拥挤城市轨道交通线路列车时刻表与常态限流协同优化研究

张星瑶

摘 要：针对城市轨道交通线路高峰时段客流压力大、站内过度拥挤等问题，文章从系统优化的角度出发，将运输服务供给与客流需求控制作为一个整体进行研究。首先，引入了列车时刻表变量与限流变量，以乘客等待总时间最小化为目标函数，以列车时刻表约束、乘客进站约束及上下车约束为条件，建立了列车时刻表与常态限流协同优化模型。该模型动态刻画了列车运行过程、车站限流过程和乘客与列车的交互过程，并运用0-1变量累计流的思想，详细描述了乘客排队进站及上车的过程，深刻贯彻了“先到先服务”的原则。通过采用CPLEX软件编程求解，算例结果验证了该模型的有效性——与列车时刻表或限流的单目标优化相比，两者协同优化在减少乘客总等待时间方面具有明显作用。其中，两者协同优化相较于仅考虑时刻表优化，使乘客总等待时间减少了19.99%；相较于仅考虑限流优化，使乘客总等待时间减少了16.66%。

关键词：城市轨道交通；列车时刻表；限流；协同优化

中图分类号：F572；U231.29文献标志码：ADOI：10.13714/j.cnki.1002-3100.2023.10.024

Abstract： In response to the problems of high passenger flow pressure and overcrowding in urban rail transit during peak hours， this paper studies the control of transportation service supply and passenger flow demand as a whole from the perspective of system optimization. Firstly， the train schedule variables and flow limiting variables are introduced， with the objective function of minimizing the total waiting time of passengers. The train schedule constraints， passenger entry constraints， and boarding and alighting constraints are used as conditions to establish a collaborative optimization model for train schedules and normal flow limiting. This model dynamically depicts the train operation process， station flow restriction process， and passenger train interaction process， and adopts the idea of 0-1 variable cumulative flow to describe in detail the process of passengers queuing to enter and board the station， deeply implementing the principle of "first come， first served". By using CPLEX software programming to solve the problem， the effectiveness of the model is verified by the results of numerical examples; compared to single objective optimization of train schedules or flow limiting， the collaborative optimization of the two has a significant effect on reducing the total waiting time of passengers. Among them， compared to only considering timetable optimization， the total waiting time of passengers has been reduced by 19.99%. Compared to only considering flow restriction optimization， the total waiting time of passengers has been reduced by 16.66%.

Key words：  urban rail transit; train timetable; passenger flow control; collaborative optimization

1    研究背景

近年來，随着城市化进程的加快，城市人口不断增加，乘客出行需求增长迅猛。在客流高峰时段，部分城市轨道交通线路的客流需求巨大，运输服务供不应求，形成了严重的客流拥塞，给乘客的人身安全和车站的正常运营带来了巨大的威胁。

当前，我国主要从供需两个方面进行考虑，采取调整列车运行计划和常态限流两项措施来缓解高峰时段客流拥堵问题。在调整运输供给方面，国内外学者主要通过以客流需求为导向设计面向服务的列车时刻表，以满足动态变化的客流需求。如牛惠民等[1]考虑了乘客等待时间最小化，而Yin等考虑了以列车牵引能耗最小化为目标的面向服务列车时刻表优化。

在调整运输需求方面，政府主要采取限流的措施控制进站的客流量，以缓解站内拥挤。从实施常态限流的车站数量与关系的角度出发，常态限流可划分为车站限流、线路限流和路网限流。在研究车站级别的常态限流策略时，主要通过评估车站的拥塞状态，观察其是否达到限流的标准，从而对单个或多个不相关的车站进行限流。例如，禹丹丹等[2]通过视频标识获取拥挤车站关键区域客流密度，以判断车站拥塞状态；豆飞等[3]根据各类车站设施设备内乘客聚集程度，提出了限流触发判别方法。在研究线路级别的常态限流策略时，主要通过建立数学模型研究多站协同限流，从而求解最优的限流措施。例如，赵鹏等[4]以乘客总等待时间最少和乘客周转量最大为优化目标，马羽等[5]通过考虑各站乘客、各OD客流之间的公平性和均衡性建立了线路层车站间与时段间协同限流模型。在研究路网级别的常态限流策略时，权经超[6]采用客流“溯源”的思想分析拥挤车站，以解决客流拥堵问题；谢丽平[7]以路网上车人数最大化和乘客总延误时间最小化为目标、郇宁等[8]以列车平均运能利用率最大化和站台乘客滞留比差异最小化为目标建立了多站协同限流模型。

相较于对列车时刻表和限流进行单目标优化，当前的研究将两者紧密结合，协同优化趋势日益明显，效果也更为突出。例如，李佳杰[9]构建了换乘站站外限流与列车时刻表协同优化模型；孟凡婷[10]等以提高列车运行效率、减少客流乘车延误人数为优化目标，建立了考虑跳停策略的列车运行图与车站限流协同优化模型；Shi等以最小化乘客等待总时间为目标建立了列车时刻表与精确限流协同优化模型，该模型考虑在同一车站根据不同的OD分开限流。

