2021年亚赛理论第一题“水锤效应”的解答

陈仓佚 吴 波 宋 峰

(1.成都天府第七中学 610218；2.南开大学物理科学学院 300071)

2021 年亚洲物理奥林匹克竞赛理论第一题以水锤效应(或水击现象)为背景求解不同情境下压力管道中液体压强和流速的变化，本文在参考答案的基础上对该题进行详细分析与解答。

第一部分：压强变化和压强波传播

问题1.1

如图1所示，压强为P0的流体，在阀门出口突然受阻时，压强突变为P1=P0+ΔPs，并产生向上游(向左)传播的压强波，其传播速度为c，振幅为ΔPs。靠近阀门的流体单元速度从v0变为v1(v1≤0)，即速度的变化为Δv=v1-v0。取向右为x正方向。

在以速度c向左移动(沿x负方向)的参考系中，压强波中流体的速度为c+v1。而压强波前方迎面流入的流体速度为c+v0。压强波中流体的密度为ρ1。根据质量守恒，由流体连续性方程可得

令密度变化Δρ≡ρ1-ρ0，则有

图1 速度为c的压强波(阴影部分)

在阀门关闭后极短的时间间隔τ内，对于在时间τ内流过的单位面积内流体质量微元Δm=ρ0(c+v0)τ，施加给它的冲量必须等于其动量变化。因此运用动量定理有

题目中给出压强变化ΔPs与速度的改变量Δv的关系可表示为ΔPs=αρ0cΔv，因此可以得到系数

式(4)和(5)中的负号是因为压强波的传播方向与x轴正方向相反。此外还需注意，对于压缩波(ΔPs＞0)，传递给流体单元的速度与波的传播方向一致，而对于膨胀波(ΔPs＜0)则与波传播方向相反。

联立式(2)和(4)可得

根据题目中体积模量B的定义ΔP=，其中V0为流体微元在压强下P0的体积，假设B为常数，可得

联立式(6)和(7)可得

因此压强波速度表示为

第一部分评述

第一部分为整个题目的基础物理模型，要求定量分析均匀圆柱形管道中的水流在阀门突然全部关闭时流体压强变化和压强波的传播速度。流速改变量已知时，对流体微元进行分析，运用动量定理可导出压强变化量与波速、流速变化量的关系。根据连续性方程可求得流体密度变化量与波速、流速变化量的关系。最后根据压强变化与体积变化的关系可以得出压强波波速与流体体积模量、密度和稳定流速之间的关系，从而求出题目中三个系数的表达式。代入水流的相关数据计算得阀门突然关闭时产生的水击压强可以达到大气压强的几十倍。

第二部分：流量控制阀模型

问题2.1

假设流体不可压缩，忽略重力影响，由理想流体的伯努利方程可得

其中Pin、Pa表示管道内流体压强和大气压强，vin、vc表示管道内流体流速和阀门出口处流体流速。由流体体积不可压缩有，根据收缩系数的定义代入可得

式(17)表明压强改变量ΔPin是关于vin的二次函数。

第二部分评述

图2 阀门尺寸和喷射口的收缩示意图

本部分是对水击压强传递基础模型的进一步研究，根据理想流体伯努利方程和连续性方程计算阀门喷射口外径收缩至最小值时流体压强的变化量[1]。该变化量与流体截面收缩系数、管道内流速有关；收缩系数则由阀门几何尺寸(倾角和内外径比值)决定。本部分结论将直接用于研究压力管道内的水击压强传播时在阀门附近的变化规律。

第三部分：流量控制阀快速关闭引起的水锤效应

问题3.1

储液器底端靠近管道的液体压强Ph=Pa+ρ0gh，根据流体伯努利方程可得：

上式中，h为储液器液面相对于管道的高度。阀门外流体速度vc可根据自由落体运动表示为。再根据不可压缩流体体积不变的特点可得出

完全打开阀门时Cc(r=R)=1.0，代入得流体流速为v0=vc=

因此有流体压强

问题3.2

当阀门打开时，管道中的流体以速度v0和压强P0稳定流动。阀门突然关闭时，阀门附近的流体单元停止运动(v1=0)，压强的变化量为ΔPs，速度的变化量则为Δv=v1-v0=-v0。由式(5)可得流体的压强变化量

