立足课程标准 关注思维过程

李云萍 詹金芳

摘  要：以2021年中考浙江衢州卷第23题的命制过程为例，再现函数过程考查类试题的二次触碰、命制打磨的精雕细琢过程，同时对试题的考查功能和命题回望进行深度剖析和思考．

关键词：命制过程；试题简析；命题思考

2021年中考浙江衢州卷第23题是在2020年中考浙江衢州卷第23题基础上的沿革与创新，作为全卷的“重头戏”，其命制要遵循面向全体、稳中求新、兼顾选拔的原则. 从2020年开始，浙江衢州卷第23题的命题思路定位于对函数本质意义的考查，努力再现知识的学习过程，回归数学本质. 如今回溯当时的命题过程，引发笔者的一些个人思考. 例如，如何在命制函数试题时突出创新元素？如何逐步优化试题条件和结论的表征？课程标准的要求要如何落细、落实于试题中？数形结合思想要如何渗透融合于函数试题中？对诸如上述问题，笔者结合2021年中考浙江衢州卷第23题的命制过程进行了分析和梳理，与同行交流.

一、命制过程

对于2021年中考浙江衢州卷第23题的命制，命题组设定建模的函数为一个新的函数，需要创建一个产生新函数的问题情境，尝试让学生经历观察、猜想、建模、探索等过程. 命题组在尝试三角形、四边形背景失败后，最终考虑以圆（弧）为背景构建函数模型.

初稿：如图1，点D是半圆O上的一个动点，点C是直径AB上一点（不包括端点），DC⊥AB，AB = 6 cm，连接AD，过点C作CE∥AD，交半圆O于点E，连接EB. 记AC = x cm，EC = y1 cm，EB = y2 cm.

牛牛同学参照学习函数的过程与方法，分别对函数y1，y2随自变量x变化的规律进行探究. 通过几何画板软件取点、画图、测量，得出如表1所示的几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象.

（1）当x = 3时，y1的值为___________.

（2）试在图2中画出函数y1的图象，并结合图象判断，写出当y1 = y2时x的近似值（精确到0.1）.

（3）用计算或推理的方式简要说明第（2）小题结论的正确性.

第（1）小题较为基础，根据已知条件∠DCB = 90°，可以找到特殊点x = 3时，y1 = 3；第（2）小题要求学生画出函数y1的图象，其中已经给出函数y2的图象，可以减少学生的操作量和作图误差，并容易根据两个函数图象的交点找出当y1 = y2时x的近似值；第（3）小题要求学生证明第（2）小题结论的正确性，演绎推理可以增加试题的“厚度”. 命题组对这个命题构思一致认可，命题框架基本形成，试题体现了操作探究，引导学生经历观察猜想，感受推理过程，积累活动经验. 三道小题的设置由易到难，由点到面，由合情推理到演绎推理.

仔细斟酌后，命题组发现学生对第（3）小题题意的理解容易出现偏差，分不清题设和结论，造成解题困扰. 另外，证明难度较大，有超标嫌疑. 命题组研究后罗列了以下四种证明思路.

思路1：如图3，连接OD，OE，过点E作EF⊥AB，通过设参OF = m，利用勾股定理及△DAC ∽ △ECF得出CE的长.

思路2：如图4，在思路1的基础上建立平面直角坐标系，求出AD，CE的解析式，然后设出点E的坐标，利用勾股定理解决问题.

思路3：如图5，连接OE，BD，过点O作OF⊥CE于点F，证明两次相似，即△ACD ∽ △DCB和△ACD ∽ △CFO，先求出CE的长再求EB的长.

思路4：如图6，取CB的中点F，作FG⊥CB交半圆O于点G，连接GC，GB，OG，设法证明G，E两点重合（同一法）.

问题解决有四种思路，题源可以发散思维，但这四种证明思路需要添加的辅助线都是在三条及以上，不在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）的考查范围，思路4中涉及的“同一法”同样不在《标准》考查范围内. 因此，接下来的试题改编和优化着重围绕问题设问与结论的表征，以及辅助线超标问题进行.

