非对称偏馈环形网状天线索网预张力设计方法

范叶森,聂锐,何柏岩,杨癸庚

1.西安空间无线电技术研究所,西安 710100 2.天津大学 机械工程学院,天津 300350 3.西安理工大学 机械与精密仪器工程学院,西安 710048

1 引言

星载环形网状天线具有收缩比大、质量轻、热稳定性优良等特点,在通信和遥感领域有着广泛应用[1-3]。如图1,环形网状天线是一种典型张拉一体结构,设计人员通过对索网结构内部的索段施加预张力,在索网与桁架的协调变形作用下达到平衡态并形成预先设计的网面形状[4-5]。工程经验和理论分析均表明,索段预张力分布对索网结构的固有频率和网面精度保持性具有重要影响。在环形网状天线索网预张力设计中,有两个重要设计指标[6-10]:型面精度和张力分布均匀性。型面精度用实际网面节点与理想网面节点坐标的均方根误差来表示。该数值越小,型面精度越好,越有利于实现良好的电性能[11];张力分布的均匀性一般用张力比(索段最大张力与最小张力的比值)来表示,张力比越小,越接近于1,张力分布的均匀性越好[12]。均匀的张力分布有助于天线在空间热载荷环境中保持精度稳定,进而有助于天线电性能的保持[13-15]。

环形网状天线索网预张力设计(索网找形)的目的是要寻找能使天线平衡状态满足高精度型面要求的一组特定的索网预张力配置方案[16]。当前有关环形网状天线预张力设计的研究,大多不考虑桁架柔性变形对网面形状和张力分布的影响,而仅对索网结构进行预张力设计。这种方法虽然也能实现满足要求的型面精度,但由于设计阶段忽略了环形桁架与柔性索网的协调变形,容易造成实际成型表面与设计型面的偏差,后期需要耗费大量的人力、物力进行调试,且易导致索网内部张力分布不均匀,不利于天线服役期间型面精度的保持[17]。此外,在计及桁架柔性变形的预张力设计研究方面仍存在一些问题:例如找形结果中不可避免地产生找形误差、索网张力分布的均匀性难以保证、建模过程较复杂不利于工程应用等[18]。目前关于网状天线索网设计方法的文献多针对轴对称环形网状天线开展研究,该类型天线主网边界节点在同一平面,结构形式较为简单;而对于非对称偏馈正圆形网状天线,因其结构形式不再满足对称性,该类型天线索网上的边界节点并不完全在同一平面内,结构形式较为复杂。在考虑桁架变形的非对称偏馈环形网状天线预张力求解过程中,现有预张力设计算法尚存在计算结果不收敛、局部或整体计算效率不理想等不足。

为了更好地满足复杂网状天线工程设计需求,本文提出一种计及桁架柔性的环形网状天线综合找形方法。充分考虑桁架与索网的协调变形效应,通过内部索网设计与周边桁架柔性变形的迭代,实现满足高精度型面要求的索网预张力优化配置。在算例分析中,本方法与基于刚性桁架假设的找形方法进行对比,验证了进行预张力设计时计及桁架柔性的必要性以及本文设计方法的正确性和有效性。

2 求解方法

2.1 分析模型

图1所示为环形桁架偏馈网状天线,该类型天线主要由主网、副网、张力阵和桁架等部分组成。将桁架上环面中心设为坐标原点o,在此建立全局坐标系o-xyz。其中x轴指向桁架与支撑臂,z轴正向指向反射面开口方向,与桁架轴心线平行,三条坐标轴的位置关系满足右手定则。主网和副网在xoy平面内的投影是确定的,通过桁架投影圆心的绳索投影被等分成10段,同时三角形平面的投影都是正三角形。

图1 环形桁架偏馈网状天线计算模型Fig.1 Calculation model of an offset-feed mesh reflector antenna

天线在展开过程中各铰链为活动连接,展开到位后铰链锁定,桁架由机构变为结构。各铰链的连接杆件为中空直杆,其材料属性和内、外径不变,将每根杆件视为单个梁单元,各相互连接的杆件间具有共同节点。当索段连接到杆件中部时,须在连接点处增加一个节点,即将该杆件划分成两个梁单元。桁架杆件在三维空间内发生复杂变形,包括轴向变形以及两个主平面内的弯曲、扭转等。

