基于稳定安全系数的路基边坡可靠指标快速估算

王 棋，罗 强*，张文生，蒋良潍

(1.西南交通大学 土木工程学院，四川 成都 610031；2.高速铁路线路工程教育部重点实验室，四川 成都 610031；3.哈尔滨工业大学（深圳）土木与环境工程学院，广东 深圳 518055)

土质边坡稳定性分析是岩土结构设计重要内容之一。传统上采用稳定安全系数Fs表达的确定性分析方法进行分析，Fs依据极限平衡法或有限元法计算。确定性分析方法简便直观，但不能考虑边坡中诸多不确定性因素的影响，因而，某一特定的Fs的大小并不能表征边坡的安全程度。因此，将以随机变量为研究对象，考虑各种工程设计因素中的不确定性，以可靠指标β或失效概率Pf为表达的概率分析方法被引入边坡工程。

概率分析常采用1次2阶矩法[1-2]、1阶可靠度法[3-5]、基于Monte Carlo模拟的随机有限元法[6-7]等方法，存在计算复杂和耗时较长的不足。近年来，为提高边坡可靠度计算效率，学者们提出子集模拟法[8-11]、非侵入式随机有限元法[12]、代理模型方法[13-14]、稳定性分析图法等改进方法。子集模拟法采用Bayes公式，将小概率失效事件的Pf表达为统一失效模式下具有较大Pf的多个中间失效事件的条件概率乘积，提高了计算效率，但在求解多失效模式可靠度时需对每个模式单独计算，即重复执行随机模拟[15]；非侵入式随机有限元法采用非侵入式理念将有限元法与随机响应面法结合，无需修改有限元软件源代码，但在运用随机响应面法对Fs随机多项式展开的过程中，需根据有限元法得到Fs线性方程组，并求解获得随机多项式展开系数，耗时较长的问题依然存在；代理模型方法需要在变量空间中随机采样，计算量较大，且该方法在基于极限平衡方法进行边坡可靠度计算时，需要搜索临界滑裂面来确定边坡稳定性系数，这亦会增加额外计算量；稳定性分析图法建立了Fs与Pf关系曲线，采用图表法获取Pf，如：Javankhoshdel和Bathurst[16]考虑土体重度γ变异性，构建了饱和黏性土（φ=0）与一般黏性土边坡的Pf～Fs关系曲线，简化了边坡稳定性的概率分析步骤，但需采用极限平衡法与Monte Carlo模拟（MCS）重复计算，获得不同边坡参数组合下的Fs及Pf，最后建立无量纲参数条件下的Pf～Fs曲线，在工程中推广应用较复杂。

由于稳定可靠指标β能考虑边坡土体强度参数不确定性，相比Fs更为全面，但所需数据量和计算量较大，并缺乏Fs所具有的丰富的工程实际经验，制约了实际应用。因此，在边坡几何、土体强度参数均值及变异系数等数据已知的条件下，研究β的快速获得方法，对指导工程设计具有重要意义。

为此，针对工程条件多样性特点，基于常遇坡高下1∶1.5典型坡率的简单土质边坡模型与土体强度参数变异水平，制定以坡高和土体强度参数为主要因素的稳定分析模型及计算方案；运用Fellenius极限平衡法及Monte Carlo模拟，开展不同方案下可靠指标计算，讨论安全系数与可靠指标的基本关系及变化规律；基于模型参数与计算数据，运用无量纲化与多元非线性回归技术，构建基于稳定安全系数的边坡可靠指标估算方程；分析回归系数与坡高、土体强度参数变异系数关系特征，讨论估算偏差随安全系数和土体强度的变化趋势。研究成果对完善路基工程设计的边坡稳定可靠性评价具有参考价值。

1 稳定分析模型及计算方案

1.1 安全系数与可靠指标

边坡稳定安全系数Fs通常定义为抗滑力矩与滑动力矩之比。对于简单土质边坡，一般基于圆弧滑动面假设，忽略土条间竖向相互作用，采用式（1）的Fellenius极限平衡法计算Fs：

式中，i为土条序号，n为土条数，ci、φi分别为土条i的黏聚力和内摩擦角，li、θi分别为土条i底边弧长与中点处切线的水平夹角，Wi为土条i的重力。

在边坡可靠性分析中，以Fs＜ 1表示边坡处于失稳状态，对应事件发生概率P[Fs＜ 1]为边坡失效概率Pf。采用Monte-Carlo法获取N个Fs，统计Fs＜ 1的数量为M；当N足够大时，由Bernoulli大数定理可知频率M/N收敛于真实Pf，如式（2）所示：

