能有效重构多群能谱中的物理信息,达到合理的通量误差。因此传统的DGM方法在低阶截断下重构的少群通量与多群偏差较大,导致能谱和特征值计算的结果与多群计算偏差较大[12]。本征正交分解(POD)采用具有代表性的小型样本作为快照,生成正交基,可以有效获得样本中的物理信息,提高低阶截断下的计算精度。POD的核心是将一个离散的或者连续的函数f(x)进行截断展开,获得具有对应展开阶的最小二乘误差的正交基[9]。在该方法的一些其他应用领域,如图像压缩中,f(x)是已知的,在其他的应用领域如流体动力学中,f(x)则是未知的[11]。采用这一正交基代替传统的离散勒让德正交基便可以发展出一种新的并群方法。

在本文工作中,快照是一个与能谱相关的函数[13]。由于在实际求解问题中的中子通量是一个未知量,因此需要设置一些具有代表性的小规模样本快照来获取与测试问题近似的通量形状,从而通过奇异值分解(SVD)得到含有近似物理信息的本征正交基函数。

通过向量dn可以表示快照中每一个空间单元的通量,这些向量组合成为1个M×N的矩阵D,其中M是能群的数目,N是快照的数量。该正交基首先定义1个半正定矩阵B=DTD,这一半正定化矩阵过程可有效简化矩阵计算量。同时对B进行奇异值分解得到下式:

(14)

式中:UB和VB为N×N酉矩阵,包含左右奇异向量;ΣB为包含奇异值的对角N×N矩阵;Q为N×N酉矩阵,包含B的特征向量,对应的特征值包含在Λ中。

(15)

为了形成POD基,将其特征值和对应的向量按照降序排列,将0阶基作为最基本的模态。将快照投射到模态上可得到:

pj=Dqj或P=DQ

(16)

式中:P∈RM×N;qj为Q中降序排列中的第j个向量。

将得到的向量pj进行标准正交化,得到对应的POD基。任意长度M的f可近似表示为:

(17)

式中,aj=fTpj。

POD基创建了1组长度为M的基向量,只要保证快照近似于函数f,这些基向量就可提供最小二乘误差意义上的最佳K阶展开。当N≥M时,P是1组完整的基,任意长度M的向量f都可用P的前M个向量精确表示。

2 程序设计

2.1 并群算法

为了测试基于POD的新型并群方法在截断基下的表现效果,采用Reed等[11]开发的一维并群程序Unotron进行计算。Unotron采用16角高斯积分和菱形差分处理角度变量和空间变量,并以Krasnoselskij迭代替代传统的Picard不动点迭代,其基本过程如式(18)所示,以降低迭代速度为代价提高收敛的稳定性,减少负通量的产生[2]。

x(n+1)=(1-λ)xn+λAxn

(18)

式中:x为迭代值;n为迭代次数;λ为松弛因子;A为算子。

由式(11)可发现,裂变谱的矩不依赖于重构的能群通量,可在重构前先计算裂变谱的矩,然后使用当前迭代的正交基和精细群通量来计算截面矩,进而采用输运求解器求解0阶通量矩和特征值。最后如式(13)所示,利用0阶解求解高阶矩的源项。在得到当前所有的矩后,便可使用正交基更新细群通量,并在下一次迭代计算过程中更新截面矩,直到达到收敛条件。DGM方法计算流程如图1所示。

图1 DGM方法计算流程图

2.2 少群结构划分

Gibson等[2]提出了DGM方法中粗群结构选择的基本准则,这一准则同样适用于新的并群方法。通过选择适当的粗群结构,可以在Krasnoselskij迭代中使用更高的λ减少迭代次数,提高计算效率。这一准则的基本要求如下:1) 限制粗群中细群总截面最大值与最小值的极限比;2) 在总截面较小的粗群中放宽极限比;3) 限制粗群中的细群数目;4) 当需要时,强制划分粗群。

