基于叉指电极激励和衰减信号拟合的半球谐振子性能测试方法

郑 倓,雷宏杰,2,岳亚洲,2,胡 强,2,曹诗音,2,朱良健,2

(1.中国航空工业集团公司西安飞行自动控制研究所, 西安 710065;2.飞行器控制一体化技术国防科技重点实验室, 西安 710065)

0 引言

半球谐振陀螺是一种新型哥氏振动陀螺,其采用高品质半球谐振子和相对简单的陀螺结构,具有精度高、可靠性高、体积小、质量轻和功耗低等优点[1-2]。截至2019年,美国Northrop Grumman公司的半球谐振陀螺共搭载在200多架次航天器中,在太空总工作时间超过了5 000万小时且无一失效[3]。法国Safran公司在国际惯性传感器与系统会议上公布的半球谐振陀螺零偏稳定性达到了0.000 1(°)/h1/2[4]。因此,半球谐振陀螺在航空、航天、航海等各领域具有极大的应用价值[5-7]。

半球谐振陀螺研制过程中,其核心的半球谐振子需要在成型加工、调平、镀膜、装配和封装等各阶段对频率裂解值、时间常数、刚度轴角位置等性能参数进行测试[8]。本文中针对尚未镀制金属膜层的石英半球谐振子,设计优化基于叉指电极的非接触激励方法,研究其性能参数辨识方法,搭建实验装置进行实验验证。

1 基于叉指电极的非接触激励方法

测试半球谐振子性能首先需要激励半球谐振子使其处于振动状态。敲击半球谐振子的传统激励方法,有损伤和污染半球谐振子的风险且激励位置不易确定。与其相比,叉指电极激励半球谐振子具有非接触、激励位置可控等优点。

如图1(a)所示,叉指电极由两组指电极1和2互相交叉构成。电极1/2的宽度称为指宽,电极1,2之间间隙称为指间距[9]。将电介质平行于叉指电极放置,沿叉指电极长度方向剖视图如图1(b)所示。其中,指宽为2r、指间距为P/2(r<

图1 叉指电极结构图Fig.1 Structure diagram of interdigital electrode

电极与电介质组合可看作电容器,一对叉指电极与电介质构成电容器的电容为[10]

(1)

其中,l为叉指电极的长度。

图2 仿真模型图Fig.2 Simulation model diagram

图3 叉指电极电容与间隙关系图Fig.3 Interdigital electrode capacitance versus gap diagram

叉指电极两端施加交变电压,半球谐振子作为电介质会向使电容器总能量最小的方向运动,在静电力的作用下半球谐振子发生振动[12]。图2模型中电容越大其能量越大,施加交变电压时电容器能量变化越大,半球谐振子受静电力越大。半球谐振子受到的静电力可使用有限元软件仿真计算。设叉指电极两端正弦电压幅值为600 V,叉指电极与半球谐振子间隙为100 μm。式(1)中指宽与指间距之比r/P称为指宽比,其大小直接影响叉指电极的电容,从而改变叉指电极对半球谐振子的力,但公式中未考虑电极厚度的影响。仿真指宽比、电极厚度与半球谐振子受力的关系,如图4所示。

图4 电极厚度、指宽比与半球谐振子受力图Fig.4 Electrode thickness, finger width ratio and resonator force diagram

由图4可知,叉指电极指宽比越大半球谐振子的受力越大。当叉指电极的电极厚度增大时,半球谐振子受力会变大,但电极厚度大于30 μm后半球谐振子受力开始下降。指宽比8∶1、电极厚度30 μm、中心角度45°时,叉指电极对半球谐振子的力达到140 μN,满足实验需求。

叉指电极指宽度也会对半球谐振子受力产生影响。仿真可得不同中心角与半球谐振子受力的关系如图5所示。当叉指电极中心角度由小增大时,半球谐振子受力增加,而中心角大于60°后受力增加缓慢,因此,设计叉指电极中心角大于45°即可满足半球谐振子激励需求。

图5 中心角与叉指电极受力关系图Fig.5 Central angle and interdigital electrode force diagram

叉指电极安装方式和构型也会对半球谐振子静电力产生影响。其他的安装方式和构型还包括:叉指电极平行安装方式如图6(a)所示,扇形叉指电极垂直安装如图6(b)所示。

图6 不同类型叉指电极示意图Fig.6 Schematic diagram of different types of interdigital electrodes

设叉指电极指宽比8∶1、电极厚度30 μm中心角60°。仿真图5、图6(a)、图6(b)中不同安装方式、构型的叉指电极激励下半球谐振子受力大小,结果如表1所示。

表1 叉指电极不同安装方式、构型下仿真结果Table 1 Simulation results under different mounting modes and configurations of interdigital electrode