通过上述分析，可以总结出当前的研究主要存在以下问题：现有的研究对乘客进站和上车规则的刻画不符合实际，且难以实现；还有一部分当前的研究对不同目的地的乘客进行分开限流，然而其在实际车站中无法运用和操作。

为解决上述问题，本文基于“先到先服务”原则，以乘客总等待时间最小化为目标函数构建列车时刻表与常态限流协同优化模型。

2    问题描述

本文考虑具有座车站的双向城市轨道交通线路，如图1所示。设置列车运行方向集F={1，2}（下行方向f=1，上行方向f=2），并根据列车运行方向，定义车站集合S={1，...，2n}。在线路上，列车采用单一交路，上下行列车成对开行，使用集合I0={1，...，m}来表示下行方向的列车编号，I1={1，...，m}来表示上行方向的列车编号。

本文将研究时段T=[t1，t2]离散为k个时刻的集合，即T={t1，t1+1，...，t2}，t2-t1+1=k，其中t1和t2分別为研究时段T的开始和结束时刻，各离散时刻的精度记为σ，根据实际需要进行取值设置，可为15 s、30 s或1 min等；记t为时刻的索引，任意时段t=[t，t+1]开始于时刻t，结束于时刻t+1。同时，定义客流种类的集合为V，索引为v。

为方便模型的构建，本文现提出以下假设。

在高峰时段，乘客不会因车站限流措施滞留站外而改变出行方式，即不计限流对客流损失的影响；列车严格按照运行图运行，忽略干扰列车正常运行的因素；区间运行时间、停站时间固定，列车站站停且不允许越行；乘客进站、上下车遵循“先到先服务”原则，即先到达的乘客先进站，先进站的乘客先上车。

3    模型构建

3.1    符号说明

为便于表述模型，本研究将需要使用的主要参数、变量的符号定义如下。

q、qin、qwait、qarr、pwait、pboard、palight、ponboard、prest分别表示到站、进站、站外等待、到达站台、站台等待、上车、下车、车内、站台滞留乘客数；ωv、α、β分别为客流v站外、总乘客站外、总乘客站台等待时间权重系数；trun、tdwell、twalk、tdep、tarr、thead分别表示列车运行、列车停站、乘客换乘走行、列车到站、列车出发、列车发车间隔时间；e、rmin、ctrain、?max分别为各车场车底数、最小折返时间列车定员数及最大满载率；[t1fleft，t1fright]表示第一列列车始发时间范围；[hmin，hmax]表示相邻两列车发车时间范围；▽t为截止时间t时，已经进站乘客的最晚到达时间；△i为截止列车i发车时刻，已经上车的乘客最晚到达站台的时间。

3.2    目标函数

在客流高峰时段，乘客等待车辆到站时间作为乘客出行过程中时间成本的重要部分，直接决定了乘客服务水平。各到达站台的乘客候车情况。

3.2.1    乘客站外总等待时间

3.2.2    乘客站台总等待时间

目标函数即乘客总等待时间最小可表达为：minαZ1+βZ2。乘客站台候车情况见图2。

3.3    约束条件

3.3.1    列车时刻表约束

式（4）为第一列列车始发范围约束；式（5）为列车始发时刻约束；式（6）为列车区间运行时间约束；式（7）为列车停站时间约束；式（8）为相邻列车始发间隔约束；式（9）、式（10）为车底折返约束，车底折返示意图如图3所示。

3.3.2    车站限流约束

式（11）表示的是站外等待乘客数，在时间t内（准确来讲，是时间t末）站外等待的乘客数可由时间t-1内的站外等待乘客数、时间t内新到乘客数和进站乘客数计算得出；式（12）为允许进站乘客数，在允许乘客进站时，到达乘客按到站时间排队，通过比较截止时间t和t-1，已知已经进站乘客的最晚到达时间▽t和▽t+1，可以得到在时间范围[▽t-1+1，▽t]内到站的乘客在时间t内进站；式（13）为进站时间不得早于到达时间的约束。

3.3.3    乘客与列车交互约束

式（14）为到达站台乘客数，由进站乘客与站内走行时间决定；式（15）为站台候车乘客数，由与前一列车发车时间间隔内站台到达乘客数和受前列车运力限制而滞留站台的乘客数决定；式（16）为上车乘客数，通过比较截止列车i、i-1发车，已知已经上车的乘客最晚到达站台的时间为△i、△i-1，可以得到在时间范围[△i-1+1，△i]内到达站台的乘客可以登上列车i；式（17）为下车乘客数；式（18）、（19）为站台滞留乘客数；式（20）保證研究时段内到达的乘客均能上车；式（21）、（22）为列车区间满载率约束。

