电容器耦合约瑟夫森结连接的Chua电路的同步控制

蒋玲凤, 安新磊, 任雁澜

(兰州交通大学数理学院, 兰州 730070)

在复杂的非线性系统中通过设置适当的参数通常可以观察到混沌现象,在过去的几十年里,混沌行为的相关问题一直受到广泛的研究。例如,许多混沌系统被设计以产生特定的吸引子[1-3],利用混沌电路设计信号振荡器[4]、实现安全通信和图像加密[5-8]。此外,还提出了很多混沌控制和实现同步的方法[9-11]。结果表明,自适应控制法要比其他控制方法更具优势,因为合适的控制器可以消耗更低的能量和更短的瞬态周期来达到目标轨道。

混沌电路之间的同步实现可以提高信号的输出功率和强度。基于电阻的电压耦合是常见的耦合方式,但在实现同步的过程中耦合电阻会消耗焦耳热。近几年,Ma等[12]、Xu等[13]基于生物学和物理学观点提出了场耦合的概念,通过非线性器件耦合混沌电路和神经元电路,发现在不同非线性器件耦合作用下,耦合系统可以表现出丰富的动力学特征[14-18]。例如,Liu等[16]通过电容器桥接Chua电路,结果发现这种场耦合可以在不消耗焦耳热的情况下调节无量纲混沌电路之间的同步稳定性。Yao等[17]使用可调电感线圈连接两个Chua电路,研究发现,电感耦合有利于实现两个混沌系统的同步。张秀芳等[18]利用光电管耦合FHN (fitz hugh-nagumo)神经元并分析其动力学特性,结果表明在耦合强度较小时, 耦合系统由于受迫共振表现为完全同步,耦合强度较大时, 耦合系统倾向于相位同步。

可调电容在调节动态特性和输出方面起着重要的作用,其机理是耦合电容器的连续充放电改变了电容器中的电场,能量流交换得到增强,这样就可以有效地改变耦合电路的输出,使两个混沌电路实现同步。通过电感线圈连接神经元可以激发磁场耦合,有效地描述化学突触耦合[19]。事实上,电容器和电感线圈这些耦合电子元件都可以有效地桥接非线性电路来实现可能的同步,所以场耦合可以增强非线性电路之间的能量传播,因此电场和磁场耦合均可以为神经元之间的信息传递提供一种可能的有效方式[20]。

约瑟夫森结是利用超导材料制作的一种具有高度非线性性的新型器件,它不仅具有高工作频率、低噪声和低功耗等优点,而且约瑟夫森结及其相关电路中存在着复杂的混沌动力学行为[21],因此约瑟夫森结是构建混沌电路的理想元件。Shukrinov等[22]发现,辐射会在单结中产生混沌效应,但结间耦合的效应是不同的,它可以通过与单结不同的路径产生混沌现象。Zhang等[23]利用约瑟夫森结与电阻并联形成混合突触来耦合FHN神经元电路,可以通过在结之间产生加性相位误差来估计外部磁场的影响,结果表明通过调控参数可以稳定两个FHN神经回路之间的同步。

现以Chua电路为研究对象,并引入约瑟夫森结,通过数值模拟给出分岔图、相图,分析该电路的放电行为。运用电容器耦合该系统,引入外界磁场,基于同步误差原理讨论不同参数、不同外界磁场下两个系统的完全同步行为。

1 模型描述

Chua电路经常被用于研究混沌同步和控制,是一种常见的混沌电路。该电路由两个电容器(C1,C2)、两个电阻器(R1,R2)、一个电感线圈L和一个非线性电阻RN组成,是一个三阶自治系统,其电路的状态变化主要依赖于电容、电感和电阻值,且对其变化的影响及其敏感。在Chua电路的基础上引入约瑟夫森结,得到电路如图1(a)所示,图1(b)为非线性电阻RN的电流电压曲线图。

图1 Chua电路并联约瑟夫森结的电路图和非线性电阻的电流电压曲线图Fig.1 The circuit diagram of the parallel Josephson junction of the Chua’s circuit and the current and voltage curve of the nonlinear resistor

图1(a)中,通过约瑟夫森结的电流为

IJ=ICsinφ

(1)

式(1)中:IC为约瑟夫森结的临界电流;φ为超导电子波函数相位差。

根据基尔霍夫定律及伏安关系可得图1(a)的电路方程为

(2)

式(2)中:ћ为普朗克常数除以2π;VC1为约瑟夫森结两端的电压;e为单元电荷电量。

图1(b)的分段函数可以描述为

iNR=GbVC1+0.5(Ga-Gb)(|VC1+E|-|VC1-E|)

(3)

