奠定一流之基:美国大学数学学科的发轫

何振海,杨 搏

(河北大学 教育学院,河北 保定 071002)

数学,被誉为“科学的女王和仆人”(Queen and Servant of Science)[1],是一个国家科学发展与技术进步的坚强基石。作为数学人才最为汇聚、数学研究最为活跃之所,各国的大学往往能在很大程度上反映该国的数学学术水平,因而大学的数学学科建设尤受世人关注。

在国际数学界,美国的领先地位世所公认,美国大学数学学科的整体发展水平也备受盛誉。当然,美国大学数学学科的超然地位并非先天而成,实际上,在美国高等教育近四百年的发展史上,数学成为一个独立的大学学科的时间仅有一个多世纪,其发端的标志之一是1876年霍普金斯大学的建立。由此开始,直至20世纪初,美国大学通过创办专门的数学教学科研机构、组建数学学术团队、开展系统性数学人才培养和学术研究等一系列举措,实现了数学学科的发轫,为20世纪中期最终完成对欧洲的全面超越、确立美国一流数学强国地位奠定了坚实基础。

相对于美国高等教育史的各种专题研究成果的丰硕程度,国内学界对美国大学数学学科发展史的关注度明显偏弱,尤其缺乏对19世纪末、20世纪初美国大学数学学科发轫阶段的史实梳理。但恰恰这一阶段又是美国数学“从零到无穷”崛起历程中至为关键的奠基期。因此,回顾这段历史,有助于充实有关美国大学史及数学学科史的研究,并对我国大学数学学科建设有启示意义。

一、推动美国大学数学学科发轫的关键因素

19世纪70年代之前,数学学科在美国大学里还远未发展起来,甚至可以说几近“贫瘠”,大学里既没有系统性、专门化的数学研究机构,也没有独立的数学人才培养活动,数学只是作为其他学科的辅助而存在。虽然耶鲁大学1862年就授予了美国最早的数学博士学位,但当时并没有明确的学科归属,只是在1919年整理学校早期博士学位论文时将与数学有关的博士学位论文划归到数学学科[2](P219)。

美国大学数学学科“荒漠”状态的真正改观,肇端于19世纪后期。工业经济的兴起、《莫雷尔法案》颁布带来的办学热潮、欧洲大学数学经验在美国的传播,以及社会对大学数学学科和数学人才的态度转变等,都成为积极推动美国大学发展数学学科的有利因素。而在所有因素中,发挥至关重要作用的有三个:一是赴欧留学的美国数学学人的影响,二是美国数学会的建立,三是“第0届国际数学家大会”的召开。

(一)赴欧留学的美国数学学人的影响

近代欧洲数学经过数代人的积淀逐渐到达世界数学的巅峰,尤其是19世纪的德国,涌现出哥廷根大学这样的“数学圣地”,吸引了包括美国在内的世界各地的青年学子到此学习,以至于“在全世界数学专业的学生中,最响亮的口号就是:‘打起你的背包到哥廷根去!’”[3](P308)

美国学人前往欧洲大学攻读数学学位的情况自19世纪中期就开始出现。1862年,威廉·沃森(William Watson)获得耶拿大学数学博士学位,这是美国人获得国外数学博士学位的最早记录[4](P365)。很多大学也都鼓励本校师生前往欧洲留学或游学,哈佛大学还为此设立了专项奖学金,如柯克兰奖学金(Kirkland Fellowships)和帕克奖学金(Parker Fellowships)。据统计,1874年到1888年间,哈佛大学有7人在帕克奖学金的资助下前往德国大学学习数学[2](P232)。

在这一时期留欧的美国数学学人中,很多人成为推动美国大学数学学科发轫的学术中坚。如先后参与创办霍普金斯大学数学系和克拉克大学数学系的威廉·斯托里(William E. Story)、芝加哥大学数学系首任系主任伊莱基姆·摩尔(Eliakim H. Moore)、加州大学伯克利分校数学系主任艾文·斯特林厄姆(Irving Stringham)、哈佛大学数学系的杰出领袖马克西姆·博谢(Maxime Bcher)和威廉·奥斯古德(William Osgood)等。有数据显示,在1885年到1914年美国学人赴欧留学的高潮期,至少有85人在国外获得数学博士学位,超过同时期美国本土授予数学博士学位总数的20%[4](P363)。

