［历史上的丝路科技］古代世界的算盘

陈巍，理学博士，现为中国科学院自然科学史研究所副研究员。主要研究科技知识在古代世界的传播并把世界连为一体的历程。喜爱“上穷碧落下黄泉”，品鉴各个文明在应对相似问题时展现出的智慧。

“祖宗留下一座桥，这边多来那边少，少的倒比多的多，多的倒比少的少。”这个谜语形象地描述了我国一种古老的计算工具——算盘的使用过程。古人计算实践对显示运算状态和存储临时结果产生一定需求，这就导致许多文化里都出现了不同形制的算盘。不过中国算盘因其超强的可操作性独树一帜，通过手指拨动算珠进行加、减、乘、除和开方等运算，在前计算机时代保持强大生命力，从而被誉为“最古老的计算机”和“中国第五大发明”。

改革算筹的探索

宋元以前中国古代数学成就的演算步骤大多是与早期计算用具——算筹的特点紧密结合的。比起书写使用的早期数码，算筹在形式上拥有简洁、直观等显著优点，可是曾发挥如此大作用的算具，怎么现在没有人使用了呢？这是因为它同时存在许多弊端，比如必须动用许多根小棒、布筹要占用很大面积、难以同时快速运筹和摆放工整等。因此从很早时候起，人们就谋划探索新的算具，改革算筹计算。

汉朝人对算具改革提出了许多种奇思妙想，它们集中展现在东汉末年数学家徐岳编撰的《数术记遗》中。从这本书我们得知当时存在的14种运算方式，其中许多可能只是编纂者独出心裁的试验性新算法。这些算法里，除第14 种“计数”为心算，无须算具外，其余13 种均有计算工具。它们分别是“积算”（即筹算）、“太乙算”“两仪算”“三才算”“五行算”“八卦算”“九宫算”“运筹算”“了知算”“成数算”“把头算”“龟算”和“珠算”。这也是珠算第一次出现在历史记载中。

《数术记遗》对珠算的阐述是：“控带四时，经纬三才”，这话讲得过于简括，令人不明所以。好在年代相距不太远的北朝数学家甄鸾给这本书作注，让我们能够具体了解这种算具。甄鸾描述了这种用珠子做数码的算具形状，它与现代算盘还不太一样，是把木板刻成上下3 栏。上面和下面两栏用来摆放单个珠子，中间一栏划分成许多数位，用来停放算珠，每个数位可放5 个珠子，最上方1 个珠子颜色与下面4 个不一样，这个珠子相当于数字5，下面4 颗珠子每颗相当于数字1。原书里说“控带四时”就是说加减摆放这4 颗珠子，“经纬三才”说的则是珠子在上、中、下3 栏之间游动。

根据甄鸾的描述，很显然珠算吸收了筹算的许多要素，如每个数位5 以上的数字用有区别的符号表示，采用位值制等，可以说这种珠算是筹算与后世算盘之间的过渡形式。是从改变算筹形态并对其占用空间进行限制所作的发展。不过，从甄鸾的注释还很难看出珠子是否像算盘那样由细棍穿档，也不知道当时操作珠算是否已经具有一定口诀，它在实际操作中很可能还不及筹算便捷。

真正算盘的诞生

若把《数术记遗》的珠算加以改进，将其三栏改成两栏，把珠子中间穿柱，就变成沿用至今的珠算盘。看似轻松的改变却耗费了数百年才在社会上变得显著，很难说在此期间算盘的形态演变究竟经历了什么样的过程。不过与之相关的另一方面，即运算口诀的简化却有迹可循。这与唐朝中叶以后商业繁荣，数字计算增多，改革计算方法的呼声渐渐高涨有关。

《新唐书》等文献记载了当时一些算书书目，透露出算法改革以简化乘、除算法为主。通过简化三行布算为一行布算，化乘除为加减。到宋元时期又创造了九归歌诀和归除、撞归歌诀。南宋杨辉、元朱世杰等数学家的著作中都包含大量口诀，且与现今珠算口诀已基本一致。这些程序化口诀大大加快了人脑的计算速度，但筹算布算很慢，手速跟不上脑速，操作中又需要占据人的视觉、空间感等认知功能。这驱使人们寻找运用神经功能更为集中、便于手脑分工，从而加快速度的计算方法。