为了方便数值计算和进行动力学分析,通过标准尺度变换将电路方程映射到无量纲动力系统,其标准尺度变换公式为

(4)

得到无量纲方程为

(5)

f(x)=m1x+0.5(m0-m1)(|x+1|-|x-1|)

(6)

事实上,外界恒定磁场对约瑟夫森结的通道电流和相位误差的影响表达式为

(7)

式(7)中:A表示磁矢势;1、2表示约瑟夫森结的左右两侧,外磁场作用下的电路如图2所示。

图2 外界磁场下Chua电路并联约瑟夫森结的电路图Fig.2 Circuit diagram of Chua’s circuit in parallel with Josephson junction under external magnetic field

当约瑟夫森结连接的神经电路暴露在外磁场中,库柏对的传播将受到磁场的影响,从而使结电流受到周期性扰动[24]。考虑到磁场对约瑟夫森结的随机干扰,其电路的动力学方程描述为

(8)

式(8)中:G表示外部磁场产生的加性相位误差,可以通过强度和方向的变化对其调整。

混沌同步的概念是在20世纪80年代末被首次提出的,是实现混沌保密通信的关键技术,此外,同步是大脑记忆和存储信息等活动的重要因素,对神经元处理以及传递生物信息有着重要意义。因此研究系统的同步问题是有必要的,用电容器C耦合系统(8),其电路如图3所示。

图3 电容器耦合系统(8)的电路图Fig.3 Circuit diagram of capacitor coupling system (8)

来自电容器的反馈电流为

(9)

(10)

(11)

(12)

当误差函数θ随时间减小到零,则说明耦合系统达到了完全同步。由式(11)可知,可以控制参数k来调节轨道距离,从而使耦合系统的完全同步稳定。在实践中,可以应用饱和增益法,即稍微增加耦合强度来寻找其临界阈值以支持完全同步的获得。

2 数值结果

在数值模拟中,采用四阶龙格库塔算法,积分步长h=0.01,计算的时间为t=1 000。选取两系统的初值分别为(0.2,0.1,0.1,0.1)和(0.02,0.01,0.01,0.01),选取参数为m0=-1.296,m1=-0.738,β=19,d=2,f=0.07。考虑到系统(8)在不同的参数下会呈现不同的放电模式,因而可能会导致电路的动力学行为发生变化,首先绘制了系统(8)随参数α变化的分岔图,如图4所示。

图4 系统(8)在G=0时关于参数α∈[4,10]的分岔图Fig.4 Bifurcation diagram of system (8) with respect to parameterα∈[4,10] when G=0

由图4可知,随着参数α的增加,系统(8)从周期放电通向混沌放电,当α∈[4,8.4]时,系统为周期态,当α∈[8.4,10]时,系统为混沌态。为了更清晰的观察系统随参数α的变化而呈现的不同放电状态,分别取α=6和α=10,得到系统的时间序列图及相图如图5所示。

图5 系统(8)的时间序列图及相图Fig.5 Time series diagrams and phase diagrams of system (8)

图5的结果表明吸引子的形成取决于参数的设置。当α=6时,系统处于周期1簇放电,当α=10时,系统处于混沌放电,此时系统表现出双涡卷振荡。该结果与图4结果一致,进一步验证了图4的正确性。对于耦合系统(11),主要探究耦合系统完全同步的实现与系统放电状态的关系,分别对电容器耦合两个周期系统、两个混沌系统以及一个周期一个混沌系统进行讨论。

首先考虑两个参数相同的周期系统(α=6),为了探究耦合强度k和外界磁场G对系统的影响,绘制了在外界磁场G=0和G=0.7时耦合系统关于耦合强度k的最大误差分岔图,如图6所示。

图6 外界磁场下系统(11)的最大误差分岔图Fig.6 Maximum error bifurcation diagrams of system (11) under external magnetic field

图6结果表明,外界磁场能够改变耦合系统的放电模式。从图6(a)可以看出,当耦合强度增加到0.045时系统的最大误差趋于零,系统出现了不同步到完全同步的现象;从图6(b)可以看出,当耦合强度增加到0.03时系统的最大误差也趋于零,系统也出现了不同步到同步的现象,进一步增加耦合强度到0.31时,系统出现了去同步现象。因此,无论是否有外界磁场的作用,都能使系统达到完全同步。耦合系统在外界磁场G=0.7时的误差演化图如图7所示。

图7 电容耦合下两个周期系统的误差演化图Fig.7 Error evolution diagrams of two periodic systems with capacitor coupling