这批美国学人在欧洲受到了当时最先进的数学训练,还与欧洲顶级数学家建立起密切的联系。他们回到美国后,一方面将从欧洲获取的数学知识与学习经验传递给美国学生,另一方面也将他们在欧洲亲自体验过的人才培养方式引入美国,促成美国大学在数学教学方面的跃升。

(二)美国数学会的创办

美国数学会的建立是19世纪末美国数学史上最重要的事件之一。1887年,哥伦比亚大学研究生托马斯·菲斯克(Thomas S. Fiske)到英国剑桥大学留学,期间曾参加伦敦数学会(London Mathematical Society)的活动。目睹这个充满活力的数学家团体后,菲斯克产生了在纽约建立类似机构的想法[5](P4)。在他的倡议下,1888年,“纽约数学会”(New York Mathematical Society)创办,1894年更名为“美国数学会”(American Mathematical Society)。从创立之日起,美国数学会就与美国大学互相交织在一起,大学里的数学学人借助学会提供的平台,开展经常性的学术交流,从而更好地推动各大学数学学科的起步。

学术会议是美国数学会创办早期最基本的活动形式,当时主要有年会、夏季会议和学术讨论会三种类型。年会是学会创办之初即设立的年度大会,从1889年到1899年,共举办了11届。年会上提交的论文主题多样,涉及领域众多,在学界激发起极大的研讨热忱[5](P83)。1894年,美国数学会举办首次夏季会议,到1899年,共举办了6次,年均提交论文20篇。在年会和夏季会议的基础上,当时有成员建议开展更具针对性的专题研讨会。如原西北大学数学系主任、时任瓦萨学院数学系主任亨利·怀特(Henry S. White)提出:“(其他会议上)每个人只能在整个议程里找到两三篇高度感兴趣的论文……难道如果精心选择三或六个相关主题的系列演讲,对更大一部分人而言不是更具吸引力、也更有用吗?”[5](P67)学会采纳了怀特的建议,决定利用夏季会议后的一周时间来举办专题学术讨论会。在1900年以前,美国数学会曾举办两次学术讨论会,数学家博谢、詹姆斯·皮尔朋(James Pierpont)和奥斯古德,以及精通数学的物理学家亚瑟·韦伯斯特(Arthur G. Webster)在会上就自己的数学研究做了详细汇报[5](P72)。一系列年会、夏季会议和学术讨论会成为当时美国大学数学家进行学术交流的重要途径,唤起了学者们的研究热情,为大学里蓄势待发的数学学科的成长提供了必要的学术引导。

(三)“第0届国际数学家大会”的召开

1893年,世界博览会在美国召开。组织者希望在博览会期间,一并举办系列性的国际科学大会,其中包括一场数学家大会。时任芝加哥大学数学系主任的摩尔作为大会组委会成员,负责筹办这场数学会议[6](P103)。这是在美国本土举行的第一次国际性数学会议,欧洲学者和美国本土学者提交了包含多种主题的论文。德国著名数学家菲利克斯·克莱因(Felix C. Klein)在会上发表了主题演讲。会后,克莱因到西北大学开展了为期两周的学术讨论会,史称“埃文斯顿座谈会”(Evanston Colloquium)。这次座谈会达到了两个目的:“第一,让参加座谈会的24名学生听到了克莱因更多的声音,并能与他进行一对一的交流;第二,它让摩尔等人认识到,今后一定要定期组织芝加哥大学和西北大学数学系参与的座谈会”[7]。座谈会之后,克莱因又走访了康奈尔大学、克拉克大学、哈佛大学等美国东部多所大学,与这些大学里的数学学者进行了广泛交流。