Fs服从正态分布时，按式（3）计算可靠指标β：

式中，μFs、σFs分别为正态分布变量Fs的均值与标准差，φ1(·)为累计标准正态分布函数的逆函数。

1.2 边坡参数及计算方案

边坡几何参数包括坡高h、坡率1∶m。路基工程在一般条件下的土质单级边坡坡高h≤8 m，方案中取坡高范围4～8 m。坡率变化主要受土质和坡高影响，单级土质边坡条件下一般按1∶1.5设计。

边坡土体强度参数包括黏聚力c、内摩擦角φ、重度γ等，按各参数相互独立且服从正态分布考虑。路基工程一般为土质边坡，黏聚力均值c多为5～25 kPa；内摩擦角均值φ多取20°～40°；重度均值 γ变化不大，一般取 γ=20 kN/m3。土体强度参数的变异性水平，采用变异系数δ表示，按式（4）计算：

式中，μ为土性参数均值，σ为土性参数标准差。

国内外大量工程建设对土性参数变异性做了系统勘查，表1为c、φ、γ的变异系数δc、δφ、δγ的变化范围。

表1 土性参数变异系数Tab.1 Coefficient of variation of soil parameters

由于δγ波动范围较小，分析中取δγ=0.05，不考虑δγ变化影响。δc和 δφ的变化相对较大，并多呈现“同大同小”变化规律[23]，一般有δc/ δφ≈2的关系特征，为此将δc和 δφ按一致性变化原则进行简化处理，划分为同变化的小、中、大3个等级，结果见表2。

表2 土体强度参数变异水平分级Tab.2 Classification of variation levels of soil strength parameters

为提高边坡稳定可靠性分析效率，避免β计算耗时过长，选取坡高4、6、8 m和强度小、中、大变异水平进行组合，制定如表3所示的9种计算方案。

表3 边坡参数组合及计算方案Tab.3 Combination of slope parameters and calculation schemes

2 计算数据及分析

2.1 可靠指标变化特性

针对表3计算方案，采用Fellenius法分别求得各方案下441个Fs值；同样地，通过Monte Carlo模拟进行可靠度计算，各组合下的试验次数N=50 000，获得相应的441个β值。图1为β与Fs的关系。

图1 不同计算方案下 β与Fs的关系Fig.1 Relationship between β and Fs under different calculation scheme

针对土体强度参数在不同变异水平下β ～Fs的映射特征，采用式（5）幂函数描述可靠度指标的上、下界限值 βu、βd随Fs变化关系：

式中，βu为β的上界限值，βd为β的下界限值，au与bu为对应于βu的回归系数，ad与bd为对应于βd的回归系数。各回归系数取值见表4。

表4 不同强度参数变异水平下回归系数Tab.4 Regression coefficients for different variation levels of strength parameters

由表4可知，回归系数与土体强度参数变异水平呈负相关。分析变异系数对回归系数影响时，为避免样本数量过少导致较大的回归偏差，增加了δc=0.15、δφ= 0.075及δc=0.25、δφ=0.125两组变异水平，并获得相应水平下的β界限回归方程系数，如图2和3所示。根据图2和3，可分别采用式（6）的负指数幂函数和式（7）的线性函数描述au及ad、bu及bd与δc的关系：

图2 au、ad与δc关系Fig.2 Relationship between au, ad and δc

图3 bu、bd与δc关系Fig.3 Relationship between bu, bd and δc

由式（5）、（6）和（7），根据安全系数、土体强度参数变异系数，可获得β波动范围的界限值，对土体强度参数不同变异水平下边坡稳定性给予一个区间评估，但不能确定边坡稳定的可靠指标β，故需构建一个多因素影响的β函数估算方程，对应为可靠指标估算值 βˆ，区别于可靠指标计算值β。