图2为任意桁架单元e在局部坐标系o′-x′y′z′下的示意图。单元e的两个节点分别为i和j,将节点i作为单元e局部坐标系原点,x轴与杆件轴线方向重合。x′o′y′和x′o′z′为杆单元ij两个弯曲主平面。对于任意梁单元,节点包含6个自由度(3个线位移和3个角位移)。故在局部坐标系o′-x′y′z′中,节点i的位移向量可表示为:

(1)

图2 桁架单元局部坐标示意Fig.2 A truss element in the local coordinate system

同理,节点j的线位移和角位移向量可表示为:

(2)

梁单元e的节点在局部坐标系下的位移可记为:

(3)

梁单元e在局部坐标系下的刚度矩阵可表示为

式中:G为单元的剪切模量;Jp为单元的截面极惯性矩;Jx和Jy为主平面内的截面惯性矩;lb为桁架杆件长度;Eb为桁架杆件的弹性模量;Ab为桁架杆件的截面积。

为获得全局坐标系o-xyz下的桁架载荷和节点位移基本方程,须将单元在局部坐标系下的节点位移、单元刚度矩阵转换到全局坐标系。对于桁架单元e,令{δ)e为单元e在全局坐标系下的位移向量,Te为局部坐标系o′-x′y′z′到全局坐标系o-xyz的变换矩阵,其位移的变换关系式可表示为:

{δ)e=Te{δ′)e

(5)

(6)

(7)

式中:φe为局部坐标系o′-x′y′z′相对于全局坐标系o-xyz的方向余弦矩阵。

(8)

在单元刚度矩阵基础上,根据桁架各杆件连接关系,将单元刚度矩阵进行总装,得到环形网状天线桁架结构在全局坐标系o-xyz下的刚度矩阵Ktruss。则桁架结构的整体平衡方程可表示为:

Ktrussδtruss=Ftruss

(9)

式中:Ftruss为桁架在全局坐标系o-xyz下的节点载荷向量;δtruss为桁架在全局坐标系o-xyz下的节点位移向量。

2.2 索网预张力计算流程

本文提出的环形网状天线预张力综合设计算法将整个天线结构分成两部分:外部桁架和内部索网,如图3所示。索网结构与桁架相连的节点作为耦合节点处理,其它节点称为自由节点;与桁架相连的绳索作为边界绳索,其它绳索为内部绳索。

索网体系与桁架结构在耦合节点处相连,索网内部施加预张力,边界绳索必然会对桁架产生作用力,从而引发桁架弹性变形,桁架节点相对于初始位置发生偏移,边界绳索作用力减小。在这种耦合作用下,索网和桁架最终达到平衡状态。上述过程中,桁架柔性变形对天线结构平衡态产生重要影响,导致索网内部预张力分布发生变化,最终影响反射面成型精度。因此,在对环形网状天线进行预张力设计时,必须充分考虑桁架柔性以及桁架与索网的耦合变形对索网平衡态形状及张力分布的影响。

图3 计算模型的拆分结构Fig.3 Split structure of the calculation model

图4 预张力综合设计算法的基本步骤Fig.4 Analysis process of the proposed pretension design algorithm

(10)

4)重复以上步骤,直到满足收敛准则,即相邻迭代步耦合节点的最大位移之差ΔDmax小于10-6m。

迭代停止后,考虑桁架变形的索网天线将处于平衡状态,内部节点都处于理想位置,最大绳索张力比小于给定值,同时桁架变形得到补偿。

3 数值计算与分析

采用本文提出的预张力综合设计方法对图1所示天线模型进行预张力设计,以验证算法正确性和有效性。主索网与副索网的索段编号如图5所示,该算例中环形网状天线的结构参数如表1所示。

本文采用的天线模型包含481根索段,其中主、副索网均包含210根索单元,张力阵包含61根索单元。其中,主索网的索段单元编号为1-210,张力阵的索段单元编号为211-271(垂直于视图方向),副索网的索段单元编号为272-481。

图5 主副索网索段编号Fig.5 Cable numbering of the functional and auxiliary meshes

表1 环形网状天线的结构参数

3.1 算法可行性验证

由上述计算步骤可知,在进行预张力设计时,桁架必然会发生变形。目前,很难通过商业软件对桁架进行预弯曲设定,无法直接将计算结果导入商业软件进行验证。但是考虑到索网与桁架在边界节点处相连接,如果索网结构和桁架都处于稳定状态,则整个天线就处于稳定状态。因此可以对算法的正确性进行间接验证,具体步骤如下:

(1)桁架变形验证

将边界索网张力施加到桁架上,分别用ANSYS软件和自编程序进行结构变形分析。通过对比两种方法的计算结果是否一致,验证本文的有限元桁架分析程序正确性及计算结果有效性。

