汽车底盘件疲劳寿命威布尔分布参数估计方法的研究

吴奕东，李妮妮，曹伟，刘祎晗

1.华南理工大学土木与交通学院，广东广州 510641；2.广州机械科学研究院有限公司，广东广州 510535；3.中汽检测技术有限公司，广东广州 510535

0 引言

对于机械构件的可靠性分析，通常采用威布尔分布来描述机械产品的寿命分布情况[1]。因为机械构件的制造工艺、加载工况、构件的初始缺陷及材料的疲劳性质等都是具有不确定性的随机变量，所以可以在统计学的层面上利用威布尔分布模型进行结构件的疲劳寿命变化规律的分析[2-3]。

根据待定系数形式的不同，威布尔分布可以分为双参数威布尔分布[4]和三参数威布尔分布[5-6]。双参数威布尔分布形式简单，参数较易确定。张新峰[7]在汽车底盘件的寿命评估中使用了双参数威布尔分布，但该分布模型不能描述出非零最小安全寿命且预测精度也不够高。而三参数威布尔分布被广泛应用于描述疲劳寿命分布中，如轴承失效分布[8-9]和数控机床故障分布[10]等，但在汽车底盘件的疲劳耐久方面尚未有相关研究。三参数威布尔分布的3个参数分别为形状参数、尺度参数和位置参数，其中位置参数的物理意义是最小疲劳寿命，这是与双参数威布尔分布的不同之处。威布尔分布3个参数的确定过程比较复杂且要求具有较高的拟合精度。

目前，威布尔分布的参数确定方法主要有统计量估计法[11]、灰度法[12-13]、极大似然估计法[14-15]和右逼近估计法[16-19]等。不同参数估计法的估算结果可能会存在较大差异，需要根据实际的疲劳寿命分布情况选用合适的参数估计方法。但上述参数估计方法均受初始迭代值和样本容量的影响较大，在参数估计精度方面还有一定的提升空间。

为了减少参数估计过程中外部信息的影响，可以在迭代过程中引入遗传算法。遗传算法是一种自适应的、智能的搜索技术，具有较强的全局优化能力，被广泛应用在复杂的非线性优化问题中[20]。基于传统的威布尔参数估计方法建立合理遗传算法目标函数，并利用种群中每个个体的适应性函数值进行搜索，可以有效避免初始值选取不合理的问题，提高参数估计的精度。

本文基于文献[7]中提供的转向节疲劳寿命情况对疲劳样本数据进行扩充，分别用右逼近估计法和遗传算法进行三参数威布尔分布的参数估计。通过对比两种方法估算得到的参数精度情况，验证参数估计方法的准确性和实用性，为汽车底盘零部件疲劳可靠性评价方法提供依据。

1 汽车底盘件的疲劳寿命分布情况

根据文献[7]的转向节疲劳台架试验结果，其中10件样品的试验寿命情况见表1。

表1 文献[7]的转向节10件样品的试验寿命情况 单位:万次

原测试数据样本数太少，一定程度上影响了参数估计的精度。因此，需要扩大数据样本量。利用三参数威布尔分布函数来描述转向节的疲劳寿命分布情况，其概率密度函数表达式为：

(1)

式中：Ni为转向节的疲劳寿命；β为形状参数；Na为尺寸参数；N0为位置参数。

令形状参数β=4.640 1、尺寸参数Na=167.73、位置参数N0=77.23产生100个符合三参数威布尔分布的随机数，扩充的疲劳寿命样本数据见表2。

表2 扩充的疲劳寿命样本数据 单位:万次

通过与试验得到的转向节疲劳寿命数据进行对比，扩充的疲劳寿命样本数据符合原有样件的寿命分布情况，因此该扩充数据样本是合理的。

2 威布尔分布的参数估计

2.1 右逼近估计法估算寿命的威布尔分布参数

右逼近估计法基于特定的变换方式把目标函数转化成线性函数，进而利用最小二乘法进行最优参数拟合，通过不断迭代计算从右侧逼近最优目标参数。基于式(1)，结构件的疲劳寿命分布函数为：

(2)

式中：F(Ni)为寿命不可靠度。

对式(2)的三参数威布尔分布取两次自然对数后，可得到：

(3)

(4)

设：

(5)

y=ax+b

(6)

(7)

xi和yi的相关系数ρ的表达式为：

(8)