二稿：题干和第（1）（2）小题设问与初稿一致，第（3）小题设问调整如下.

（3）由（2）知，AC取某值时，EC = EB. 如图7，牛牛连接了OD，OE尝试证明，试完成说理过程.

上述第（3）小题题设修改的目的是让证明的题设和结论更加明确.“由（2）知，AC取某值时，EC = EB”相当于告知学生“AC取某值”是已知，“证明EC = EB”是结论. 为了解决第（3）小题证明过程中作辅助线超标的问题，借助第三方人物牛牛设计——“牛牛连接了OD，OE尝试证明，试完成说理過程”. 在牛牛解题思路的基础上，学生只需要连接一条或两条辅助线即可获证.

在刚完成二稿的修改时，命题组认为此题已经很完美了，但是再度审题后，发现了如下问题.

第一，第（2）小题中函数y1的图象曲度过大，可能会导致学生在画出y1图象后对两函数图象交点x的近似取值误差较大.

第二，试题中主人公牛牛的探究任务不明确，第（2）（3）小题是牛牛要做的探究任务，突然转嫁给学生去完成，逻辑不自然.

第三，第（2）小题中x的近似值为2，试题答案不够“厚重”，考查知识不够全面.

基于这些细节问题，命题组继续打磨，得到三稿.

三稿：如图8，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），AB = 6 cm，过点C作CD⊥AB交半圆O于点D，连接AD，过点C作CE∥AD交半圆O于点E，连接EB. 牛牛想探究在点C运动过程中是否存在EC = EB的情况. 他根据学习函数的经验，记AC = x cm，EC = y1 cm，EB = y2 cm，请你一起参与探究函数y1，y2随自变量x变化的规律.

通过几何画板软件取点、画图、测量，得出如表2所示的几组对应值，并在图9中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象.

（1）当x = 3时，y1的值为___________.

（2）试在图9中画出函数y2的图象，并结合图象判断函数值y1与y2的大小关系.

（3）由（2）知“AC取某值时，EC = EB”. 如图10，牛牛连接了OD，OE，尝试证明这一结论，试完成说理过程.

为了方便学生作图，将第（2）小题调整为画函数y2的图象，依据图象比较函数值y1和y2的大小，不仅考查了图象交点的意义，还考查了函数的增减性和大小比较. 同时，在题干中明确了牛牛的探究任务，也邀请学生一起参与探究. 这样，在第（3）小题中让学生完成牛牛未完成的探究任务也就合情合理了.

至此，命题组对前面两道小题的改编达成一致意见，但是对于第（3）小题，命题组认为还需要多一些思考，尽量分析、猜想学生在解决问题时可能遇到的问题.

疑惑1：学生是否能确定要证明的是“当AC取某值时，EC = EB”这个结论？“某值”要通过第（2）小题获得，在第（3）小题的条件中不能明示，如果学生在第（2）小题中测量得出的某值是1.9 cm或2.1 cm，又该如何证明EC = EB这个结论？

疑惑2：牛牛的证明方法是连接OD，OE，这样有可能限制了学生的思维，如果学生的思路不在命题者的预测范围内该怎么办？

疑惑3：学生若是将条件和结论互换，将充分条件和必要条件混淆，把EC = EB当作已知条件，推出AC = 2这个结论，该如何评分？

经过讨论，最终得到如下终稿.

终稿：如图11，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），AB = 6 cm，过点C作CD⊥AB交半圆O于点D，连接AD，过点C作CE∥AD交半圆于点E，连接EB. 牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系. 他根据学习函数的经验，记AC = x cm，EC = y1 cm，EB = y2 cm. 请你一起参与探究函数y1，y2随自变量x变化的规律.

通过几何画板软件取点、画图、测量，得出如表3所示的几组对应值，并在图12中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象.