世界博览会期间的这场数学盛会及其后的一系列学术活动,在当时的国际数学界引发了极为深远的反响,该次会议也成为之后正式开始举办的国际数学家大会的原型,由此被称为“第0届国际数学家大会”(the Zeroth International Congress)[2](P338)。在此次会议中,美国学者直接接触到欧洲最先进的数学理念,了解了国际数学最新的研究趋势。“美国数学学者第一次不用前往德国朝圣,就能从德国最伟大的数学家那里得到巨大的收益。”[8](P104)这次会议对所有参会者以及美国大学数学学科的发展方向产生了深远影响,如大会上重点探讨的“群论”主题,就成为此后10年美国大学数学学人的主要研究领域,进而成为美国大学数学学科的重点发展方向[2](P336),在美国大学数学学科的发轫时期起到了可贵的引领作用。

二、美国大学数学学科发轫阶段的实践探索

学科是大学的基本学术细胞,承载着人才培养与科学研究的基础职能。一个学科在大学里的存在,从组织角度看,其标准在于:设立了成建制的机构,建立起相对稳定的学术队伍,能够开展系统、专门的教学与科研活动。美国大学数学学科的发轫,也正是在这几个方面进行实践探索的基础上,最终得以完成的。

(一)创办研究导向的数学系部

19世纪70年代以前,美国大学里基本没有数学院系的明确划分,更不存在数学研究生院。数学教师特别是数学教授如凤毛麟角,且主要从事旨在培养工程、技术方面实用人才的教学活动,教学任务繁重,鲜有专事数学研究者,而当时美国也没有一所大学将数学研究作为大学的使命[8](P21)。这种局面最终通过吉尔曼(Daniel C. Gilman)在新建的霍普金斯大学被彻底打破。

数学是霍普金斯大学建校之初就设立的学科之一,校长吉尔曼邀请到英国数学家詹姆斯·西尔维斯特(James J. Sylvester)担任数学系首任系主任,由从莱比锡大学获得数学博士学位的斯托里担任西尔维斯特的助手,此外还为其配备了3名研究生助教,而且每名研究生助教都获得了学校提供的500美元津贴,支持他们开展数学研究[9]。霍普金斯大学为美国大学数学学科带来两个重要变化:一是数学学科获得了相对独立的地位,二是大学教师使命的转变。吉尔曼在其校长就职演讲中曾表示:“最好的教师是那些自由的、有能力且愿意借助图书馆和实验室进行原创性研究的人。”[10]这一立场同样惠及到数学系的教师,使之从繁重的工具性教学任务中解脱出来,将主要精力放在开展原创性研究和培养未来的数学学者方面[2](P240)。试举一例,在当时,霍普金斯大学数学系研究生按要求每周都须提交主题论文,由此可见,霍普金斯大学数学系的工作重心已明显转向了学术研究与研究生培养。

霍普金斯大学对其他大学发展数学学科产生了积极影响。1889年,克拉克大学校长霍尔(G. Stanley Hall)从霍普金斯大学邀请到斯托里、亨利·泰伯(Henry Taber)、奥斯卡·博尔查(Oskar Bolza)等人加盟新建的数学系,后者将霍普金斯大学数学系的做法移植到克拉克大学,引入数学习明纳,举办系列学术讲座,开设高水平的现代数学课程,在数学研究和研究生培养方面取得了令人瞩目的成果,使克拉克大学数学系一度成为美国各大学数学系中风头最劲者[11](P57)。

继克拉克大学之后,1892年创办的芝加哥大学成为美国大学数学学科发轫阶段的又一“新星”。芝加哥大学首任校长哈珀(William R. Harper)尤其强调大学教师的研究角色,认为教授的任务绝不单是向学生灌输某一领域的已有知识,而是训练学生的学术能力,使之成为新的研究方向的推动者[12](P135)。新建的数学系是践行哈珀理念的典型。受聘担任数学系首席教授和代理主任的摩尔在哈珀的支持下组建起一个充满学术研究气息的数学系,并且按照哈珀的构想,“把尽可能多的已在各自部门展露实力的人聚集在一起,每个人都代表着不同的训练和不同的想法”,由此“营造出一种活跃的氛围,让许多新奇鲜活的想法相遇、碰撞”[7]。从1892年到1932年,摩尔成功带领芝加哥大学数学系从零起步,直至发展为美国最受瞩目的数学学术中心。

