基于函数关系研究函数图象，促进学生深度学习

崔佳佳 王亚婷 范兴亚

摘  要：函数图象是研究函数性质的基础，基本初等函数的性质也是研究新函数的基础. 通过代数推理研究函数性质，可以帮助学生发现新函数图象的发展趋势；通过描绘一些关键点，能够帮助学生获得新函数图象. 以研究函数[y=ax+b][a≠0]为例，通过设置一系列逐层递进的问题，分析函数解析式的特点，发现函数之间的关系，形成“结合性质画函数图象”的观念，促进学生深度学习.

关键词：函数关系；函数性质；函数图象

基金项目：北京市教育学会“十四五”教育科研课题——大概念视角下初中函数单元教学实践研究（ZXSXYB2021—025）.

作者简介：崔佳佳（1977— ），女，高级教师，主要从事中学数学教育教学研究；

王亚婷（1996— ），女，二级教师，主要从事中学数学教学研究；

范兴亚（1981— ），男，高级教师，主要从事数学教育及代数学研究.

函数是描述客观世界中变量关系和规律的基本数学语言和工具，是初中阶段的核心内容之一. 在对函数的研究中，函数图象扮演着重要角色，往往通过观察和分析函数图象的特征得到函数的一些性质. 在教学中，学生习惯于通过列表、描点、连线来画函数图象，通过观察函数图象得出函数性质. 这种处理能发挥函数图象的几何直观作用，但也会给学生造成一些负迁移. 一些学生会形成“有了函数图象才有函数性质”“函数性质是由函数图象得到的”等错误观念. 因此，如何在教学中有意识地渗透从函数解析式的角度利用代数推理研究函数的性质，使得学生在积累了一定的知识后形成“结合性质画函数图象”的观念，成为摆在我们面前的一个重要问题. 以下是基于函数关系的函数图象教学实践研究，以及产生的一些思考.

一、一节研究课引发的思考

在学习了二次函数的图象和性质后，一位教师结合学生遇到的问题“[y=-x2+2x-1]是不是二次函数？”设计了一节研究课，开展对这类函数的研究. 笔者发现，当解决“如何得到函数[y=-x2+2x-1]的图象？”这一问题时，大部分学生仍采用列表、描点、连线的方法画图象. 在教师的引导下，一部分学生关注到了该函数与已学过的函数之间有一定的联系，如函数[y=ax2]就是函数[y=ax2]；还有一部分学生想到类比[y=-x-12=-x-12，   x≥0，-x+12，   x<0] 将函数[y=-x2+2x-1]转化为分段函数，其图象由两个二次函数的部分图象组成……在听课过程中，随着学生对函数[y=-x2+][2x-1]的研究的展开，笔者也产生了一些疑问.

疑问1：初中学生对画函数图象积累了哪些经验？这些经验是如何获得的？

疑问2：采用列表、描点、连线的方法画函数图象时，学生如何确定应该选取哪些点？这有限个点是否具有代表性？有了这有限个点，学生如何连线？

疑问3：如果将图象上的点密度加大，甚至使用画图软件或图形计算器直接画出函数图象，有什么优势和弊端？

疑问4：在学习完一次函数、二次函数、反比例函数这三类函数之后，学生已经经历了三次用列表、描点、连线的方法画函数图象并观察图象得到性质（由形到数）的过程，奠定了函数图象是函数性质的基础的观念. 但是，学生对如何取点、如何连线及如何描述函数的性质还缺乏系统的经验. 为了给高中阶段后续学习打下坚实的基础，有必要思考是否能通过分析函数性质“倒推”得出函数的大致图象（由数得形）.