相关系数ρ反映了自变量和因变量之间的线性相关程度，ρ值越大，说明x和y的线性相关程度越高。取N01=min{Ni}=107.1作为位置参数N0的初始值，选取计算步长Δ=0.05N01，依次用N01，N02=N01-Δ,N03=N02-Δ, …,N0k=N0(k-1)-Δ代入式(8)中计算出对应的相关系数ρ={p1,p2, …,pk}。相关系数ρ随位置参数N0的变化曲线如图1所示。

图1 相关系数ρ随位置参数N0的变化曲线

2.2 基于遗传算法确定疲劳寿命可靠度的初始估计值

将疲劳寿命数据点代入式(2)，并令威布尔分布中的三参数作为初始给定参数{N0=77.23，Na=167.73，β=4.640 1}，可通过计算得到基准的初始寿命不可靠度FB。

(9)

式中：参数ω和γ是通过遗传算法确定的待定系数。

利用θj=(ωj,γj) (j=1, 2, …,m)表示不可靠度初步估计值中未知参数组成的向量，建立该未知参数组合{ωj，γj}估计方法的数学模型为：

min{g(θj)}=

(10)

式中：g(θj)为遗传算法的目标函数，j=1, 2, …,m。

(11)

图2 基于基准威布尔分布参数的最优{ωj,γj}

图3 中位秩和遗传算法得到的初始寿命不可靠度与基准的寿命不可靠度的对比

2.3 基于遗传算法确定疲劳寿命的威布尔分布三参数

(12)

式中：p(θj)为遗传算法的目标函数，j=1, 2, …,m。

遗传优化算法的设置与第2.2节中的设置保持一致。借助优化算法可找到一组最优的{ωj,γj}，使对应的目标函数p(θj)的值最小，并将此时的{ωj,γj}作为模型中未知参数的估计值。基于右逼近法估计参数的最优 {ωj,γj}如图4所示，目标函数选取最小值时对应的{ωj,γj}={-28.087, -5.668}。通过遗传算法缩小了初始不可靠度与真实值的差距，避免了导致迭代算法陷入局部最优解的问题。

图4 基于右逼近法估计参数的最优 {ωj, γj}

后续基于该参数组，设定新的遗传算法对最终的威布尔分布三参数进行估计。该遗传算法的种群组成有5个向量：{ωj,γj,N0j,Naj,βj}。为了使{ωj,γj}下的不可靠度与真实值更接近，建立未知参数组合{ωj,γj,N0j,Naj,βj}估计方法的目标函数为：

min{h(φj)}=

(13)

利用右逼近估计法的结果可以知道{ωj,γj}的值大致落在{-28.087, -5.668}附近。以{-28.087, -5.668}的±10%为上下限，设置种群中ωj和γj的搜索范围。同时，设置遗传算法种群内其他3个参数的边界条件为：

(14)

图5 疲劳寿命威布尔三参数的最终估计结果

2.4 两种参数估计法的精度对比

图6 右逼近估计法和遗传算法的寿命不可靠度与基准的寿命不可靠度的对比

进一步对比各参数的估计精度，各参数的误差值计算公式为：

(15)

两种参数估计法的误差分析结果见表3。由表可以发现，遗传算法N0的估计误差与右逼近估计法的误差接近，分别为3.73%和3.55%；遗传算法β参数的误差值有所增大，从0.79%增大到2.48%；但遗传算法对Na的估计误差从1.57%降低到0.76%。从整体上看，遗传算法的参数估计结果要优于右逼近估计法，说明此时尺寸参数Na对参数估计结果的影响更大。

表3 两种参数估计法的误差分析结果

3 结论

通过对文献提供的汽车转向节疲劳失效数据进行样本量扩充，根据扩充后的疲劳寿命分布情况建立三参数威布尔分布模型。分别运用右逼近估计法和遗传算法进行威布尔分布参数估计，探究了不同参数估计方法对结果精度的影响。本文的主要结论如下：

(1)右逼近估计法中使用中位秩估算的寿命不可靠度与真实值存在较大的偏离，用该值作为初始值可能会导致迭代算法陷入局部最优解而影响估算精度。

(2)提出了一种寿命分布模型的遗传算法。以右逼近估计法得到的分布参数为基准值，通过遗传算法得到更接近真值的疲劳寿命初始不可靠度。以此迭代结果为基础，再次利用遗传算法确定最终的威布尔分布三参数。

(3)所提出的遗传算法建立在右逼近估计法的基准参数之上，可以有效克服局部最优解的问题，在提高迭代速度的同时提高了参数估算的精度，为汽车底盘部件的可靠性评估提供新的方法和理论依据。