霍普金斯大学、克拉克大学和芝加哥大学是19世纪后期美国新建大学的代表,它们在发展研究型数学系方面做出的积极探索,不仅为各自的数学学科赢得了巨大声誉,同时也对其他大学数学学科的发展起到示范作用。在他们的共同努力下,以研究为导向的数学系开始在大学里深深扎根,为美国大学数学学科的发轫提供了组织保障。

(二)组建数学团队、开展数学研究

在很长一段时期里,美国的数学研究几乎都是孤立开展的,数学家们大都分散在美国各个大学,独立从事研究,也就无从谈起所谓的学术团队。19世纪70年代,随着第一个研究型数学系在霍普金斯大学的创建,这种情况开始发生转变。在霍普金斯大学,数学系形成了以西尔维斯特为核心、斯托里和另外3名研究生助教为成员的数学研究团队。这个团队的组建打开了美国大学数学学科发展的新格局。“西尔维斯特在霍普金斯大学度过的7年时间里……首次在一种适宜的大学环境中进行教学和研究,而且能以一种在其职业生涯中未曾实现过的方式进行领导。他身边第一次有了研究生,可以按照自己的兴趣方向指导他们的研究……他的研究兴趣重新焕发了活力,他的学生得以参与到那些年他提出的关于分区理论的重要想法中。”[13]1883年西尔维斯特应牛津大学邀请返回英国任教,这个团体随之式微,但它的影响却是深远的,意味着稳定的、具有凝聚力的数学研究团体初步在美国大学落地生根。

在霍普金斯大学之后,19世纪末20世纪初,很多美国大学也相继组建了各自的数学团队,如克拉克大学、芝加哥大学、哥伦比亚大学、哈佛大学、耶鲁大学和康奈尔大学等。在这其中,芝加哥大学的数学团队在当时取得的成就最为显著,影响也最为深远。

摩尔是芝加哥大学数学团队当之无愧的领袖。1892年担任系主任后,年仅30岁的摩尔随即邀请到博尔查和海因里希·马施克(Heinrich Maschke)这两位德国数学家加盟,组建起芝加哥大学数学团队的起始班底。值得注意的是,虽然博尔查和马施克都比摩尔年长,且二人均是克莱因的学生,学术声望也高于摩尔,但他们却被摩尔的人格魅力和领导才华所折服,坚定地支持摩尔开展工作。博尔查曾回忆说:“马施克和我很早就认识到摩尔的高超能力……他非常老练、体贴、无私,在涉及系里的所有重要问题上,都会平等地征求我们的意见。因此,我们不难心甘情愿地接受他作为领导,并欣然为他服务,更何况他还表现出非凡的组织能力和对部门利益的超前、无私的热忱。”[7]三人在一起共事十余年,期间他们带领数学系的其他成员和众多研究生在代数、几何学等领域做了大量前沿性研究,产出了众多创新性成果。例如,摩尔在1893年证明了有限域的结构分类,1900年左右对戴维·希尔伯特(David Hilbert)的几何学公理进行了重新论证和修正,1910年首次提出了“闭算子”(closure operator)的概念;博尔查的《变异微积分讲座》成为该领域的经典之作,历经多次再版而长盛不衰。他们共同开创了芝加哥大学数学学科的辉煌时代,使之“成为美国高等数学研究领域最为卓越的一个机构”,而且为该系的代数学研究“建立了一个延续数十年的非凡传统”[14](P160)。

霍普金斯大学、芝加哥大学等校数学团队的组建,从某种程度上反映出19世纪末美国数学界的一种趋势:学者们不再孤立、分散地从事研究活动,而是越来越倾向于聚集在一起,尤其聚集在以研究为导向的大学数学系。他们在团队式的交流与合作中解决问题,激发新的研究思路与灵感,既提高了研究效率,也为培养新一代数学研究者提供了适宜的平台。