由于β既受土体强度参数均值及变异系数的影响，也与坡高有关，简单分析黏聚力均值c、内摩擦角均值φ对β影响，不能全面反映多因素影响下β的变化规律，且难以消去参数量纲，与无量纲指标β不匹配。为此，运用无量纲化技术处理c、φ，将φ正切化得摩擦系数并与Fs作商，得到内摩擦角无量纲参数tanφ/Fs，各计算方案下可得441个数据；黏聚力无量纲参数的获得，可在tanφ/Fs不变的条件下，寻得能较好地描述β变化规律且以c为变量的函数表达。分别取坡高h为4、6、8 m，得到对应h下的tanφ/Fs∈[0.125,0.406]、[0.163,0.452]、[0.194,0.481]，依据tanφ/Fs的共同变化范围为[0.194,0.406]，取tanφ/Fs分别为0.22、0.28、0.36时对应上下波动0.02范围内的数据，绘制tanφ/Fs变化较小时的β或 βˆ～c关系曲线，如图4所示；表5为相应的土体强度参数变异水平、坡高h及tanφ/Fs这3个因素变化组合情况。

图4 β或 βˆ ～ c关系曲线Fig.4 Curves of β or βˆ versusc

表5 3个因素组合Tab.5 Combination of three affecting factors

由图4和表5可以看出，在tanφ/Fs基本相同的条件下，β与c呈正相关，可采用对数函数曲线进行描述。为避免c接近0时β趋于负无穷，采用ln(c+1)为基函数表达，表5中组合下的拟合曲线R2＞0.994，回归效果较好。此外，β与c也具有一定的线性关系，c接近于0时，ln(c+1)/c趋于1。因此，运用c的对数与线性函数的基函数组合对c无量纲化，可得黏聚力无量纲参数ln(c+1)/c。

综上，采用无量纲参数x(c)=ln(c+1)/c、y(φ)=tanφ/Fs描述β(x,y)，并依据控制变量法进行影响可靠指标变化的主要因素分析。首先，在y基本不变的条件下，对应表5组合下的x与β近似呈线性关系，可整体表达为拟合值 βˆ(x)=-Ax+C1，拟合曲线R2＞0.994，如图5所示。另外，在x不变的条件下，分析y=tanφ/Fs与β关系，可选取土体强度参数变异水平与坡高的一种典型组合进行讨论，图6为中变异水平下，h=6 m，c取6、12、18、24 kPa下的β ～y关系。由图6可以看出，c取值相同时，β与y呈正相关，采用幂函数得拟合值βˆ(y)=By2+C2，拟合曲线R2值为0.981～0.992。

图5 β或 βˆ与x关系曲线Fig.5 Curves of β or βˆ versus x

图6 β或 βˆ与 y关系曲线Fig.6 Curves of β or βˆ versus y

根据上述分析，无量纲参数x=ln(c+1)/c、y=tanφ/Fs在单变量控制条件下，分别具有 βˆ(x)=-Ax+C1线形函数和 βˆ(y)=By2+C2幂函数拟合关系。因此，在x、y的综合影响下，可构建组合函数 βˆ(x,y)=By2-Ax+C对β进行描述；通过数学等式变换，得 βˆ=C{1+(A/C)[(B/A)y2-x]}，令ζ=C、η1=A/C，η2=B/A，得到式（8）可靠指标估算值 βˆ与c、φ、Fs的关系式：

式中，Fs为变量c、φ的函数，系数ζ、η1、η2受坡高与土体强度参数变异性影响。

2.2 影响可靠指标的主要因素

在坡高h相同条件下，可靠指标β主要受土体强度参数变异性影响。图7为h=6 m，土体强度参数处于小、中、大变异水平下，β计算值散点及运用式（8）对散点进行拟合的 βˆ曲面，拟合优度R2分别为0.975、0.976、0.975，回归方程构建良好。由图7可知，β拟合曲面随强度参数变异水平增加呈顺时针方向旋转，即可靠指标与土体强度参数变异水平具有负相关性。

图7 强度参数变异性对可靠指标影响Fig.7 Influence of the variability of strength parameters on reliability index

在土体强度参数均值及变异系数相同的条件下，可靠指标β主要由坡高h决定。图8为土体强度参数为中变异水平，h取4、6、8 m，由β计算值采用式（8）进行回归的 βˆ曲面，对应的R2值为0.969、0.976、0.965，拟合效果较好。结果表明，β回归曲面随坡高h增大整体向下平移，即可靠指标与坡高呈负相关。

