改编教材原题导向课堂教学*——如何进行初中数学改编或原创命题

广东省恩平市年乐夫人学校(529400) 冯春威

1 命题的一般标准

命题直译便是出题目或命制题目,质量监测命题便是命制在监测中要求解答的问题.命制一份好的试卷标准是: 一是信度好,即考试设计符合考生整体水平;二是效度高,即考试内容适合检验考生整体水平;三是难易度适中.

好的试卷需要好的题目支撑,《江门市2022年初中学业水平考试模拟试题命题比赛》数学科的要求是在七个专题,①数与式,②方程(组)与不等式(组),③函数,④三角形,⑤四边形,⑥圆,⑦统计与概率中选一个专题,命制1 道选择题、1 道填空题和1 道解答题,共3 道试题,要求原创或改编.笔者参加了命题比赛的评审工作,总结出这次命题比赛好题目的标准是: 一是原创或改编70%以上,三道题属于同一专题,三道题的知识点基本不同,难易度0.55-0.65;二是条件足以推导出题目的结论,每一个条件都不是多余的,条件之间,条件与结论之间不存在矛盾;三是知识点的考查方法,与以往有所不同,但又不超标;四是选择题与填空题以2～3个考点综合即可,大题以6～10 个考点为宜,涉及的数学思想方法以2～4 个为宜,涉及的能力意识以2～3 个为宜.

例如,广东省2021年中考第7题: 如图1,AB是⊙O的直径,点C为圆上一点,AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D,CD=1,则⊙O的直径为( )

图1

点评考查圆、特殊角三角函数、角平分线性质等3 个知识点;3 个条件都不是多余的;而且渗透数形结合思想、化归与转化思想;命题方针基本正确,就是一道好题.

2 命题的常用方法

命题主要有两个来源: 一是采用他人的现成试题;二是自己编写新试题,自己编写的新试题通常有改编和原创两种方式.改编是指在已有试题的基础上,保持原题优点的基础上,通过分解与重组,考点的增加、删减、组合,命题的变更等手段,对其立意、情境及设问进行适当的调整与改造,从而命制出适合试卷要求的试题.原创是根据需要考查的知识点创设一个新的问题,要求情境新、材料新、设问新等.事实上真正的原创很难,所谓的原创大都是改编,改编到一定深度我们默认为原创,因此改编是命题中最重要的技术.改编试题的方法有很多,包括改变设问角度、改变命题结论的形式、置换题设与结论、强化或弱化条件、采用运动图形、置换题目背景、一般与特殊之间互化、转换题型、题目重组等.而教材是获取命题材料的非常好的渠道,教材中的许多例题、习题的背景都非常新颖、非常贴近现实生活,是很好的命题素材.

2.1 变形法

简化变形将一些著名的数学试题作特殊化、具体化、局部化、低维化、简单化处理,可以得到背景深刻的试题.如高考中的数学问题取其特例,加以简化,改头换面,可以变成一道中考数学试题.

例如,命题比赛鹤山这位老师命的这道选择题: 对于任意的未知数x都满足(a2+1)x2+2(a+2)x+1≥0,其中a为常数,则a的取值范围为( )

A.a≤B.a≥

C.a≤D.a≥

点评一元二次不等式是高中的内容,但他将二次项系数通过a2+1 是一个正数而特殊化,根据二次函数与不等式的关系,a2+1 确定开口向上,只要函数与x轴没有交点就可以保证含参数a的二次多项式的值大于等于0.这样的改编科学有效的衔接高中,是一道好题.

易位变形将陈题中条件部分所含有的事项与结论部分中所含有的事项互易位置,从而得到新题,易位又分为全易位和部分易位.母题为人教版八年级上册第112 页第7 题:已知a+b=5,ab=3,求a2+b2的值.

知识定位: 完全平方公式.

命题立意: 考查对完全平方公式的理解水平、应用能力,以及学生的运算素养与逻辑推理素养.

思路分析: 借助完全平方公式变形进行求解或从方程的角度进行求解.

方法一从完全平方公式结构特征角度求解.

解根据完全平方公式(a+b)2=a2+b2+2ab,把a+b=5,ab=3 代入可得: 52=a2+b2+2 × 3,∴a2+b2=19.

方法二从方程角度求解.

解由a+b=5,ab=3,可把a,b看成方程x2-5x+3=0 的两根.a2-5a+3=0,b2-5b+3=0,两式相加,得a2+b2-5(a+b)+6=0.∴a2+b2=5(a+b)-6=19.

规律总结完全平方公式——(a±b)2=a2±2ab+b2可以分解成(a±b)2,a2+b2,ab几个“零部件”,这几个“零部件”能够通过不同的运算进行转化.例如: (a+b)2-(a-b)2=4ab,(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2),a2+b2=(a+b)2∓2ab,而这些“零部件”运算转化是解决此类问题的基本思路.

改编母题: 依据完全平方公式的结构特征,交换部分条件与结论或修改“零部件”的呈现形式,使“零部件”的内涵更丰富.

改编1已知a+b=5,a2+b2=19,求ab的值.

点评交换其中一个条件与结论.借助完全平方公式变形进行求解.

改编2已知a+b=5,ab=3,求a-b的值.

点评直接改变结论.借助两个完全平方公式变形进行求解.利用零部件(a+b)2-(a-b)2=4ab,再整体代入.

改编3改编为广东省2021年中考第15 题: 若且0＜x＜1,则x2-=____.

点评利用母题中“a”与“b”互为倒数的特征,隐含地呈现了“ab”的值,考查了学生对数式特征的观察能力.

改编4已知ab=3,求a2+b2的最小值.

