张峰源,蔡 静,罗君念
(贵州民族大学,贵阳 550025)
在产品的寿命试验中,受时间、经费的限制,通常会采用截尾的方式进行寿命试验。由于广义Pareto 分布在工程科学、处理医学等方向的寿命实验中起着极其重要的作用,已有很多研究者对广义Pareto 分布的性质进行深入研究。CHENG 等研究了在循序-I 型删失数据下广义Pareto 分布参数的极大似然估计和EM 算法估计[1];邢务强等研究了I型混合截尾下指数- 威布尔分布参数的极大似然估计和经验Bayes 估计[2];侯华蕾等研究了Pareto分布可靠性参数的Bayes 估计[3];龙兵等研究了定时区间删失样本下指数分布的竞争失效问题[4];HANICH 等讨论了逐步首次失效截尾下广义Pareto分布的参数估计[5];葛露娟等研究了在不同删失情况下广义Pareto 分布形状参数的Bayes 估计[7];OKASHA 等研究了逐步II 型截尾数据下的广义Pareto 分布的E-Bayesian 估计问题[8];赵旭等研究了三参数广义Pareto 分布的最小二乘估计[9];龙沁怡等对广义Pareto 分布在I 型删失数据下的形状参数进行极大似然估计[10]。
双边定时截尾试验是在事先规定的时间开始试验和停止试验,为了不使失效数过少或过多,恰当地规定试验停止时间是实施定时截尾寿命试验的关键。但是在双边定时截尾下运用不同方法对广义Pareto 分布的可靠性估计文献较少,本文基于极大似然估计、EM 算法、Bayes 估计研究了双边定时截尾数据下广义Pareto 分布的参数估计和可靠性指标估计问题,并比较各方法在不同样本数据下的估计精度。
设随机变量X 服从广义Pareto 分布,分布函数为:
将式(2)、式(3)代入式(4)则似然函数表达式为:
下面用EM 算法求解。
LOUIS 在应用EM 算法时提出了一种提取观测信息的方法,观测的Fisher 信息可以用来构造渐近置信区间[11]。
取参数α 的先验分布为无信息先验分布:
为了研究样本量和截尾时间对估计精度的影响,给定样本量n,截尾时间T1、T2,参数=0.5、α=2.05。生成双边定时截尾广义Pareto 分布数据步骤如下:
区间估计的上、下限与渐近方差模拟结果见表3 所示。
由表1~表3 看出:1)在小样本情况下,EM 估计与Bayes 估计的效果较好,随着样本量的提升,Bayes 估计的效果有明显提升,优于极大似然估计;2)EM 算法在任意样本条件情况下,估计效果都较为稳定,且在小样本情况下优于极大似然估计和Bayes 估计;3)随着左截尾的时间越短,极大似然估计与Bayes 估计的准确度越高;4)对可靠度进行估计时,极大似然估计比EM 算法和Bayes 方法更精准。
表1 参数的估计值与平均相对偏差Table 1 The estimated value of the parameter deviates from the average relative deviation
表2 可靠度R 的估计与平均相对偏差R(10)Table 2 The estimation of reliability R is relative to the mean deviationR(10)
表3 EM 算法区间估计Table 3 EM algorithm interval estimation
在双边定时截尾样本下,估计广义Pareto 分布的形状参数时,应根据样本量的大小选取不同的估计方法。在样本量较小时,采用Bayes 方法和EM 算法比极大似然法给出的估计有较小的平均相对偏差;在样本量较大时,采用极大似然估计法和Bayes方法比EM 算法给出的估计有较小的平均相对偏差。当选用极大似然估计法和EM 算法时,可靠度R的估计可达到很高的精度。