类比方程学不等式

王金坤

方程与不等式是初中“数与代数”领域的重要内容。第11章“一元一次不等式”为我们介绍了生活中数量之间的不等关系可以用不等式来表示；不等式是刻画这种数量关系的数学模型，是解决实际问题的重要工具。结合实际问题建立不等式模型，进而分析和解决问题，始终是学习不等式的核心。在七年级上学期，同学们已经学习了“一元一次方程”，知道数量之间的相等关系可以用方程来表示，学会了解一元一次方程和用一元一次方程解决问题。在本章的学习活动中，我们可以将一元一次不等式与一元一次方程进行比较，类比方程学习不等式。

一、类比“从问题到方程”，发现“生活中的不等式”

生活中的许多问题常常有已知量和未知量，这些量之间有相等的关系，也有不等的关系。让我们一起思考一个问题：

例1 一只纸箱的质量为1kg，装入每个质量为0.3kg的苹果后，纸箱和苹果的总质量为8.2kg。这只纸箱内装了多少个苹果？

在上述问题中，我们发现有相等关系：纸箱的质量+苹果的质量=8.2kg。如果设这只纸箱内装了x个苹果，那么依据相等关系，可列方程1+0.3x=8.2。这就是用方程来描述数量中的相等关系。

现在，将上述问题改编一下：

例2 一只纸箱的质量为1kg，装入每个质量为0.3kg的苹果后，纸箱和苹果的总质量不超过8.2kg。这只纸箱内最多能装多少个苹果？

在这个问题中，将例1的条件“纸箱和苹果的总质量为8.2kg”变为“纸箱和苹果的总质量不超过8.2kg”，关键词“不超过”揭示了数量之间的不等关系：纸箱的质量+苹果的质量≤8.2kg。于是，我们可以设这只纸箱内装了x个苹果，依据不等关系，可列不等式1+0.3x≤8.2。

在生活中，类似“纸箱装苹果”的问题有很多，我们可以用不等式来描述问题中数量之间的不等关系。

三、类比“用一元一次方程解决问题”，学会“用一元一次不等式解决问题”

用一元一次方程解决问题的关键，是寻找实际问题中数量之间的相等关系，从而依据相等关系列出方程。用一元一次不等式解决问题，要寻找不等关系，通过分析，从实际问题中抽象出一元一次不等式模型。

例5 为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分。

（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？

（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？

这个问题中，第（1）题是一元一次方程的应用，第（2）题是一元一次不等式的应用。第（1）题，设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（25-1-x）道题，根据相等关系：答对题目的得分-答错题目的分数＝总得分，即可得出关于x的一元一次方程4x-（25-1-x）＝86。第（2）题，设参赛者至少需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，那么答错了（25-y）道题，根据不等关系：总得分≥90分，即可得出关于y的一元一次不等式4y-（25-y）≥90。

请同学们用类似的方法解决下面问题：

例6 2022年2月4日至20日，冬季奥运会在北京举行。某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售。已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个。

（1）若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量。

（2）该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完且至少盈利2900元，那么购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？

在解决实际问题时，不少同学常常有这样的困惑：到底是用方程，还是用不等式解决呢？这就要求我们认真审读问题中的条件，获取问题中的有关信息，抓住关键语句和关键词，弄清问题中数量之间是相等关系，还是不等关系。如果是相等关系，就依据相等关系列方程；如果是不等关系，就依据不等关系列不等式。

数学学习中，我们常常采用类比的思想方法研究问题，探索新知。基于学习一元一次方程已有的知识、经验，学习一元一次不等式，可以类比的地方还有很多，例如，不等式和方程的意义、不等式和等式的性质、不等式的解集与一元一次方程的解等。同学们一定要关注它们的相同点，明确它们的不同点，在比较中学会思考，在类比的过程中进一步领会不等式有关知识的特点与本质，真正做到融会贯通，学以致用。

（作者单位：江蘇省盐城市毓龙路实验学校）