4    算例分析

4.1    算例描述

本文考虑具有4座车站的双向城市轨道交通线路，从下行方向开始依次命名为s1、s2、s3、s4。每个方向各运行5列列车，共有本线和换乘两种客流需求。为建立整数线性规划模型且便于计算，将整个研究时段划分为41个研究时刻，每一时间间隔为σ=60s。假设各区间运行时间、各站台停站时间一直固定，分别为240s、60s。其他参数设置如表1所示，客流需求如表2所示，且在研究时间范围内乘客到达服从正态分布。

4.2    结果分析

通过使用MATLAB调用Cplex软件编程，上述规划模型的最优解在488s后计算得出。

4.2.1    列车时刻表分析

图4展示了最优解中的列车时刻表及乘客在站台的候车情况，其中蓝色（绿色）线条表示下行（上行）方向的列车，蓝色（绿色）方框中的数字表示下行（上行）方向站台内候车的乘客，蓝色（绿色）圆圈中的数字表示列车在下行（上行）方向上的区间载客数。由图4可以看出，在客流需求大的时段，列车开车间隔小，这一安排与该时刻表是以客流需求为导向制定的理念相符。同时，结果数据表明列车3和4在区间s2—s3满载率极高，且存在下行方向的乘客在车站s2、上行方向的乘客在车站s3因列车容量有限而滞留站台的情况。

4.2.2    乘客进站分析

图5展示了各车站的最佳进站乘客数和站外等待乘客数变化曲线。为避免乘客在站内拥挤，在保证乘客服务水平的前提下，我们尽可能地安排乘客在站外等待。随着乘客的到达，站外等待的乘客数逐渐增加；等到列车到站时，上车的乘客和受最大限流强度约束的乘客进站，站外等待乘客数减少；当列车出发后，站外乘客又逐渐累积，如此循环，站外等待乘客数量随着列车到发规律发生重复变化。以图5（a）为例，当t∈[9，11]时，到达乘客累积在站外等待。此后，为登上在时刻14到达的列车，乘客在时刻12和13陆续进站，站外等待乘客减少，但为保证下游乘客能够顺利上车，仍有部分站外等待乘客被限制进站，继续在站外等待。

4.2.3    对比分析

为验证协同优化模型的有效性，本文将协同优化后的效果同不限流，以及不考虑列车时刻表优化下仅限流的效果进行对比，对比结果如表3所示。结果表明，在不设置限流措施时，乘客全部在站台等待，站台等待时间较协同优化增加了99.95%，总时间增加了19.99%；而在仅考虑限流优化时，虽然乘客被限制进站，乘客站台等待时间较无限流措施时却有了极大程度的减少，但与协同优化相比仍增加了9.64%，总时间增加了15.29%。由此可知，列车时刻表与限流协同优化对于减少乘客站台等待时间和总等待时间具有显著效果。除此之外，换乘乘客站外等待时间为0，表明在进站条件允许下，换乘客流先于本线客流进站，限流遵循“先限本线，后限换乘”的原则。

各时刻站台聚集乘客数体现了站台瞬时聚集的乘客量，包括站台等待乘客数和列车到站下车乘客数，是站台拥挤程度的直观反映。本文以车站s1为例，将未采取限流措施、给定时刻表下限流和列车时刻表与限流协同优化下的站台聚集乘客数进行对比，结果如图6所示。在不进行限流时，乘客在时刻13、14时大量聚集在站台，站台拥挤度最高。而仅限流时，虽然在一定程度上降低了站台最大的聚集峰值，但推迟了部分乘客聚集的时间。相较之下，协同优化整体既减少了站台的聚集乘客数，又降低了站台平均拥挤度，对缓解站台拥挤具有重要作用。

5    结    语

本文通过研究列车运行过程、车站限流过程和乘客与列车交互过程，构建了以乘客总等待时间最小化为目标函数的列车时刻表与常态限流协同优化模型，并采用小规模算例对模型进行实验验证，得出如下结论。

本文构建的协同优化模型从供需两侧出发，提高了列车运能与客流需求的匹配程度，相较于两者单一优化而言在减少乘客等待时间方面具有明显作用。其中，较仅考虑时刻表优化，乘客总等待时间减少了19.99%；较仅考虑限流优化，乘客总等待时间减少了16.66%。

在协同优化的研究中，要求到站乘客尽可能地在站外排队等待，再根据列车到发规律排队进站，从整体上降低了站台乘客的聚集程度，缓解了站台拥挤。

最大限流强度的取值决定了乘客的进站情况，进而影响到乘客服务水平和乘客等待时间，故合理确定最大限流强度对提高乘客服务水平、减少乘客等待时间具有重要意义。

参考文献：

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[6] 权经超．基于数据驱动的城市轨道交通路网协同限流研究[D]．北京：北京交通大学，2019.

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[10]  孟凡婷，杨立兴，卢亚菡，等．考虑跳停策略的城轨列车运行图与车站限流协同优化研究[J]．交通运输系统工程与信息，

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