点评借助完全平方公式的变换及平方式的非负性,进行求解.该改编弱化了母题中的条件,增加了思维的难度,由相等关系过渡到最值的探究,但依据题中条件、所求式子及完全平方公式的结构特征即可找到解答的思路,这样改编对学生的运算素养、直观想象能力进行了较好的考查.

2.2 情境法

母题: 人教版九年级上册第82 页例2,背景是赵州桥的主桥拱问题,考查垂径定理及其运用,方程思想.

改编为: 如图2,北京冬奥冰壶比赛中,凌智在中轴线上A点投出一个冰壶,范苏圆通过擦冰让冰壶的运行轨迹为圆弧,如图.对方在中轴上B点有一障碍壶,AB=16 米,且冰壶偏离中轴线的最大距离为4 米,如果要把对方冰壶撞开,则圆弧的半径为_____米.

图2

点评命题比赛中,江门一位老师命制的这道题目以冬奥冰壶比赛为背景,保留原结构,问题以新情境衬托,呈现出不同面貌.并结合时事热点,比较好的一道题.

2.3 组合法

由某些概念、性质或简单的基本问题出发(它们多数来源于教材),将它们与初步确定的考查要求联系起来,进行分析和思考,将有关的知识点和基本的方法,进行适当的组合,逐步形成综合模式的解答题.如图形的叠加: 从基本图形出发,在此基础上,改变点的位置,添加适当的线段,从中找出有价值的结论,进行编题等.

母题是人教版九年级上册第101 页第6 题: 如图3,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,AC是⊙O的直径,∠BAC=25°,求∠P的度数.

图3

改编1在母题的基础上,改变点C的位置,连接BC,探究角与角之间的数量关系.如图4,PA,PB分别切⊙O于点A,B,C是⊙O上一点,∠C=50°,求∠P的大小.

图4

思路分析: 如图5,连接OA,OB,利用切线的性质、圆周角定理与四边形的内角和来解答.

图5

改编2在母题的基础上,连接BC,变为已知一切线证另一切线的推理问题.如图6,⊙O是RtΔABC的外接圆,∠ABC=90°,点P是圆外一点,PA切⊙O于点A,且PA=PB.

图6

求证:PB是∠ABC=90°的切线.

思路分析: 如图7,连接OB,欲证PB是⊙O的切线,只要证明OB⊥PB即可.

图7

改编3在改编2 的基础上,改变已知条件,将其改编为线段计算问题.

如图8,⊙O是RtΔABC的外接圆,∠ABC=90°,点P是圆外一点,PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点,已知PA=3,BC=1,求⊙O的半径.

图8

思路分析: 通过连接OP,交AB于点D,先通过证明ΔAPO∽ΔDPA或ΔPAO∽ΔABC求得相关线段的长,然后在RtΔOAP中利用勾股定理求解.

试题评析: 由于切线长定理与切线的性质、垂径定理、垂直平分线等知识相联系,故图形中极易出现直角,进而为利用勾股定理、锐角三角函数、相似三角形求线段长做好准备.2018年广东中考第24 题,其实也是这个基本图形添加2 条线段及改变部分条件而成的.

如图9,四边形ABCD中,AB=AD=CD,以AB为直径的⊙O经过点C,连接AC,OD交于点E.

图9

(1)证明:OD//BC;

(2)若tan ∠ABC=2,证明:DA与⊙O相切;

(3)在(2)条件下,连接BD交于⊙O于点F,连接EF,若BC=1,求EF的长.

改编4在改编3 的基础上,延长直径,与一条切线相交于圆外一点,为设置新的问题创设新的情境.

如图10,在ΔABC中,点D是AC边上一点,AB=以AD为直径的⊙O与边AB,BC分别切于点A,E.过点D作DF//BC交⊙O于点F,求DF的长.

图10

试题评析: 随着试题综合性的加强,难度也在加大.从这一复杂图形中分解出切线长定理、平行线分线段成比例、勾股定理等知识所对应的基本图形是解题的关键所在,因此,对基本图形的深刻研究和认识是改编几何题的关键,它是灵活应用知识的基础.

改编5在改编4 的基础上,将圆移至三角形的内部,编制与内切圆相关的问题.如图11,在ΔABC中,AB=5,AC=7,BC=8,⊙O是ΔABC的内切圆,与ΔABC的三边相切于D,E,F.

图11(2)

图11(1)

(1)求⊙O的半径;(2)如图,连接CD,DE,求tan ∠CDE的值.

思路分析: (1)如图12,过点A作AH⊥BC于点H,根据勾股定理得到AH的长,进而求得SΔABC.连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,设⊙O的半径为r,得到OD=OB=OF=r,根据SΔABC=SΔABO+SΔBOC+SΔAOC即可得到答案;(2)根据三角函数的定义得到∠ABC=60°,求得BD=BE==3,CE=5,推出ΔBDE是等边三角形,作CG⊥DE于点G,解直角三角形即可得到答案.

图12(1)

图12(2)

试题评析: 知识之间存在着内在的联系,几何定理所对应的基本图形也存在联系.此题所涉及的三角形的内切圆图形,可以理解为由三个切线长定理的基本图形组合而成,自然,切线长定理在解题中便能发挥重要作用.

3 命题的教学导向

立足教材改编原题,通过保持原题基本条件不变,改编设问内容,以学生熟悉的问题为背景,突出考查学生应用数学知识解决实际问题的能力和意识,有利于充分发挥试题的教育价值,引导课堂教学方向.教师平时要认真研讨课标教材,分析编者意图,用好教材中的例题和习题,包括改编变式、联系拓广等,充分发挥教材例题、习题的教育价值,倡导学生多些走进生活、多些参加一些社会实践活动,不断提升学生的数学素养.