(三)建立现代数学专业人才培养体系

研究型数学系的创办与专业数学团队的组建,为美国本土数学人才的系统性培养奠定了基础,进而初步建立起较为完备的现代数学人才培养体系。

霍普金斯大学是美国大学中最早尝试建立现代数学人才培养体系的大学。西尔维斯特不仅开设了当时美国最具深度的高等数学课程,而且引进了习明纳制度。在课堂上,他采用实验室式的教学方式,基于自己正在开展的数学研究,提出开放性的数学问题,学生们在他的引导下进行探究,以达到解决问题并发现新知识的效果[15]。霍普金斯大学数学系在人才培养方面的成就是有目共睹的。从建立到1899年,霍普金斯大学共培养出30名数学博士,他们绝大多数都成长为20世纪美国大学数学学科的学术中坚,包括霍普金斯大学教授托马斯·克雷格(Thomas Craig)、北卡罗来纳大学教授约书亚·戈尔(Joshua W. Gore)、德克萨斯大学奥斯汀分校教授乔治·霍尔斯特德(George B. Halsted)等。

克拉克大学也在数学人才培养方面做出过开拓性努力。该校数学系每周开设两个小时的数学习明纳,让师生密切合作,围绕从欧洲引入的最新议题进行探讨[11](P57)。所设课程在广度和深度上有明显突破,不仅有解析几何、三角学、数论和几何代数等传统经典课程,而且加入了非欧几何、四元数、阿贝尔积分等众多新兴领域的课程[11](P51),一时间呈现出欣欣向荣的兴盛气象。令人遗憾的是,克拉克大学数学学科的黄金时代仅历三年就走向落幕,人才培养活动也一度式微。

芝加哥大学的数学系在组建之后保持了持久的稳定,因而能够更彻底地进行人才培养方面的改革。在教学方式上,习明纳成为芝加哥大学数学系的主要授课方式,摩尔本人就经常将自己尚待完善的想法带到课堂上与学生一起研讨[16],同时以摩尔创办的“数学俱乐部”为基地,研究生能够参与到教师每两周一次的论文研讨会,由此营造出彰显活力、探索与合作精神的学术氛围。在课程设置上,芝加哥大学数学系的课程方案体现出明显的时代进步性。资料显示,1894年到1900年间数学系开设的常规课程包括复杂变量函数、四元数、超椭圆函数、抽象群论、高阶平面曲线、分析力学、线性微分方程、射影几何、数论和一般算术等[4](P130)。充满现代性的教学理念、教学内容和教学方式的引入,使得芝加哥大学数学系在现代数学人才培养规模和质量方面走在了美国高校的前列,仅1892年到1910年培养的数学博士就达39人,其中包括此后担任美国数学会主席的伦纳德·迪克森(Leonard E. Dickson)和乔治·伯克霍夫(George D. Birkhoff)等[4](P219)。

除霍普金斯大学、克拉克大学和芝加哥大学外,包括哈佛大学在内的老牌大学也启动了数学人才培养模式的改革。美国大学初步构建起现代数学人才培养模式,高水平数学人才培养逐步摆脱对欧洲的依赖,且培养出一大批本土数学精英。

(四)出版发行数学专业期刊

在19世纪后期以前,由于美国本土数学发展水平的滞后和公众对数学研究关注程度的低下,数学专业期刊在美国缺乏立足的基础,既没有足够的稿件,也没有足够的订阅量。即便有人开展过出版专业期刊的尝试,但也因种种困难多以失败告终,留存下来的少数刊物只能惨淡经营,无甚影响。“直至1878年《美国数学杂志》(AmericanJournalofMathematics)创刊前,美国都没有一本专门针对数学读者的期刊”[17]。

这里提到的《美国数学杂志》,创办人正是霍普金斯大学的西尔维斯特。吉尔曼校长高度重视学术期刊的出版,他认为如果研究和出版要成为大学规定的活动,那么这所大学应该为这一工作提供合适的渠道[18](P88)。最初吉尔曼曾有意将英国的《纯粹数学和应用数学季刊》(QuarterlyJournalofPureandAppliedMathematics)搬到霍普金斯,但最终未能实现。此后,吉尔曼转而开始支持西尔维斯特创办一份自己的数学期刊,这就是《美国数学杂志》。这本杂志的出版,不仅为美国数学家提供了开展学术交流的常规平台,同时还成为欧洲最新数学研究成果传入美国的良好中介。杂志出版后,赢得美国和欧洲数学界的普遍关注和赞誉,西尔维斯特为此曾不无自豪地说:“全世界都对这本杂志赞不绝口!”[7]

