发展儿童数学图式融通能力的研究

林芳芳

摘   要：把数学图式灵活地应用于小学数学教学之中，能帮助学生形成数学图式学习模式。数学图式既有形象化的一面，也有抽象化的一面，对小学生数学思维发展是大有裨益的。在教学中，教师要善于引入“感知图式”，为儿童迁移学习打下基础；引入“操作图式”，促进学生数学表象的积累；引入“图形图式”，促进学生对数学思想方法的感知；引入“结构图式”，加速学生对数学认知的建构，使学生的学习更有效率、更有质量。

关键词：复杂情境   数学图式   融通能力

数学图式是由数学符号、图像信息所构成的解读数学知识意义、反映数学内在规律的一种模块。它不仅有直观的图形，给学生最形象的认知，还有内在的逻辑，能抽象出数学知识的本质。因此，在小学数学教学中，教师要理性地看待数学图式，灵活地指导学生探究数学图式的本质。

一、“感知图式”，学生学习迁移的基石

在寓言故事《盲人摸象》中，盲人把大象的肚子摸成了一面墙，把大象的腿摸成了柱子。这是什么原因呢？因为盲人看不到大象的全貌，在摸的过程中只能用已有的经验来进行判断。如果学生没有丰富的知识经验，那么他们在学习中所形成的思考就会与盲人摸象一样。

（一）仔细观察，丰富感知

“感知图式”不是一成不变的，是随着学生的数学学习不断发展的，逐步成为学生数学学习的重要“武器”。对此，教师要善于引导学生用好数学图式，促进学生深入学习。比如，在教学“真分数和假分数”时，笔者引导学生在既有数学图式的基础上，深入观察，理性分析与思考，在比较中发现分数的不同，从而获得充足的学习感知，为学生后续进一步探究分数的构成提供强有力的支撑。

（二）理性分析，建构图式

为了达成理性分析、建构有效数学“感知图式”教学的目的，笔者围绕目标打造探究学习的情境，引导学生进行实践操作和活动反思。比如，把“1”平均分成6份，取其中的1份、2份……直至6份，让学生比较、体会其中的差异。通过课堂辩论，学生发现取完6份，分子与分母变得一样了，它就是单位“1”本身。由此，学生能够联想到[33]、[1010]等，也是“1”。接下来，笔者引导学生反思“有没有比1还大的分数呢”？学生积极探究，参与到合作学习之中，找到了大于“1”的分数，得出分子比分母大的分數就大于“1”的结论。

二、“操作图式”，学生数学知识积累的源泉

学生的学习不是靠外力来实现的，而是以知识拓展、经验扩充、认知建构来实现的，这是建构主义学习理论的精神。数学图式是学生数学知识、认知经验“同化”和“顺应”的过程，是学生更好地探寻新知识的“引擎”。在小学数学教学中，教师要立足儿童数学学习的需求，引入“操作图式”，促使学生积极主动地探寻新知识。

（一）开展学习体验，积累数学感知

新课程标准指出，数学教学要立足于学生的立场，从学生的实际情况出发，引导学生主动探究、积极合作。比如，在教学“长方形面积计算公式推导”时，笔者依托“操作图式”，激活学生的学习经验，为他们的探究提供强有力的知识支撑。

（二）依托“操作图式”，实现学习升级

比如，在教学“长方形面积计算公式推导”时，教师应依据“操作图式”，让学生去画一画长方形、折一折长方形，或者用1平方厘米面积单位去拼一拼长方形。在实践活动中，学生能够较好地把握长方形的面积概念，知道面积的大小所对应的意义；能够在面积单位拼图中发现规律，领悟到长方形面积的大小与所包含的面积单位个数有本质的联系。在接下来的验证猜想中，学生能够通过实践操作扩充“操作图式”，完善学习感悟，掌握长方形面积计算公式。

三、“图形图式”，学生数学思想感知的路径

在小学数学教学中，教师要引入“图形图式”，给学生提供强劲的方法支持，让学生能够从容地分析数学问题、解决数学问题。

（一）助力有效学习

“图形图式”的本质是以形助数，或是以数助形，是数形结合数学思想方法的实践应用，可以帮助学生把抽象的数学符号、晦涩难懂的数量关系具体化，把深奥的数学概念、法则、规律形象化，从而不断地完善“图形图式”。比如，在教学“解决问题的策略——转化”时，笔者把复杂的问题简单化，把隐晦的关系具体化，引导学生把“数”变成“形”来研究，开启学生数学学习的新天地。

（二）实现深度学习

在小学数学教学中，教师要鼓励学生用好“图形图式”，把计算问题变成一个个直观的图形。比如，在教学“正方形的面积计算”时，笔者引导学生先画出1个小正方形，接着在它的外围画出3个正方形，使之成为一个大正方形，把“1+3”变成一个整体图形图式。画着画着，学生就会发现每一次画完后，都会出现一个边长稍微大一些的正方形。至此，学生能够在图式中总结出计算规律，使得计算充满智慧。

四、“结构图式”，学生建构数学认知的力量

数学既是一个具有很强逻辑性的知识体系，也是一种文化。在小学数学教学中，教师引入“结构图式”，不仅能助力学生领悟知识本质，还能够让学生的数学知识积累“成链、成网”。

（一）串联单个图式

在教学中，教师要引导学生把散状的知识点串联起来，形成一个整体“树状图”，或者其他的思维导图，从而促进学生数学知识的结构化。对此，教师既要重视数学图式直观形象的一面，又要关注其抽象的一面，引导学生把所学的数学知识建成网络，形成整体结构，这样有利于学生理解数学知识的本质，建构数学的认知体系。比如，在教学“因数和倍数”时，笔者引入“结构图式”，引导学生用数学图式的双重表征来整理知识点，探究其内在联系，帮助学生更好地把知识“串珠成链”，形成扎实的网络结构。

（二）促进认知体系化

在教学中，教师可以组织学生绘制单元知识结构图。以因数为例，可以连接到公因数、最大公因数，还牵涉质数、合数、质因数等的知识点。这样，可以让整个单元知识点在结构图式中得以呈现，使得整个知识结构关系更为明晰，能让学生的认知体系化。引导学生探寻数学知识体系中的“结构图式”，能帮助学生更好地厘清知识点之间的联系，能让学生的数学学习更理性。

综上所述，数学图式不是“天外来客”，而是学生的数学知识储备、数学基本活动经验的综合性表现。因此，教师要坚持学生立场，把发展学生数学图式与新课程标准结合起来，使得繁杂的数学运算形象化，使得原本孤立的、松散的数学知识点在数学图式下结构化。这样，才能让学生更好地经历数学化学习过程，形成全方位的、立体化的数学思维，为学生的终身学习奠定基础。

参考文献：

［1］孔令芳.数学课堂因“图”而闪亮——例谈“图式优学”在小学高年级数学新授课中的应用［J］.数学教学通讯，2018（4）：17-19.

［2］李相林.图式融通：给未知的数学世界画图——基于单元视角的小学数学图式融通教学实践与思考［J］.小学数学教育，2020（10）：17-20.