彭秋月
教材中的例题是非常典型的数学问题,背后蕴含着丰厚的价值。其实,很多中考题都是由教材中的例题改编而来的,因此我们要足够重视它们。
原题呈现 (苏科版数学教材九年級上册第67页例3)如图1,AB是⊙O的直径,弦AD平分∠BAC,过点D的切线交AC于点E。DE与AC有怎样的位置关系?为什么?
详细解答过程见教材。
变式1 如图2,AB是⊙O的直径,弦AD平分∠BAC,过点D作DE⊥AC,垂足为E,连接BD。若AE=4,ED=2,求⊙O的半径。
【解析】求⊙O的半径可转化为求线段AB的长度,利用勾股定理和相似三角形对应边成比例可以轻松解决问题。
∵ED=2,AE=4,∴AD=[AE2+DE2]=[25]。
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°。
∵∠EAD=∠BAD,∴△ADE∽△ABD。
∴[AEAD]=[ADAB]。∴AB=5。
∴⊙O的半径为[52]。
【点评】我们可以利用勾股定理或者相似三角形来解决求线段长度的问题。
变式2 如图3,AB是⊙O的直径,弦AD平分∠BAC,过点D的切线交AC于点E。AE与⊙O交于点F,延长ED、AB交于点G,试探究AB、AF、EF三者之间满足的等量关系,并证明你的结论。
【解析】构造垂径定理基本图形。如图4,连接OD,过点O作OH⊥AF于点H,易证四边形ODEH为矩形,所以OD=EH。
∵OH⊥AF,∴HF=[12]AF。
∴OD=EH=EF+HF=EF+[12]AF,
∴2OD=2EF+AF,即AB=2EF+AF。
【点评】本题是2017年盐城市中考题第25题的第(3)小题。我们利用垂径定理也能解决长度的计算问题。
(作者单位:江苏省盐城市康居路初级中学)