由表1可知,叉指电极安装方式由垂直安装改为平行安装后,叉指电极对半球谐振子的受力减小了一半。而扇形叉指电极垂向安装与叉指电极垂向安装相比,对半球谐振子的受力略低。综上所述,叉指电极垂向安装和指宽比8∶1、电极厚度30 μm、中心角60°的叉指电极参数时,对半球谐振子的静电力力达到171 μN,满足实验要求。

2 半球谐振子性能参数辨识方法

2.1 基于衰减信号拟合的性能参数辨识方法基本原理

半球谐振子振动示意图如图7所示[13]。

图7 初始时刻振动图Fig.7 Initial moment vibration diagram

理想情况下半球谐振子唇沿任意位置纵向振动为

s(φ,t)=Acos2(φ-φ0)cosω0t

(2)

式中:A为半球谐振子振动幅值;φ为方位角;φ0为初始振动方位角;ω0为谐振频率。半球谐振子的不平衡质量等误差会使振动发生裂解,其振动可表示为2个振动谐波之和的形式

s(φ,t)=[A1cos2(φ-φω)cos2(φ0-φω)cosωxt+

(3)

其中:ωx、ωy为半球谐振子的2个谐波的频率;φω为刚度轴角位置;τφ为时间常数;A1、A2分别为2个振动谐波的幅值。

当激励信号频率仅与半球谐振子某一谐波频率相同时,只会激励出一个谐波,即A1=A、A2=0,所以振动信号仅能解算出τφ。

当激励出2个谐波,但振动幅值不等时,设A1=A、A2=A+b,其中b为两幅值差值。令检测方向与激励方向同向或垂直,即φ0=0时,φ=0°或φ=90°。将式(4)两边平方后化简并滤去高阶分量得到

(4)

其中:k=2Asin22φωcos22φω,ωx-ωy=2πΔf,Δf为频率裂解值。由式(4)可以解算出Δf、τφ参数,但难以解偶φω与b,会导致刚度轴角位置解算出现较大误差。

两个谐波幅值相同即A1=A2=A时,s(t)平方后化简,滤去高阶分量可以得到

(5)

由式(5)可解算出半球谐振子的频率裂解值Δf、振幅A、时间常数τφ、刚度轴角位置θω等信息,可用于性能参数测量。

在检测中使用扫频、白噪声等激励方法使激励能量在2个谐波上均匀分布,断开激励后测得半球谐振子衰减信号s(t)。由上述推导可以知道,S(t)是s(t)平方后化简并滤去高阶分量获得。在实验中,将衰减信号s(t)滤去高频分量获得包络信号,再平方后得到S(t)的测量值。使用式(5)拟合S(t)的测量值解算出频率裂解值Δf、时间常数τφ、刚度轴角位置θω等参数。

2.2 性能参数辨识方法建模仿真

半球谐振子振动自由衰减过程仿真模型如图8所示,可基于该模型获得不同性能参数半球谐振子的振动自由衰减信号[14]。

图8 仿真模型Fig.8 Simulation model

将频率裂解值Δf、振幅A、时间常数τφ、刚度轴角位置θω等仿真参数代入模型,可以获得环向任一位置的振动信息s(t)。

s(t)=x(t)cos2θd+y(t)sin2θd

(6)

其中:式(6)中激励方向为仿真中坐标系0°方向;θd为检测方向角;x(t)、y(t)分别为半球谐振子在0°与90°方向位移量。

取θd0°、频率裂解值1 mHz、时间常数200 s、刚度轴角位置10°、仿真时间长度450 s,代入仿真模型获得衰减信号曲线S(t),滤区高频分量获得包络信号曲线,如图9所示。

图9 衰减曲线与包络曲线Fig.9 Attenuation curve and envelope curve

如图10所示,包络信号平方后得到测量S(t)信号,采用最小二乘法拟合测量S(t)信号,解算出半球谐振子各项性能参数,解算结果如表2所示。可以看出,理想情况下解算结果相对误差均在1%以内,其中频率裂解值的解算精度达到了0.01 mHz。

表2 性能参数解算结果Table2 Performance parameter solution results

图10 S(t)数据曲线求解结果Fig.10 Solution results of S(t) data curve

在实际实验中,测振仪、测量电路等其他仪器会产生多种噪声,这些噪声会使测试结果产生误差。设N为信号总长度、x(n)为原始无噪声信号、η(n)为0均值σ2方差的高斯噪声,附加噪声的信号y(n)可表示为

y[n]=x[n]+η[n], 0≤n≤N-1

(7)

y(n)的信噪比SNR可表示为[15]

(8)

考虑不同大小噪声下,针对不同刚度轴角位置的半球谐振子性能参数进行仿真解算,得到的频率裂解值解算误差如图11所示。可以看出,随着信噪比提高频率裂解值辨识误差逐渐减小,当信噪比大于30 dB,解算精度与无噪声时信号解算精度几乎一致。频率裂解值的解算误差随刚度轴角位置的增大先增大再减小,在刚度轴角位置20°附近时频率裂解值解算误差较小。刚度轴角位置、时间常数解算误差分别如图12和图13所示。可以看出,两者均随着信噪比增大而减小,且受刚度轴角位置影响不明显。因此,需要提高振动检测信号信噪比从而降低半球谐振子性能解算误差。