笔者认为，研究函数性质应强调数形结合，即综合运用代数运算和函数图象. 初中阶段，学生主要通过函数图象直观得出函数性质的定性描述，是比较粗糙的. 高中阶段，学生在图象直观的基础上通过代数运算得到函数性质的定量刻画，是更加准确的. 初中阶段研究函数性质的基础是图象，但准确画出图象的大致特征是难点. 如果我们将列表、描点、连线作图象的方法叫做基本描点作图法，将利用函数性质倒推出函数图象的方法叫做结合性质描点作图法，显然，画出一次函数、二次函数图象时，用基本描点作图法一般需要描出多个点，而结合性质描点作图法画一次函数图象只需描出两个点，画二次函数图象可能只需要画出顶点和图象与坐标轴的交点等关键点，结合对称性就能展示出函数图象的大致特征.

基本描点作图法是获得一个函数图象的基本方法，也是必备方法. 当学生第一次接触某种基本初等函数时，因为知识有限，一般用基本描点作图法就能得到函数的图象. 这种方法的优势是直观，缺点是烦琐，如果描绘的点不够多可能会缺失图象的一些关键点. 利用结合性质描点作图法画图象，需要学生调动已学的函数知识，通过观察函数解析式的特点，建立函数与已学函数之间的联系，通过代数推理分析函数图象的大致特征，进而数形结合地画出函数图象. 这种作图方法的优势是能快速、准确地表达关键信息，帮助学生调用、迁移已有函数学习经验，发展学生的抽象能力和推理能力，为后续高中階段相关知识的学习打下良好的基础. 其缺点是对学生的综合能力要求较高，部分学生会有较大的认知负担.

二、基于函数关系的函数图象教学实践

根据皮亚杰的建构主义理论，教学是激发学生建构知识的过程，是创设或者利用各种情境帮助学生利用先前习得的知识与已有的经验，在当前情境中进行学习和认知. 结合性质描点作图法并不一定要到九年级复习课或高中函数学习时才可以应用，实际上，我们可以在简单的教学素材基础上渗透该方法. 为了激发学生主动建构函数关系中的函数图象的相关知识，笔者在讲完一次函数的图象和性质后，带领学生对函数[y=ax+b][a≠0]进行研究. 本节课旨在通过创设研究一次绝对值函数的新情境，帮助学生利用已有的一次函数知识和经验，在对函数[y=ax+b][a≠0]的研究中巩固基本描点作图法，主动建立一次绝对值函数与一次函数之间的联系，掌握两者之间的转化方法，提升对函数图象的认识. 具体的教学过程如下.

环节1：创设情境，引入新知.

教师通过提问引导学生回顾画函数y = 2x的图象的方法.

问题1：怎么画函数y = 2x的图象？

追问1：需要描几个点呢？

追问2：为什么描两个点就可以画出它的图象？

追问3：列表时，两个点中有没有特殊点？

师生活动：学生在回顾了正比例函数的图象及性质后，画出函数[y=2x]的图象.

问题2：将解析式右边的式子加上绝对值符号，得到了新的函数[y=2x]，它是一次函数吗？为什么？

师生活动：教师引导学生尝试从解析式和图象两个角度思考，并说明函数[y=2x]是否是一次函数.

【设计意图】从学生熟悉的正比例函数y = 2x入手，引出新的研究对象——函数[y=2x]，在学生思维的最近发展区创设有认知冲突的情境，激发学生研究新函数的兴趣.

环节2：调动经验，探究新知.

活动1：研究函数[y=2x].

师生活动：学生独立思考，尝试画出函数[y=2x]的图象. 教师组织学生进行展示和评价交流.

一些学生利用基本描点作图法画函数[y=2x]的图象，也有一些学生运用代数知识将[y=2x]转化为[y=2x]和[y=-2x]，画出两条直线，但是忽略了转化的前提条件在图象中的体现. 教师组织学生相互评价、解释说明. 有的学生认为，根据y的取值范围，函数[y=2x]的图象不应该在x轴的下方.

首先，教师引导学生尝试从解析式的角度分析函数[y=2x]的性质，并将其转化为函数图象，使学生体会数形结合思想. 例如，当自变量取相反数时，得到的函数值相等，即其函数图象关于y轴对称.