储液器与管道连接位置的恒定液体静压强为Ph=P0+ρ0gh。当向左传播的压缩波(ΔPs＞0)到达储液器端时，流体压强下降，压缩波将反射为膨胀波向右传播。与静压强Ph相比，向左的压缩波振幅为ΔP1r=P1-Ph，因此向右反射的膨胀波(ΔPs＜0)振幅为ΔP'1=-ΔP1r，

于是有

此处压强波振幅可正可负，其中负振幅表示膨胀波。根据式(5)可知管道储液器端流体的速度变化为(压强波的传播方向为x轴正方向)：

因此管道储液器端的流体速度变为

在管道内反射膨胀波未传播到的位置，流体速度和压强未发生改变，速度仍然为v1=0，流体压强仍为P1=P0+ΔPs，但反射膨胀波到达处的流体微元速度变为

也就是说管道中的流体正在向储液器方向倒流。

第三部分评述

本部分内容与压力管道中水锤效应导致的液体压强和流速变化直接相关，分别讨论了阀门完全打开和阀门立即完全关闭两种情况下管道流体的压强和速度。实际问题中，水锤效应发生最常见的原因就是流体管道阀门突然关闭。利用第一部分的结论可求解出压强波到达储液器端时管道内的流体压强和速度。压强波在向上游储液器端传播时压强增大，又与管道中原定的流体流动方向相反，称为增压逆波。储液器与管道连接位置的恒定液体静压强较低，因此压强波在储液器端发生反射后从压缩波变为膨胀波。根据反射膨胀波的特点可解出管道在储液器端的流体压强和速度变化，再根据入射波与反射波的叠加(包括压强和流体速度)可得反射波到达阀门时管道中的流体压强和速度。本部分题目内容难度不高，需要提前掌握流体受扰动形成的压强压缩波和膨胀波的基本特点。

第四部分：流量控制阀缓慢关闭引起的水锤效应

问题4.1

本题目中，取储液器底端流体静压强Ph与P0近似相等(Ph=P0+ρ0gh≈P0)，相当于把所有结果中h的值取为0。

(1)关闭步骤n=1

在阀门处，启动关闭步骤n=1 后，流体压强立刻从P0突变为P1，使流速从v0变为v1。压强和速度的变化关系由式(5)ΔPs=-ρ0cΔv给出：

在压强波刚好被储液器反射之前，整个管道中的流体压强为P1，速度为v1。从被储液器反射后(即成为压强波的自由端)到关闭步骤n=2 前，将式(28)中h取为0，则整个管道中的流体压强为

