广义von Neumann常数与正规结构

赵 亮,赵平安

(哈尔滨理工大学 理学院, 哈尔滨 150080)

1 预备知识

本文统一用X表示Banach空间,B(X)={x∈X:‖x‖≤1}、S(X)={x∈X:‖x‖=1}分别代表X上的闭单位球和单位球面.

定义1[5]

E(X)=sup{‖x+y‖2+‖x-y‖2:

x,y∈S(X)}

被称为是Banach空间X上的高继常数.

定义2[6]函数

称为Banach空间X上的广义光滑模.

定义3[7]常数

定义5[9]若存在δ>0,使得对任意的x,y∈S(X),或者‖(x+y)/2‖<1-δ或者‖(x-y)/2‖<1-δ,则X是一致非方的.

引理2[12]若Banach空间X不具有弱正规结构,那么对任意的ε∈(0,ω(X)),存在{xn}⊂S(X)满足:

(a) 1-ε≤‖xn-x‖≤1+ε;

(b) ‖xn-x1‖≤1+ε;

引理3[13]

引理4[11]若X是不具有弱正规结构的Banach空间,那么对任意的δ∈(0,1),存在x1,x2,x3∈S(X)满足以下条件

(a)x2-x3=ax1, |a-1|<δ;

(b) |‖x1-x2‖-1|<δ, |‖x3+x1‖-1|<δ;

引理5[3]对任意的Banach空间X,若X不具有弱正规结构,则对任意的ε∈(0,1)和t∈(0,1],存在x,y∈S(X)使得‖x-ty‖>1-ε,‖x+ty‖>1+t-ε.

2 主要结果及证明

定义6

称为Banach空间X的广义Von Neumann常数.

性质1 若对任意的λ∈(0,1),使得

则X是一致非方的.

证明

应用反证法,若X不是一致非方的,则对任意的ε∈(0,1),存在x,y∈S(X),使得

根据引理1知

可以推得

由ε的任意性知

又由E(λ,X)的取值范围知

这与所给条件矛盾,则X是一致非方的.

性质2

设X是一个Banach空间,对任意的x,y∈S(X),λ∈(0,1)

证明

等式两边同时平方,得到

对任意的ε<0,有

3(1-t)2≤3E(λ,X)+3(1-t)2

由ε的任意小整理得到

则X具有弱正规结构.

我们可以得到

矛盾!从而假设不成立,则X具有弱正规结构.

对任意的n∈N有

‖un+vn‖≥gn(un)+gn(vn), ‖un-vn‖≥fn(-un)+fn(vn),则

则X具有正规结构.

定理3 对于Banach空间X,如果

那么X具有弱正规结构.

‖x1-mx2‖=‖x1-x3+x3-m(ax1+x3)‖≥

‖x1-x3‖-(1-m)‖x3‖-am‖x1‖>1-2δ-mδ,其中m≤1,同样可以得到

从而由δ任意小,我们得到

矛盾!故假设不成立;

‖x+ty‖>1+t-ε,

可以得到

‖λx+(1-λ)y‖>λ(1+t-ε)=1-λε,

根据引理5又可得到,‖x-ty‖>1-ε,两边同乘以1-λ,有

那么根据范数的三角不等式有

(1-λ)-(1-λ)ε,

进而有

令ε→0,那么

矛盾!故假设不成立.

例1E(λ,X)在c0空间的估计值

证明c0={x=(x(1),x(2),…):x(i)}→0:‖x‖=sup{|x(i)|i=1,2,3,…},对任意的x∈S(c0),则对任意的ε>0,存在K∈N,满足当k>K时,|x(k)|<ε,对任意y∈S(c0),‖y‖=sup|y(i)|=1,y(i)一致收敛到0,即对上述ε>0,存在N∈N+,对任意的1≤i≤k,有|y(i)|<ε,则

同样可以得到

由ε的任意性,令ε>0,我们有

综上可得