其次，学生借助分析得到的函数性质和图象特征改进自己所画的图象，并判断得出函数[y=2x]不是一次函数，同时体会到[y=2x]与一次函数[y=2x]的关系紧密.

最后，师生共同总结函数[y=2x]及其图象的性质.

【设计意图】通过画函数图象认识函数是研究函数的基本思路，而基本描点作图法是画函数图象的基本方法. 学习了一些基本初等函数后，除了直接用基本描点作图法画函数的图象，还应关注新函数是否与已学函数有联系，引导学生体会通过对解析式的分析得到函数及其图象的一些特征，从而更快速、准确地画出函数图象. 通过评价交流，培养学生批判质疑的精神，提升学生的代数推理和数学表达能力.

活动2：研究函数[y=2x-1].

师生活动：学生借鉴从活动1中获得的经验，尝试独立画出函数[y=2x-1]的图象，之后交流成果，师生共同点评.

有的学生采用基本描点作图法画函数[y=2x-1]的图象，但列表时x的取值都是整数，忽略了[x=12]这个关键值，连线时出现错误. 有的学生借鉴活动1的经验，采用结合性质描点作图法画图象，分别采用两点法畫出函数[y=2x-1]和[y=-2x+1]的图象，然后去掉x轴下方的部分，得到函数[y=2x-1]的图象. 教师指出用不同方法画图象时的注意事项，帮助学生积累解决问题的经验.

追问1：如何由函数[y=2x-1]的图象得到函数[y=2x-1]的图象？

师生活动：学生观察这两个函数的图象，从图象变换的角度建立两个函数图象间的联系，并尝试从绝对值运算、关于x轴对称的点的特征的角度，数形结合地加以解释和理解.

追问2：对比函数[y=2x]与函数[y=2x-1]的图象，有什么相同点和不同点？

师生活动：学生观察图象，从形状特征、最低点、对称轴等角度进行概括.

【设计意图】利用对函数[y=2x-1]的研究，引导学生主动将在活动1中获得的经验迁移至对新函数的研究中，巩固基本描点作图法和结合性质描点作图法，指出两种方法各自需要关注的要点. 在得到函数[y=2x-1]的图象后，引导学生从图象变换的角度建立函数图象间的联系；通过对比，概括这类函数图象的特征，并运用代数知识加以分析、推理和解释，丰富学生认识和研究问题的角度，促进学生对数形结合思想的理解和运用，发展学生的抽象能力和推理能力等.

活动3：研究函数[y=2x+3].

师生活动：学生利用从活动1和活动2中获得的经验，从多个角度、用不同方法画出函数[y=2x+3]的图象.

学生可以从绝对值化简的角度，将函数[y=2x+3]转化为[y=2x+3，  x≥-32，-2x-3，   x<-32;]也可以从图象变换的角度，建立函数[y=2x+3]与函数[y=2x+3]之间的联系；还可以根据活动2中概括得到的这类函数图象特征的规律探究新函数的图象；等等.

追问：如何由函数[y=2x]的图象得到函数[y=2x-1]和[y=2x+3]的图象？

师生活动：教师带领学生再次从图象变换的角度发现和理解这三个函数图象之间的关系.

【设计意图】活动3为学生创设了充分利用习得的经验研究新问题的空间，鼓励学生利用活动1和活动2的研究经验，思考如何灵活地画出新函数的图象. 通过对比三个含绝对值函数的图象，引导学生从平移的角度再次认识函数图象之间的关系，进一步促进学生对函数图象关系的认识和经验积累.

环节3：逐步推广，拓展应用.

思考：（1）如何画函数[y=2x+b]（b为常数）的图象？

（2）如何画函数[y=kx+3]（k为常数，k ≠ 0）的图象？

【设计意图】思考题的设计是由具体函数向一般函数过渡，逐步推广到研究一类函数，使思维活跃的学生能有更深的发展.