从图7(a)和图7(b)可以看出,随着k的增加,同步误差减小,系统靠近完全同步;当k=0.2时,由图7(c)可以看出系统的同步误差随时间逐步减小,最终稳定于零,因此在k=0.2时耦合系统能够实现完全同步;而当k=0.4时,同步误差随时间逐步增加,系统未能达到完全同步。图7的结果与图6(b)对应,随着耦合强度的增加,系统经历从不同步到完全同步再到去同步的过程。因此,在合适的耦合强度下,电容器耦合两个全同周期系统可以实现完全同步。

下面考虑电容器耦合两个参数相同的混沌系统(α=9),同样,首先绘制了外界磁场G=0和G=0.1时耦合系统关于耦合强度k的最大误差分岔图,如图8所示。

图8 外界磁场下系统(11)的最大误差分岔图。Fig.8 Maximum error bifurcation diagrams of system (11) under external magnetic field

图8表明,外界磁场可以调控系统达到完全同步时耦合强度的范围,在该系统中,外界磁场使得系统能够达到完全同步的耦合强度范围减小。当外界磁场G=0时,耦合强度增加到0.03时系统的最大误差减小到趋于零,系统出现不同步到完全同步的现象;当外界磁场G=0.1时,耦合强度增加到0.09时系统的最大误差减小到趋于零,系统也出现了不同步到完全同步的现象。因此,无论是否有外界磁场的作用,都能使两个不同步的混沌系统达到完全同步。图9绘制了外界磁场G=0.1时系统的误差演化图。

图9 电容耦合下两个混沌系统的误差演化图Fig.9 Error evolution diagrams of two chaotic systems with capacitor coupling

从图9可以看出,随着耦合强度的增加,同步误差趋于减小,最终稳定于零,耦合系统实现完全同步。当k=0和k=0.04时,存在误差,系统未达到同步;当k=0.1和k=0.4时,由放大图可以看出同步误差最终稳定于零,因此在k=0.2和k=0.4时耦合系统达到了完全同步,且k=0.4时效果更好。该结果与图8(b)完全对应,因此,在合适的耦合强度下,电容器耦合两个全同混沌系统也可以实现完全同步。

下面考虑电容器耦合一个周期系统(α=6)和一个混沌系统(α=9),即两个参数不同的系统。首先给出了外界磁场G=0时耦合系统关于耦合强度k的最大误差分岔图,如图10(a)所示。

图10 电容器耦合周期和混沌系统的最大误差分岔图Fig.10 Maximum error bifurcation diagrams of a capacitor coupling a period and a chaotic system

图10(a)结果表明,无论耦合强度如何改变系统都存在误差,因此在没有外界磁场的作用下系统无法实现完全同步。为了找到可能使耦合系统达到完全同步的外界磁场值,固定k=0.3,绘制了关于外界磁场G的最大误差分岔图,如图10(b)所示。从图10(b)的放大图可以看出,当G∈[0.55,0.65]时,系统的最大误差小于10-3,因此系统在G∈[0.55,0.65]时可能达到完全同步,进一步增加磁场强度,系统的误差也逐渐增加,因此系统在G∈[0.65,1]时无法实现完全同步。为了验证G∈[0.55,0.65]时系统可以达到完全同步,取G=0.6,绘制了系统的误差演化图,如图11所示。

图11 电容耦合下周期和混沌系统的误差演化图Fig.11 Error evolution diagrams of a periodic and a chaotic system under capacitor coupling

从图11可以看出,当k=0.1和k=0.2时系统未达到完全同步;当k=0.3和k=0.4时,同步误差随时间逐步减小,由放大图知同步误差最终并未减小到零,但误差非常小,因此在k=0.3和k=0.4时耦合系统几乎达到了完全同步,将它称为几乎完全同步。因此,在合适的外界磁场以及一定的耦合强度下,电容器耦合周期和混沌系统可以达到几乎完全同步。

综上所述,在没有外界磁场时,调控耦合强度可以使电容器耦合两个全同周期系统和两个全同混沌系统实现完全同步,但无法使两个参数不同的系统达到完全同步。当存在外界磁场时,不仅可以使两个全同周期系统和两个全同混沌系统达到完全同步,并且在外界磁场G=0.6时,还可以使电容器耦合周期和混沌系统达到几乎完全同步。

3 结论

首先通过对约瑟夫森结连接的Chua电路方程无量纲化得到一般的动力学方程,并结合数值模拟分析了该系统的放电行为。其次,用电容器耦合该系统,分类讨论了耦合系统在不同放电模式下达到完全同步所需要的条件,结果表明,在合适的外界磁场和一定的耦合强度下,耦合系统能够实现完全同步或者几乎完全同步。对比Chua电路,该系统可以产生更复杂的混沌行为,而混沌时间序列可以生成安全密钥来进行安全通信,因此可以将此系统用于通信保密。