（1）当x = 3时，y1的值为___________.

（2）在图12中画出函数y2的图象，并结合图象判断函数值y1与y2的大小关系.

（3）由（2）知“AC取某值时，EC = EB”. 如图13，牛牛连接了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，试完成计算过程.

将三稿题干中的“牛牛想探究在点C的运动过程中是否存在EC = EB的情况”改为“牛牛想探究在点C的运动过程中EC与EB的大小关系”，既可以呼应第（2）小题的设问，又可以避免学生误把“EC = EB”作为已知条件；将三稿中第（3）小题的设问“证明结论EC = EB”改成“计算EC，EB的长来验证这一结论”，使得学生的解题目标更加明确. 如此设计，避免了学生可能把EC = EB作为已知条件而反向推理AC = 2的情况，且试题的考查功能和本质并没有改变. 为了把作辅助线的条数控制在两条及以内，在题设中牛牛只连接了一条必连的辅助线OE. 而是否连接OD，学生可以自行选择，如此设计为学生提供了更多思考的空间.

二、试题简析

2021年中考浙江衢州卷第23题中涉及的主要知识点包括函数图象与图形的转化与表达，图象交点和特殊点的意义理解，借助图象比较函数值的大小，圆中垂径定理、圆心角定理、圆周角定理及推论，三角形相似、特殊三角形性质等. 三道小题逐级设问，第（1）小题为操作实践、初步感知，重在引导探究；第（2）小题探索发现、获取结论，重在合情推理；第（3）小题为演算证明、论证猜想，重在演绎推理. 试题解法多样、思路多元，覆盖知识较多，蕴含化归、方程、数形结合、分类讨论等思想方法.

三、命题反思

1. 优化设计，雕琢试题的条件和结论

对于命题，简单来说就是选取一定素材，创设一定情境，合理编制试题的条件和结论，以达到知识考查和能力考查的各项要求. 但试题又不能局限于对知识本身的考查，而是要通过创设一定的问题情境，强调以实践操作、探索发现、猜想证明为活动主线. 以2021年中考浙江衢州卷第23题的命制过程为例，命题组对试题的优化设计经历十多次的斟酌和打磨，大到三道小题的设问所覆盖的知识要点和体现的能力立意，小到文字表述的适合、适切及标点断句，近乎达到精雕细琢的程度. 与此同时，还要保障试题的考查功能最大化，即使试题的立意价值得到最大程度的体现.

2. 立足课程标准，引领教学的方向和目标

义务教育数学课程标准是初中数学教学的根本和方向，也是中考命题的重要依据. 2021年中考浙江衢州卷第23题的命制严格遵循《标准》要求，将考查要求控制在《标准》所给的范围内. 这就启发教师在平时的课堂教学中要立足課程标准，重视教材，认真研读，把握方向，了解数学课程性质、基本理念和内容目标，把握知识考查范围和考查难度，落实基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验，这才是一线教学的方向和目标.

3. 创新考查，强化育人的理念和宗旨

近年来，各地中考数学逐渐从对应试能力的考查过渡到对高阶思维认知能力的考查，试题的编制在创新性方面表现得尤为突出. 2021年中考浙江衢州卷第23题的命制重视对函数本质的考查，阅读量较大，重在引导学生在参与模型建构和数学抽象的过程中经历问题解决的一般过程，并获取问题解决的一般方法. 试题形式新颖、立意突出、关注过程，重视对学生的自主探究能力、主动学习意识和知识迁移能力的考查，关注对学生几何直观、数学运算和逻辑推理等素养的培养. 中考试题在不同程度和方面的创新考查，有效发挥了其评价导向功能，也为我们的教育教学明确了方向：坚持立德树人、素养立意的育人宗旨是我们永恒的追求.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］李云萍，刘芳. 以“形”探“数” 以“数”助“形”：2020年衢州中考第23题的命制与思考［J］. 中学数学教学参考（中旬），2021（6）：49-51.