本节课通过对三个一次绝对值函数图象的探究，既调动了学生研究的自主性，利用已有经验从不同的角度思考问题，利用不同的方法解决问题，又体现了教师的引领性，通过学生的展示、评价、交流，调整和完善学生解决问题的过程，归纳研究方法. 在基本描点作图法的基础上，渗透结合性质描点作图法，即利用函数性质“倒推”出函数图象的特征，丰富解决问题的途径，引领学生高阶思维的发展，增强学生对数学活动经验的积累和迁移，发展学生的数学核心素养.

三、基于函数关系研究函数图象的一般路径

建立客观世界中运动变化现象的函数模型，目的是利用数学知识和方法分析函数模型，由此发现事物的变化规律，进而精确地“预测未来”. 函数模型的性质反映了现实世界中大量事物的变化规律，具有典型性、普遍性和一般性，所以探索和掌握基本初等函数的性质无论是对现实事物的变化规律还是对进一步研究新函数（复杂函数）都有奠基作用. 高中阶段学习的函数性质主要有单调性、最值、奇偶性、周期性等. 虽然初中生还不能完全理解其严格的定义，但是教师可以让学生尝试用数学语言描述函数性质. 这里教师需要帮助学生解决“为什么要研究函数性质？”“什么叫函数性质？”“函数的性质主要有哪些？”“如何发现函数的性质？”等问题.

教学时，教师可以通过具体例子向学生说明如下几点.

（1）通过函数的变化规律可以把握客观世界事物的变化规律，通过旧函数的图象和变化规律可以推导出新函数的图象和变化规律.

（2）函数的性质主要是函数值随自变量的变化而变化的规律，变化中的不变性、规律性就是性质，如随着自变量的增大函数值是增大还是减小（变化趋势），有没有最大值或最小值（特殊意义的取值），函数图象有什么特征（主要是对称性），有没有其他特殊取值（如与坐标轴的交点），函数图象的分布情况（如位于哪个象限），等等.

（3）数形结合是主要的研究方法. 如果能画出函数的图象，那么通过观察和分析图象的特征，可以得到函数的一些性质；也可以利用代数知识，通过对函数表达式的分析和推理得出一些性质.

例如，对于函数[y=2x-1]，由绝对值的性质可以得到如下结论.

（1）函数的零点是[12]；

（2）函数的图象在x轴及x轴上方；

（3）函数[y=2x-1]的图象可以由[y=2x-1]的图象保持x轴上方图象不变，下方图象向上翻折得到；

（4）用[x-12]代替[y=2x]中的x，得到[y=2x-1]，说明函数[y=2x-1]的图象可以由[y=2x]的图象平移得到；

（5）由于将[12+x]和[12-x]分别代替x代入[y=2x-1]后，y值相等，说明函数关于直线[x=12]对称；

……

需要注意的是，学生习惯于利用基本描点作图法画函数图象、观察图象、得出性质，在完成一定知识的积累后，教师要鼓励学生尝试从不同角度探索函数图象，概括函数性质，进一步理解图象与性质之间的联系，提高学生归纳概括的能力，形成新的知识体系，并利用新的知识去解决问题. 图1展示了应用结合性质描点作图法，利用旧函数研究新函数图象的一般路径.

四、教学反思与启示

函数是初中阶段数学学习的重要内容，它是连接代数与几何的纽带. 按照教育家皮亚杰的认知发展阶段划分，初中生正处于形式运算阶段，他们开始具有逻辑运算思维，对于函数的性质探索必须建立在拥有具体图象的基础上，但是教师可以引导学生逐步应用函数的性质自主画出函数图象. 而深度学习是要培养学生的高阶思维能力，包括应用、分析、评价、创造. 在教学中，教师需要引导学生达成数学知识的关联和抽象拓展建构，优化学生对数学方法的认知结构，提高学生对数学方法的认知水平. 通过对基于函数关系的函数图象教学的实践，笔者获得如下思考.

