神机妙算破解脚印命案

王杰

巴黎郊外有一座中世纪留下的古老城堡，其年代几乎与著名的巴黎圣母院同样久远，因而成了旅游观光的胜地，吸引了来自世界各地的游客。

古堡的顶层有一座尘封的钟楼，里面住着一个怪人，唯一对外的通道是个走起来嘎嘎响、陡峭异常的木质楼梯，大约有几十级，但肯定不到一百级。

某日黄昏，怪人的四位互不相识的朋友阿列克赛、巴顿、克林、杜邦，几乎在同一时间先后来访。他们发现怪人已经被人杀害了，房间里面看起来很恐怖。当下四人大惊失色，争先恐后地拼命逃走。从脏乱不堪的狭窄楼梯（一次只能通过一人）跑下来，阿列克赛一步下2级台阶，巴顿一步下3级台阶，克林一步下4级台阶，而杜邦的本事最大，竟然一步能下5级台阶。

出事以后，侠盗亚森·罗宾乔装成一名体面的上流社会绅士，自告奋勇地前来侦破此案。他发现，同时印下四个人脚印的台阶仅在最高处和最低处。

为了追查凶手，脚印混乱了就不好办，于是亚森·罗宾特别重视只留有一个人脚印的台阶。后来的结果充分证明他的看法是正确无误的，最后终于抓获凶手，把他绳之以法。

现在请回答，通向钟楼的木楼梯上有多少级台阶只印下了一个人（不管是谁的）的脚印？

解密

由于4的倍数肯定是2的倍数，所以克林的情况可以不必考虑，这就省掉了一个人。2，3，4，5的最小公倍数是60，而60又小于100，所以钟楼的木楼梯共有60级台阶。

阿列克赛的脚印落在第2，4，6，8，l0，12，……，58，60级台阶上，但应排除2×3及其倍数的各级阶梯。同理，还需要排除4的倍数的各级阶梯和5的倍数的各级阶梯。于是剩下第2，14，22，26，34，38，46，58共八级。其一般形式为2×p（其中p=1，以及除去2、3、5以外的素数）。

巴顿的脚印落在第3，6，9，12，……，60级阶梯上，但应排除混有别人脚印的第6，12，15，18，……级阶梯，剩下第3，9，21，27，33，39，51，57，共八级。

前面已经说过克林的情况可以不考虑了，最后再來看一下杜邦的情况。很明显，只留下他一个人脚印的阶梯是第5，25，35，55级，共四级。

所以，问题的答案是8+8+4=20级。