以《美国数学杂志》的创办为起点,美国数学专业期刊的发展进入新阶段,由大学直接创办或支持创办的数学专业期刊陆续问世,包括1884年创办的《数学年刊》(AnnalsofMathematics)、1894年创办的《美国数学月刊》(AmericanMathematicalMonthly)、1896年创办的《数学评论》(MathematicalReview)等。这些期刊为美国学者特别是大学里的数学研究者提供了开展学术交流的场所和媒介,为推动数学学科的发展作出了积极贡献。

三、美国大学数学学科发轫阶段的建设成就

从19世纪70年代起,经过众多学人的共同努力,数学学科终得以在美国大学扎根。很多大学的数学系孵化成为美国最早的一批数学学术高地,人才培养能力显著提高,数学研究活动由沉寂走向热络,并且产生了一批具有国际影响的学术成果和知名学者。美国大学数学学科在发轫阶段取得的上述成就,成为美国向世界一流数学强国迈出的第一个坚实“步伐”。

(一)孵化出一批数学学术高地

从19世纪70年代起,在一批数学学人的共同努力下,数学学科在美国大学中开始获得相对独立的地位,数学教学和研究工作有了稳定的机构保障,数学学术活动也日趋走向常态化、密集化和职业化,并由此孵化出美国本土最早的数学学术高地。这其中,除霍普金斯大学、克拉克大学、芝加哥大学等19世纪后期新建大学外,还包括耶鲁大学、哈佛大学等传统大学。

在这些堪称美国最早的数学学术高地里,汇聚了一批致力于数学研究和人才培养的学者。1892年的一份“美国数学教授名人录”记载了当时部分知名数学学者在美国大学的分布情况:霍普金斯大学的托马斯·克雷格、法比安·富兰克林(Fabian Franklin);克拉克大学的威廉·斯托里;哈佛大学的威廉·拜尔利(William Byerly)、威廉·奥斯古德、马克西姆·博谢;普林斯顿大学的亨利·范因;加州大学伯克利分校的艾文·斯特林厄姆、梅伦·哈斯科尔(Mellen Haskell);西北大学的亨利·怀特;德克萨斯大学的乔治·霍尔斯特德;耶鲁大学的休伯特·牛顿、威拉德·吉布斯(Willard Gibbs)、乔治·希尔(George Hill)[2](P317-318)。显然,这份名单还远不算完整,但即便如此,也充分说明,到19世纪末,数学学科已在美国若干大学中扎根,并借助上述在各自大学辛勤耕耘的学者们,形成了美国本土最初的一批数学研究与人才培养基地。这批学者,以及他们所开创的事业,成为推动美国大学数学学科在20世纪快速腾飞的关键“铺路石”。

(二)提高了本土数学专业人才的培养能力

人才培养是大学学科的基础使命,能够系统性地培养专业人才是大学学科走向成熟的基本标志。在美国历史上,19世纪后期以前几乎没有大学能够独立、系统地培养数学专业人才。随着社会对数学研究需求的增长,渴望接受高等数学培训的学生纷纷前往欧洲留学。这既反映出当时美国与欧洲在数学学术水平上的巨大差距,也反映出美国大学数学学科人才培养能力的严重不足。直到1876年霍普金斯大学建立之后,美国才有了真正意义上的数学专业人才培养平台。在霍普金斯大学、芝加哥大学等一批高校的接续努力下,美国本土培养数学专业人才的机构不断增多、能力显著提升。到19世纪末,尽管仍有不少美国学子赴欧洲大学接受数学教育,但随着美国大学数学学科实力的增长,本土大学也日益成为美国学子攻读数学学位的目标选项。有数据显示,1890年到1899年,美国大学培养的数学博士共有84名,而同期在国外获得数学博士学位的美国人只有23名[2](P383),这充分说明美国本土数学人才培养能力已有显著提升。虽然美国大学的数学教育还不具备与德国大学匹敌的实力,但经过一批批美国学人的努力,美国大学毕竟走出了数学人才培养的荒原地带。而由美国大学培养出的这批本土数学博士,也成为促成20世纪美国大学数学学科持续走强的重要力量。