图8 坡高对可靠指标影响Fig.8 Influence of slope height on reliability index

3 可靠指标估算及偏差分析

3.1 估算方程回归参数

由式（8）组合函数可知，βˆ与c、tanφ、Fs具有显著的非线性，主要受坡高与土体强度参数变异性综合影响。根据表3中9种边坡计算方案，可得可靠指标估算值 βˆ与c、tanφ、Fs函数关系式的回归系数ζ、η1、η2，见表6。

表6 可靠指标估算方程回归系数Tab.6 Regression coefficients in the estimation function of reliability index

回归系数ζ主要随土体强度参数变异性增大而减小，定义其为材料效应因数。h取4、6、8 m时的(δc,ζ)散点如图9所示；基于Levenberg-Marquardt算法，按式（9）双曲函数描述δc与ζ的关系：

图9 ζ～δc关系曲线Fig.9 Curve of ζ versus δc

η1、η2仅受坡高h影响，定义为其几何效应因数。取坡高h为4、5、6、7、8 m，得到图10所示的散点图及拟合曲线。

图10 η1、η2随h变化曲线Fig.10 Curves of η1 and η2 versus h

由图10可知：η1与h呈良好的线性关系，回归方程为式（10）；η2随h增大而非线性减小，采用式（11）负幂函数回归。

3.2 估算偏差分析及区域划分

根据坡高、安全系数、土体强度参数均值及变异系数，由式（8）获得边坡稳定可靠指标估算值 βˆ。同时，采用Monte Carlo模拟可获得边坡参数相同条件下的可靠指标计算值β。按表3计算方案，获得的 βˆ与β散点位于1∶1均等线附近，如图11所示。这表明 βˆ与β具有良好正比关系。

图11 β与 βˆ关系Fig.11 Relationship between β andβˆ

采用式（12）表达的相对分析误差RPD（relative percent deviation）进行估算模型预测能力评价，得RPD =11.4192，方程的估算效果较好。

式中，Ns为(βˆj, βj)样本数，j为样本序号，β为βj平均值。

土体强度参数均值c、φ取值为工程常遇范围时，可靠指标的估算偏差主要受土体强度参数变异系数及坡高影响，见表7。

表7 变异水平与坡高对可靠指标估算偏差影响Tab.7 Influence of the variation level and slope height on the estimation bias of reliability index

由表7可知：土体强度参数变异水平位于小～大区间，坡高分别为4、6、8 m，对应的RPD为14.115、12.519、8.983，呈单调递减趋势；坡高在4～8 m范围，土体强度参数分别为小、中、大变异水平，RPD的相应值为6.183、6.295、6.187，波动幅值较小。可靠指标的估算偏差受土体强度参数变异水平影响大于坡高，且随坡高提升呈增大趋势。

图12为坡高h取4～8 m，土体强度参数为小～大变异水平下(Fs, Δβ)散点图，其中，估算偏差Δβ= βˆ-β值分布在以Δβ=0为中心的-1.25～1.37范围。为此，将Δβ值分布范围划分为4个区域，即：区域I1，Δβ∈[-0.5,0]；区域I2，Δβ∈[0,0.5]；区域I3，Δβ＜-0.5；区域I4，Δβ＞0.5。可进一步将I4划分为I4s和I4f，对于I4s区域，Fs∈[2.051,3.064]，明显大于1.15～1.25的安全系数工程设计值[24]，相应的β∈[7.096,10.504]，大幅超过了一般边坡工程设计的2.7～3.7目标可靠指标[25]，即区域I4s内的边坡稳定可靠指标估算值虽然高于计算值0.5，但边坡仍然具有较高安全性；对于Fs≤1.377的I4f区域，Fs∈[0.926,1.377]，相应的β∈[-1.627,5.148]，计算工况中的边坡稳定性评价指标Fs与β均有低于工程设计控制值的数据，边坡存在一定失稳风险。进一步统计分析可知，土体强度参数分别为小、中、大变异水平时，Δβ分布于风险区域I4f范围的百分比分别仅有2.94%、0.91%、0.15%，总体仅占1.33%。