北宋可能已出现穿珠算盘。北宋张择端画的《清明上河图》中有一家药铺，柜台上有两个长方盘子，珠算史学者认为是算盘，但也有学者认为是钱板。河北巨鹿北宋故城遗址出土过一颗木珠，直径2.1 厘米，形制、尺寸都和算盘珠接近。年代稍晚的图像和文字证据则可以让这种争论烟消云散。南宋刘胜年所绘《茗园赌市图》中有清晰的算盘，这说明有梁穿档算盘在宋代已经出现。此后元朝的绘画和文学描述中都不鲜见算盘的身影，可见其已广泛使用。

进入明朝以后，珠算的普及与商品经济发展呈互相促进之势。在明初儿童启蒙课本《魁本对相四言杂字》（1371年）里的算盘有图有文，在它的示意图里，框、梁、档、珠都绘制得十分清晰，上2 珠下5 珠。这不但说明算盘形态已经发展成书，而且是连孩子都常见的日用品。16 世纪后期，珠算专门著作大量出现，开方计算也可在算盘上进行，珠算全面普及。珠算熟练者呼出口诀的同时就可拨出得数，较筹算计算快得多。珠算在明代商业繁荣的环境中蓬勃发展，而筹算则逐渐销声匿迹。

早在一千多年前，中国人就发现了用以数学计算的口诀，简单易记，朗朗上口。一个人可以不识字，但只要会珠算口诀，完全可以成为一把计算好手。牢记珠算口诀，让手指形成肌肉记忆，完全可以达到手快于口的效果。

缘何脱颖而出

前面提到其他文化里也曾有过算盘，那么他们的算盘是什么样的呢？早在公元前2700 年，美索不达米亚人就在泥板上画出方格，然后在方格中划出算符，既能做记录又能进一步计算。这既可以看作是算符可移动的算盘的鼻祖，又可视为算符无法移动的笔算的开端。古希腊史学家希罗多德曾记录古埃及人在地上摆布鹅卵石进行计算，这一方法也流传到古希腊，很可能嫌麻烦的古希腊人别出心裁，发展出新的运算方式。

1846 年，人们在希腊萨拉米斯岛发现1 块长1.5 米、宽0.75 米的大理石板，起初人们认为这是一种棋类游戏的棋盘，但后来更多学者认同它可作为算盘使用。它上面有古希腊数字，以及摆放数码的表格等。这些数码并不是我们熟悉的十进制的数位，而是在不同位置分别表示1、5、10、50 等。表格中的垂直线让左右两侧数码分别具有正负值的含义。这种石板有可能在古希腊商业活动中发挥作用。

萨拉米斯石板的记数方式让我们很容易联想到古罗马数字，实际上算盘在古罗马也得到较大发展。古罗马算盘在所含数学思维方面与中国类似，也采用上方1 珠代表5，下方1 珠代表1 的办法。在1 块近代复原的古罗马算盘上，上方沟槽里有1 颗珠子，下方沟槽有4 颗珠子，其数量与甄鸾所记珠算及近代日本算盘相当。算盘从左到右共8 竖栏，表示自个位至百万位的数字。这显然比常见的罗马数字更适宜数学运算。然而，除中国以外，其他文化独立出现的算盘式工具都没有在社会上发挥那么大影响，或许语言不易产生珠算口诀是阻碍其发展的原因之一。

中国珠算对海外也有深刻影响。明代万历年间，有一个名叫毛利重能的日本人，奉当时日本朝廷之命留学中国。他被当时盛行在市井贸易上的珠算所吸引，遂下大功夫学习和掌握了中国的珠算算法，同时努力地研究了明朝珠算家程大位的《算法统宗》。后来，毛利重能携中国的算经、《算法统宗》和算盘回到日本，此后又著书《割算法》，系统讲解除法。中国的珠算因此在日本产生极大影响，并且很快在日本民间盛行起来。除日本外，珠算还传入朝鲜、越南等国家和地区，后又逐渐随着华人迁移流行于美洲。

2013 年，联合国教科文组织将中国珠算评为人类非物质文化遗产。珠算适用面广，具有很强的科学性和实用性。根据研究，儿童学习珠算能够在锻炼手指灵活性的同时刺激大脑皮层活跃，达到左右脑均衡发展的成效，因此珠算作為宝贵文化遗产，依然是值得继承和发扬的。