1. 教学内容选取要低起点、能深化，贵在促进学生深度学习

深度学习是学生对核心知识的深度理解，以及在问题情境中应用这种理解的能力. 基于对学生的学情分析，设计一个恰当的问题情境，可以为学生创设利用已有知识探究新问题的空间，促进学生主动关注知识间的联系，自觉运用相关知识思考、解决问题；通过相互评价、交流，发展学生的认知体系，提升学生解决问题的能力. 深度学习的载体不一定是一个十分復杂的问题. 在学习了一次函数之后，一次绝对值函数就是一个相对简单又能引发学生思考的问题. 对这样的新函数的研究既能让学生巩固一次函数的相关知识，又能促进学生主动将新问题进行转化.

通过设置如图2所示的层层深入的拓展性问题，引导学生主动运用和迁移已有学习经验解决新问题，学习新方法，增长新经验，从而促进学生持续建构知识，拓展学生思维的深度和广度.

在研究问题的过程中，教师既要尊重学生的自主性，给予学生独立思考、发挥个性的探究空间，又要有所引领，通过生生、师生间的评价交流，肯定好的想法，完善存在不足的方法，介绍好的做法，加深学生对问题的认识，提高解决问题的效率，增强数学活动经验，促进学生发展自己的认知体系.

2. 教学设计要符合学生的认知规律，不要回避认知冲突

在对具体研究对象进行教学设计的过程中，教师要反复考量问题的设计意图及其教学功能，既要符合学生的认知规律，也要具有一定的开放性. 本节课选取[y=2x-1]作为主要研究对象，其目的是对函数[y=2x]研究的继续推进，多角度体现函数间的关系，既可以是与函数[y=2x-1]的联系，也可以是与函数[y=2x]的联系. 学生在已有认知基础上，在对问题解决、反思的过程中，发现、理解和掌握结合性质描点作图法.

此外，在教学过程中，我们不能回避学生可能出现的错误，适当制造认知冲突对学生的学习有重要意义. 在新旧知识结合点上产生的问题，最能激发学生的认知冲突. 学生不知道新函数图象的形状，因此不知道如何取点，在连线过程中不知道应该画直线还是曲线，最终呈现的图象很可能各式各样. 甚至因为所取的都是整数点，而忽略了[12，0]这个关键拐点. 我们不能为了让学生回避错误用[y=2x-2]代替[y=2x-1]. 通过这样有针对性地创设情境，巧妙设置思维障碍，让学生经历思维上的挫折，引发认知冲突，从而激发学生的研究兴趣，发展学生乐学、善学的素养. 同时，能够促进学生对方法的理解，提升学生正确、灵活运用方法的能力，丰富学生解决问题的经验.

3. 教学过程要以生为本，充分尊重不同层次学生的知识生成

在教学设计时，我们不能仅以新知识如何能被学生顺利接受为目标进行教学设计，而要以学生的发展为本设计教学，准备不同的教学预案. 教学过程中，倡导以学生为主体的教学. 同样的内容在不同程度、不同特点的班级展开教学时，往往可能会呈现不同的教学节奏、过程和效果.

对于本文提到的一次绝对值函数的研究，在分层的A1班和A2班教学时，学生的课堂表现就有较大的区别. A1班学生思维活跃，在对不同方法的理解和运用、知识间联系的梳理和建构方面表现出较强的自主性. 学生能发现和建立函数间的联系，探究的开始就采用了结合性质描点作图法，能准确把握“两点确定一条直线”，总结出图象具有“V”字型特点等. A2班学生在应用初级的基本描点作图法过程中就存在比较多的漏洞. 教师需要理解学生学习的困难之处，夯实基础知识.

在教学中，我们必须尊重学生间的差异性，确立不同的学习目标，使用不同的教学方法，提升教学的有效性. 不同班级的教学实践表明，学生在自发使用新方法方面有较大的差异，我们要关注不同学生的学习特点和学习规律，设计恰当的教学内容和教学过程，努力使不同的学生都得到不同的发展.

参考文献：

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