图12 Δβ与Fs的关系Fig.12 Relationship between Δβ and Fs

在土体强度参数处于小～大变异区间，坡高为4～8 m条件下，土体强度参数均值c、φ与估算偏差Δβ关系等值线及区域I1、I2、I3、I4s、I4f分布范围如图13所示。由图13可知，区域I1面积最大，多分布于c∈[5 kPa,25 kPa]、φ∈[25°,35°]范围；I2面积次之，相应强度参数c∈[5 kPa,25 kPa]，φ∈[20°,25°]∪[35°,40°]；估算值显著偏低的I3面积微小，分布在c≈5 kPa，φ∈[27°,40°]狭长范围；估算值显著偏高但稳定安全系数Fs≥2.051的区域I4s分布在φ≈20°、c∈[21 kPa,25 kPa]和φ≈40°、c∈[10 kPa,22 kPa]两个窄条形区域；对于估算值显著偏高且Fs≤1.377的I4f存在风险区域，强度参数均值分布于c∈[5.00 kPa,7.69 kPa]、φ∈[20.00°,21.77°]较小范围。风险区域I4f与I2的分布范围，Δβ=0.50或Δβ=0.25界线近似满足式（13）或（14）的2次抛物线函数：

图13 Δβ随 c 、φ变化等值线图Fig.13 Contour map of Δβ versus c andφ

4 讨 论

为进一步评价边坡稳定可靠指标估算模型的适用性，选用文献[26-28]中坡率为1∶m=1∶1.5的简单土质边坡算例进行比较分析，边坡参数及稳定可靠指标见表8，参数变异系数取δc=0.2、δφ=0.1、δγ=0.05。依据本文模型获得的估算值 βˆ与文献算例可靠指标β之间的误差较小，估算偏差Δβ∈[-0.3,0.1]，相对偏差εβ∈[-4.89%,5.08%]。

表8 边坡稳定可靠指标估算偏差Tab.8 Estimation bias of slope reliability index

事实上，铁路和公路工程中的路堤还会承受车辆及上部结构荷载，对边坡稳定性有一定影响。进行路堤边坡稳定安全系数计算时，一般将路基面以上的车辆等荷载简化为等效静荷载，其中，公路工程换算成分布于路基面的满布荷载[29]，铁路工程多按条形荷载布设于路基面[30-31]。对于铁路路堤边坡，列车和轨道的变异系数δq=0.07[32]，与边坡土体重度的变异系数δγ=0.05差异不大，因此，计算考虑路基面荷载作用影响的路堤边坡稳定可靠指标βq，直接按等效条形荷载处理；而采用本文模型估算可靠指标βˆq时，可将q换算成满布于路基面的等土体重度及等变异性的土层，通过增加土层换算厚度h0至原路堤高度h反映。

铁路路堤的单线等效条形荷载q平均值和分布宽度为μq=60.625 kN/m2、b=3.6 m，荷载边缘距离坡顶的宽度b′=2.35 m。依据表3计算方案，基于Fellenius法与Monte Carlo模拟，获得考虑荷载作用的路堤边坡可靠指标计算值βq，同时采用本文模型获得相应估算值q。图14为βq与关系散点，绝大多数都位于1∶1均等线附近，相对分析误差RPD=8.292，表明建立的模型对路堤承受车辆荷载作用的边坡稳定可靠指标估算仍具有良好适用性。

图14 βq ～ βˆq关系Fig.14 Relationship between βq and βˆq

5 结 论

针对常用坡率下简单土质边坡稳定分析模型，依据Fellenius极限平衡法与Monte Carlo模拟，开展了基于稳定安全系数的路基边坡可靠指标快速估算方法研究，主要有以下结论：

1) 边坡稳定可靠指标β随稳定安全系数Fs增加总体呈负幂函数增大趋势，其波动范围亦相应扩大；β的 上、下 界 限 值 βu、βd与Fs间 存 在 βu=au(1-Fsbu)、βd=ad(1-Fsbd)的拟合关系式。回归系数主要由土体强度参数变异性决定，au、ad呈负指数幂函数衰减，bu、bd近似线性降低。

2）运用无量纲化和多元非线性回归技术，建立了可靠指标估算值 βˆ与安全系数Fs、土体强度参数均值c、φ的组合函数表达式，主要受强度参数变异性影响的材料效应因数ζ随变异系数增大而呈双曲线形减小，而边坡几何效应因数η1、η2随坡高增加分别表现出线性增大、负幂函数减小趋势。

3）基于边坡土体和几何参数建立的可靠指标估算模型具有良好预测能力，估算偏差受强度参数变异性影响大于坡高。常遇边坡参数下，可靠指标估算偏差Δβ ＜0.5的区域占比超过99%；对于Δβ≥0.5且Fs≤1.377的风险区域，强度参数均值满足不等式φ≤18.52+1.5c-0.17c2。