巧用向量法解三类解析几何题

张隆传

平面向量具有代数与几何双重特征.有些解析几何问题采用常规方法去解，往往会因为计算过于繁琐，导致无功而返，此时不妨改变思路，从向量角度去思考，则会大大减少计算量.那么如何巧妙运用向量法解答解析几何问题呢？下面一起来探讨.

一、夾角范围问题

由夹角，我们可联想到向量的夹角与向量的夹角公式：若 a= （x1 ，y1） 、b = （x2 ，y2） 是两个不共线的非零向量，则 cos a，b= a?b|a|?|b | = x1x2 + y1y2 x2 1 + y 2 1 x2 2 + y 2 2 .对于解析几何中的夹角问题，我们可用向量将问题中所涉及的点、线段表示出来，求得夹角两边的直线或线段的方向向量，便可根据向量的夹角公式进行求解.

在根据向量的夹角公式求夹角时，需重点关注角的取值范围.由向量的夹角公式可知：（1）若 a?b > 0 ，则 θ 为锐角；（2）若 a?b = 0 ，则 θ 为直角；（3）若 a?b < 0 ，则 θ 为钝角.

二、共线问题

在解答解析几何问题时，我们经常会遇到三点共线问题，此时可用向量表示出各个点、直线，根据向量的共线定理：向量 b 与 a （ a ≠0）共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得 b＝λ a ，将三点中的任意两点用向量表示出来，使其二者成倍数关系，便可证明三点共线

本题如果用斜率公式来证明未尝不可，但运算量较大，而运用向量的共线定理来证明三点共线，则相当简单，这足以显示出向量法的优越性.

三、轨迹问题

轨迹问题的命题形式较多，但解题的关键在于求动点的轨迹方程.我们可设出动点的坐标，将题目中所涉及的线段、直线用向量表示出来，通过向量运算，便可快速求得轨迹方程.

我们通过向量的坐标运算，直接而又快捷地求得轨迹问题.

其实平面向量的坐标与解析几何中的坐标是一致的，这便为运用向量法解题创造了便利.运用向量法解题，能有效地简化解答解析几何问题过程中的运算过程.