图11 频率裂解值解算误差Fig.11 Resolution error of frequency splitting value

图12 刚度轴角位置解算误差Fig.12 Stiffness axis azimuth solution error

图13 时间常数解算误差Fig.13 Time constant solution error

另外,若式(6)中检测方向θd与设定值0°存在检测偏角时,解算出的刚度轴角位置也会出现误差。仿真刚度轴角位置解算误差与检测方向偏角、刚度轴角位置关系,结果如图14所示。可以看出,在5°、10°、15°刚度轴角位置处,刚度轴角位置解算误差随检测偏角增大而逐渐增大且为非线性变化。在实验中应当精确控制检测方向以降低误差。

图14 检测偏角与刚度轴解算误差图Fig.14 Error in detecting deflection angle and stiffness axis

综上所述,推导出的辨识方法在理想情况下可准确解算不同半球谐振子的性能参数。但噪声会显著增大性能参数的解算误差,在实验中需要改善信噪比使其大于30 dB并保证激励方向、检测方向之间夹角与设定夹角一致以提高解算精度。

3 测试方法验证实验

3.1 基于叉值电极的振动激励实验

根据仿真参数优化设计叉指电极,实验装置示意图如图15所示。半球谐振子通过夹持装置与转台连接,叉指电极安装在Z向位移台的悬臂上,通过调节位移台悬臂高度控制叉指电极平面与半球谐振子唇沿面间隙。

图15 检测装置示意图Fig.15 Diagram of detection device

在真空环境下改变叉指电极与半球谐振子间隙及激励电压值,采用激光测振仪检测振动信号幅值,半球谐振子在不同间隙、不同激励电压下振动幅值如图16所示。由图16可知,间隙越小、激励电压越大半球谐振子振幅越大,可以通过提高工作电压、减小间隙的方法来提高激励中半球谐振子的振幅,与前述仿真结论一致。选择100 μm间隙、600 Vpp幅值电压激励,半球谐振子振动幅值约为62 mm/s,振动幅值满足测量、控制实验要求[16]。

图16 叉指电极激励半球谐振子振幅Fig.16 Amplitude diagram of resonator excited by interdigital electrodes

3.2 性能参数实验测试

性能参数测试实验,激光测振仪测量方向与叉指电极激励方向同向,信号源通过高压放大器与叉指电极连接,信号源在包含半球谐振子的两个谐振频率范围内扫频激励。当半球谐振子振幅达到测量要求时断开信号源,采集半球谐振子的振动衰减信号,振动衰减信号s(t)和包络信号如图17所示。

图17 半球谐振子衰减信号Fig.17 Attenuated signal diagram of resonator

包络信号平方得到S(t)信号,再拟合解算出半球谐振子各项性能参数。基于解算的性能参数,结合半球谐振子振动信号仿真模型,重构包络的平方信号S′(t),如图18所示。可以看出,S(t)与S′(t)一致,证明拟合解算方法正确。

图18 S(t)信号解算曲线Fig.18 S (t) signal solution diagram

对同一半球谐振子安照上述步骤重复测量8次,采样时间均为20 s,测量时真空度等条件一致,解算频率裂解值、时间常数、刚度轴角位置性能参数,结果分别如图19、图20和图21所示。可以看出,该半球谐振子频率裂解值多次测试解算均值为85.6 mHz,标准差为0.92 mHz。时间常数多次测试解算均值为64.19 s,标准差为0.537 s。刚度轴角位置多次测试解算均值为8.95°,标准差为0.327°。将半球谐振子转动5°后,再次测量其刚度轴角位置的解算均值为3.43°,标准差为0.166°。两次解算均值相差5.52°,其误差小于1°的测量要求。

图19 频率裂解值多次解算结果Fig.19 Results of multiple resolution of frequency splitting value

图20 时间常数多次解算结果Fig.20 Time constant multiple solution results

图21 刚度轴角位置多次解算结果Fig.21 Results of multiple solutions for stiffness axis azimuth

4 结论

1) 叉指电极激励谐振子中,叉指电极本身的电极厚度、电极宽度、电极之间距离与电极对数会影响叉指电极对谐振子的激励效果。在实验中,优化后的叉指电极对谐振子的激励效果达到实验要求。

2) 谐波幅度不均、信噪比低等因素,会引起衰减信号拟合的测试方法出现误差。使用优化叉指电极扫频激励谐振子,激光测振仪测量信号,多次测量结果精度达到要求。叉指电极扫频激励的方法能够降低谐波幅度不均、提高信噪比,衰减信号拟合测试方法可行。