本研究中,对于4群的少群结构具体采用的数据是:截面极限比例为1.3;如果粗群中最大的总截面小于1.0 cm-1,忽略该比例限制;每个粗群中最多含有60个细群。在2群的少群结构中则将最大最小截面比值扩大到5。

2.3 问题描述

为测试基于POD分解的并群方法在恢复新型反应堆堆芯设计造成的局部复杂能谱中的表现,采用UO2和MOX两种材料设计测试问题,构建局部复杂干涉能谱[14]。同时,为降低复杂空间效应对并群方法机理的干扰,采用一维设计,最终形成结构和尺寸如图2所示的测试问题。问题共包含5个UO2栅元和5个MOX栅元,两侧采用反射边界。每个栅元的燃料划分为28个空间区域、6个水区域和22个燃料区域[15]。

图2 栅元尺寸与排布

POD方法需要适当的具有代表性的能谱快照来构建正交基,在理论上,效果最好的能谱应当是由测试问题本身构建的正交基,但在实际反应堆物理计算过程中,这一快照是未知量,但通过这一快照可获得当前阶数下的最佳结果。因此,在本文中这一快照用作与其他快照比较的对照,命名为full-basis。为测试不同快照恢复精细能谱的效果,分别采用具有空间结构的UO2和MOX栅元、单独的UO2栅元和MOX栅元、单独UO2栅元、单独MOX栅元进行44群精细化计算,以获得能谱作为快照构建正交基,并分别命名为combine-basis、junction-basis、UO2-basis、MOX-basis。所有快照都在全反射边界条件下进行计算。

3 数值结果

3.1 4群结果

采用2.2节的能群划分方式,生成的少群中的多群编号列于表1。不同正交基在不同截断阶数下的特征值如图3所示。由图3可见:所有正交基在0阶下,即传统并群方法下的特征值偏差均为1 359 pcm;在高阶下,以50 pcm偏差为参考值,对于full-basis在4阶下便可以稳定收敛到这一范围内,但由于这一正交基是无法预先得到的,因此表现最好的是combine-basis,在7阶时便可以将特征值偏差稳定在50 pcm以内,为37 pcm,其次便是junction-basis,在9阶时稳定在50 pcm偏差之内,为49 pcm,这两种正交基都是由包含完整栅元信息的快照生成的,combine-basis由于包含栅元间能谱干涉的信息而表现得更好。而UO2-basis和MOX-basis由于包含的物理信息不完整,表现相对较差,只有在全阶下才会有较好的特征值偏差结果。由于在SN方法低阶截断计算过程中会出现负通量,导致了低截断阶下即使是full-basis基函数,在重构能谱过程中也会出现负通量的问题,进而导致了特征值收敛的不稳定,即3阶时出现了特征值偏差的变大。

表1 4群少群结构

图3 不同截断阶下的4群特征值

图4示出5阶截断不同正交基的能谱偏差。图4中各种正交基在5阶下与44群精细计算的能谱的偏差可以进一步证明这一结论。由于低截断阶下负通量的存在,在本研究中为统一这一过程,对最终统计的能谱采取了取绝对值的处理。在5阶能谱偏差中,combine-basis的相对偏差与full-basis基本重合保持在1%以内,junction-basis的相对偏差稍差一些,但可以控制在5%以内,UO2-basis和MOX-basis的相对偏差远高于其他3种正交基。

为进一步分析combine-basis在能谱重构上的精度,对测试问题整体能谱、结合处UO2栅元能谱、结合处MOX两种栅元能谱与44群精细化计算的能谱之间的偏差进行了比较,分别如图5～7所示。

图5 组件能谱与偏差

图6 结合处UO2栅元能谱及偏差

图7 结合处MOX栅元能谱及偏差

对于测试问题,采用combine-basis时,在7阶时便可对测试问题的能谱进行有效恢复,各能群通量相对偏差均小于0.3%。对于空间干涉最明显的结合处的UO2和MOX栅元的能谱重构,在7阶时各能群通量相对偏差均小于0.5%。相较于POD并群方法的表现,0阶能谱即传统并群方法的能谱与精细化能谱在少群下的平均通量相比,在效果最好的第1群相对偏差也在14%以上。