(三)掀起了数学研究的热潮

19世纪70年代之后,随着以研究为导向的数学系在美国大学中的设立以及早期数学学术团队的组建,学术研究不再是学者们的个人爱好和业余活动,转而成为他们作为大学教师的内在使命,演变为一种职业性、密集性和具有团队性质的专业活动。学者们开始积极投入到前沿性的数学研究当中,从而在美国数学界掀起一股研究热潮。引领这股热潮的,正是这一时期美国大学里诞生最早的数学学术高地,其中芝加哥大学和哈佛大学的表现尤为引人关注。

芝加哥大学是19世纪晚期美国群论研究的重要阵地,摩尔及其领导的数学学术团队在群论方面做了大量研究,发表了众多研究成果。据统计,摩尔从1892年到1899年共发表18篇论文,其中大部分都与群论有关[2](P347)。摩尔的同事马施克也致力于群论研究。1899年,马施克在德国期刊《数学年鉴》(MathematischeAnnalen)上发表论文《证明一些系数连续消失的有限线性交换群不可被整除》,论文提出的结论被学术界命名为“马施克定理”,该定理是代数学领域有限群表示论中基本的定理之一。哈佛大学是当时美国数学研究的另一重要阵地,奥斯古德等数学家也取得了很有学术价值的研究成果。如1897年,奥斯古德发表了一篇有关实变量连续函数序列的收敛性的论文,这是美国最早受到国际学术界关注的论文之一[19](P42)。奥斯古德的另一个代表性成就是首次给出了黎曼映射定理的严格证明,而此前欧洲著名数学家庞加莱(Jules H. Poincaré)和赫尔曼·施瓦茨 (Hermann Schwarz)都曾试图证明该定理,但均未成功。奥斯古德的这一成就使他成为具有国际影响的知名数学家[20]。

除芝加哥大学和哈佛大学外,霍普金斯大学、哥伦比亚大学、密歇根大学、耶鲁大学等很多大学里的数学研究也空前热络起来,并且取得了足以引起国际数学界关注的重要成就,很多数学家也因此赢得了国际声誉。与之呼应的是另一个值得关注的现象:此前欧洲数学期刊中鲜见美国学者的身影,而这一时期随着美国本土数学研究活动的频繁和研究水平的提升,美国学者撰写的论文也开始频频出现在欧洲权威数学期刊上。以德国的《数学年鉴》为例,从19世纪80年代起,美国学者的成果开始陆续登上《数学年鉴》。据统计,从1887年博尔查在《数学年鉴》发表第一篇论文到1900年,美国学者在《数学年鉴》上共发表了27篇论文①。这从一个侧面反映出,以前并不被欧洲重视的美国大学数学学科,已经开始登上国际数学的舞台。

结 语

20世纪中叶,美国这个在百余年前仍处于国际数学舞台边缘的国家,终得以完成对欧洲的全面超越,成长为世所公认的数学强国,一大批美国大学的数学学科也跻身于国际一流之列。在回顾这段历史时,人们的目光必定不会只停留在实现逆转的这个时间节点,而要继续向前追溯到它的起步阶段。自19世纪70年代始,美国大学里的数学学科几乎是从零起步,经过众多学者的艰难跋涉、共同努力,到20世纪初得以初具规模,奠定了数学学科后续发力的基石。在美国大学数学学科的发轫过程中,来自外力的推动自然必不可少,但学科内部开展的各种尝试、探索、实践也至为关键。美国大学数学学科的先驱们,从促成学科生长的土壤、环境、要素着手,通过创立专门机构、组建学术队伍、变革人才培养模式、创设学科交流平台等,为美国大学数学学科的发轫培植了适宜的沃土。美国大学数学学科的发轫历程,及其所体现出的学科建设的一般规律,是值得致力于建设一流学科的所有后发者认真省思的。

注释：

① 根据德国《数学年鉴》1887—1900年发表论文及作者信息整理。参见施普林格《数学年鉴》期刊网站:https://link.springer.com/journal/208/volumes-and-issues.