(2)关闭步骤n=2

启动关闭步骤n=2 后，阀门压强立刻从P0突变为P2，流速从＇变为v2。压强和速度的变化关系由式(5)和(33)可得：

代入式(31)可将上式改写为

在压强波刚好被储液器反射之前，整个管道中的流体压强为P2，速度为v2。从被储液器反射后到关闭步骤n=3前，整个管道中的流体压强为

(3)关闭步骤n=3

启动关闭步骤n=3 后，阀门压强立刻从P0突变为P3，使流速从＇变为v3。压强和速度的变化关系由式(5)和(37)可得：

利用式(34)，可以将上式改写为

在压强波刚好被储液器反射之前，整个管道中的流体压强为P3，速度为v3。从被储液器反射后到关闭步骤n=4前，整个管道中的流体压强为

(4)关闭步骤n=4

关闭步骤n=4启动时，阀门被完全关闭，此时阀门变成一个固定端，因此流体速度从v3＇ 变为v4=0。压强和速度的变化关系由式(5)和(41)可得：

代入式(38)可将上式改写为

根据以上四个关闭步骤的结果可得所有阀门关闭步骤中压强增量和速度变化量的关系式都有着相同的形式：

上式中ΔP0和v4的大小分别为ΔP0=0和v4=0。

根据第二部分中式(16)和(18)，可以得到ΔPn和vn的另一个关系式：

用Cn表示r=rn时的收缩系数Cc，则式(18)中的系数kn表示为

将式(45)代入式(44)，可以得到关于vn的二次方程：

利用一元二次方程求根公式求解方程(47)得：

由式(45)可知ΔPn-1是关于vn-1的二次函数。当vn-1已知时，可求出ΔPn-1。ΔPn-1和vn-1都已知的情况下，则可通过式(48)计算vn，最后ΔPn通过式(45)得出。因此，式(44)可以从n=1 迭代到n=3 进行求解。对于关闭步骤n=4 的情况，将vn=0 代入式(44)可直接得出ΔPn。

问题4.2

本题将根据问题4.1 的结果，选取流速为v0=4.0 m/s的水作为管道中的流体，通过绘制ΔP-ρ0cv图像求解问题。为便于用图像法求解式(44)和(45)，我们将这两式改写为：

在ΔP-ρ0cv曲线中，式(49)和(50)分别表示为一条过点(ρ0cvn-1，-ΔPn-1)且斜率为-1 的直线和一条过原点的抛物线。根据图像我们可以通过确定两条曲线的交点来获得阀门每一个关闭步骤过程中对应的压强变化和流速。所得结果如下图3和表1所示。

第四部分评述

表1 阀门缓慢关闭过程中阀门处流体压强增量和流速( ρ0c=1.50×106 kg·m-2·s-1 v0=4.0m s)

本部分描述的物理情境与实际生产生活中压力管道内由水击引发的压强波传播过程比较接近。将压力管道阀门的关闭分为4 个过程，每个过程的持续时间与压强波在管道中往返一次所需的时间相等。问题4.1 的解答过程看似繁琐，实际上在将管道靠近储液器一端的静压强近似为大气压强后，利用第三部分中压强波到达储液器端和反射回阀门端时流体压强和速度的公式，即可导出阀门不同关闭过程中压强增量和速度变化量的关系式；再利用第二部分中的管道内流体压强增量与流速的关系式，可以得出连续两次关闭过程中管道内流体流速、压强增量的关系；代入初始流体压强和流速即可迭代求解出任意阀门关闭过程中的流速和压强增量。从结果可得，缓慢关闭阀门时水击压强增量比瞬间关闭阀门造成的水击压强增量小得多。问题4.2则可看作借助函数图像进行求解方程的一个范例。

水击压强波的传播速度很大，因此水击循环一次所需的时间很短，所以管道受到迅速变化的一胀一缩的交变力的作用。但由于实际流体具有黏性，摩擦及管道变形均需要消耗能量，所以水击波不可能无休止地传播下去，而是逐渐衰减直至消失。实际上与水击相关的理论研究较多，过程中涉及流体动力学理论模型建立以及计算方法，需要具备较好的数理能力[2]。

水锤效应的危害与防治

实际中压力管道内的水击远比本题目中考虑的情况复杂。阀门的突然关闭或开启，水泵的突然启动或停止，水轮机或液压油缸突然变化负载等都有可能引起管道中液体的运动状态突然改变，从而导致压强的突变，并在管长范围内传播，形成水锤效应。当阀门迅速关闭时，管内流速急剧下降，压强迅速上升，称为正水击，可能使管道爆裂。而当阀门迅速开启时，管内流速急剧上升，压强迅速下降，称为负水击，可使管道产生真空和汽蚀，导致管道变形[3,4]。

由于对管路系统十分有害，因此工业应用中必须设法削弱它的作用，具体可采用以下几方面的措施：

(1)延长阀门的关阀或开启时间，或缩短管长，尽量将直接水击变为间接水击。

(2) 限制管路流速，一般液压系统中最大流速限制在5～7 m/s左右。

(3)阀门前设置空气室或溢流阀，水击发生时，空气室里的空气受到压缩，或在水击发生时，将部分液体从管中放出，从而使水击压强降低。

(4)增加管道弹性，例如液压系统中，铜管铝管就比钢管有更好的防水击性能；或采用弹性较大的软管，如橡胶或尼龙管吸收冲击能量，则可更明显地减轻水击。