传统并群方法的偏差远高于POD并群方法,原因就是传统的并群方法中采用全反射边界条件,不考虑组件间的干涉效应,造成了实际的能谱和并群后的能谱偏差较大。而基于POD的并群方法通过选取合适的样本空间,在正交基函数中有效包含了能谱干涉的物理信息,从而在少群计算中有效恢复了受到干涉影响的能谱,提高了少群能谱和特征值的计算精度。

3.2 2群结果

为进一步探索POD并群方法的能谱重构效果,测试了两种并群到2群的方法和对应的结果。第1种为不遵循Gibson等[2]的并群条件,按照传统快热2群划分方式进行能群归并,但程序出现了无法收敛的情况。第2种采用放宽并群条件的方法,将并群条件中的截面极限比例调整为5,其他条件不变,在这一并群条件下的少群结构列于表2。

表2 2群少群结构

在这一少群结构下,测试问题中原本表现较好的 combine-basis正交基下的特征值与基准偏差如图8所示。可以发现随着阶数增大,特征值在7阶达到50 pcm以内,并群效果略差于4群,整体结果较为理想,但计算效率相对较低。对combine-basis的能谱做进一步分析,如图9所示,可以发现在2群能群结构下能谱重构效果同样较好,但同阶下偏差整体高于4群的结果。

图8 不同截断阶下2群特征值偏差

图9 combine-basis 2群重构能谱及偏差

4 结论

本文面向基于本征正交分解的广义并群理论在一维UO2和MOX组件中的效果进行验证,首先针对不同快照生成的正交基的计算精度进行对比分析,可以发现具有空间结构UO2和MOX栅元生成的combine-basis是所有实际可用的正交基中表现最好的,在7阶时便可以达到37 pcm以内的偏差,同时计算时间可以和4群计算控制在同一量级下。为进一步分析combine-basis正交基的能谱重构效果,对其在不同少群结构和截断阶数下的能谱重构情况与偏差进行了分析,发现在符合Gibson等提出的并群规则的4群结构中,combine-basis可以有效地恢复测试问题的精细能谱,并且在干涉效应最为明显的UO2和MOX栅元结合位置的裂变材料能谱重构效果同样较好,在截断阶数为7阶时,测试问题的整体能谱中偏差最大能群的通量相对偏差在0.3%以内,干涉效应最明显的结合处栅元能群通量的最大相对偏差在0.5%以内,精度远高于标准并群方法得到的结果。将这一方法作为子程序嵌入到两步法堆芯计算程序中,通过与combine-basis正交基类似的样本空间选取规则选取适当的样本空间进行计算,并进行本征正交分解获得含有能谱干涉物理信息的正交基函数,对堆芯计算的少群进行重构,可有效降低堆芯计算与组件计算的能谱偏差,提高堆芯计算保真度。这一方法在放宽并群规则后的两群结果中通量重构结果略差于4群结果,但由于能群划分规则与传统快热2群有所不同,基于POD的并群方法直接应用于常规堆芯2群扩散计算仍有一定问题,这将是后续研究中需要关注的一个问题。同时,本研究结果只是针对本征正交分解的广义并群理论在一维问题中的初步应用,面向更加接近实际工程需求的二维和拉伸三维问题,在样本快照选择上还没有明确的方法。在本研究中,combine-basis作为干涉效应最强、包含物理信息最丰富的样本快照制作的正交基,能够最有效地重构精细能谱。这一结论可为后续复杂问题的广义并群研究提供一定思路,即对于二维和拉伸三维问题,可以采用选取小型干涉效应明显的栅元结构进行交叉排列组合的方式来获得有效包含目标问题物理信息的样本快照,但其有效性仍需要后续的数值结果进行验证。