(2)索网结构稳定性验证

根据桁架变形计算结果,提取索网耦合节点坐标,将此时的耦合节点位置作为索网边界条件。将绳索预张力综合设计结果转化为绳索预应变导入ANSYS软件进行分析,若索网各节点最大位移小于某一定值(本文设定为1×10-6m),则认为索网处于平衡状态。

图6为环形桁架在边界绳索作用下的变形情况,6(a)和6(b)分别为ANSYS软件分析结果和本文方法计算结果,图中给出了桁架初始位置和变形后位置。为清晰描述桁架变形,对位移

图6 桁架变形示意Fig.6 The truss deformation

进行了适度放大。其中,图6(a)中的变形位移放大倍数由ANSYS软件自动设定,图6(b)中变形位移放大倍数为20。算例中ANSYS计算得到的桁架变形最大位移为20.614mm,本文方法计算得到的桁架变形最大位移为20.390m,两种方法的相对误差为0.224mm,且两种方法得到的桁架变形规律一致。

为提取各耦合节点坐标,为后期分析做数据准备,对桁架主要节点位移进行分析。图7为桁架各主要节点位移,其中节点1到30为桁架上环面节点(节点在铰链处),节点31到60为主网边界绳索与桁架连接点(绳索与桁架的耦合节点),节点61到90为桁架下环面节点(节点在铰链处)。

图7 桁架主要节点位移Fig.7 Displacements of the truss nodes

图7给出了两种算法得到的桁架各主要节点位移及其差值。可见,最大差值出现在节点15处,差值为0.295mm。考虑到桁架口径10m之大,且不同算法的收敛条件和数值截断误差差异,可认为采用两种方法计算得到的位移值一致,从而验证了本文桁架变形计算模型的正确性。

通过分析桁架与绳索的耦合点位移,可得到进行索网分析的边界条件。根据索网边界条件和绳索预张力,可通过ANSYS软件验证索网结构是否平衡。图8为将索网结构的预张力综合设计结果导入ANSYS得到的计算结果。

由图8可知,索网各节点最大位移为6.71×10-17m,即在考虑桁架柔性变形情况下,采用该方法得到的索网预张力可使索网处于平衡状态。

图8 索网结构变形分析Fig.8 Analysis of the deformation of the cable net structure

为进一步验证该计算结果正确性,还需分析计算结果是否满足收敛条件。由图4可知,每一次迭代计算得到的节点坐标,不断靠近满足工程需求的节点位置,且每一步得到的耦合节点位置与上一步节点位置间的差值逐渐减小。

图9给出了耦合节点在相邻两次迭代过程中位移差值的最大值ΔDmax。可见,随着迭代次数的增加,ΔDmax逐渐减小。在该算例中,经过200次迭代,ΔDmax=1.936×10-8mm。由以上分析可知,该计算结果可以使整个索网结构处于平衡状态,故本文提出的预张力综合设计算法是切实可行的。

图9 计算结果收敛分析Fig.9 Convergence analysis of the calculation results

3.2 索网预张力综合设计结果分析

图10为采用本文方法得到的张力索网与桁架耦合分析示意图。尽管桁架发生了扭曲变形,但索网的自由节点仍处于理想位置,这是因为每次迭代都使用解析算法对索网预张力进行计算,而解析算法可以使主网各自由节点保持在理想位置不动。因此,即使桁架发生了柔性变形,本章算法所得计算结果仍能使主网各自由节点保持在理想位置。

图10 索网结构与桁架耦合分析示意Fig.10 Compatible analysis between the cable net structure and the truss structure

主网型面误差用δrms表示,如式(11),其表征了主网各自由节点偏离理想位置的程度。δrms越小,表示网面的实际型面越靠近理想型面。

(11)

根据绳索预张力综合设计方法的基本步骤,首先应给出迭代运算初始值。假设桁架为理想的刚体圆环,使用解析算法进行索网预张力设计。

图11和表2为初次预张力设计结果。可见,尽管计算模型为偏馈索网结构,主网和副网的张力比仍然较小,且没有产生找形误差,完全满足工程需求,这进一步证实了本文所采用的解析算法是可行的。

图11 初次预张力设计结果Fig.11 Initial pretension design results of the cable net

表2 初次预张力设计结果统计分析

如图12和表3所示,根据图4中的计算步骤,经过200次迭代,得到了一组考虑桁架变形、达到收敛条件且满足工程需求的绳索预张力。可以看到,通过在索网预张力优化设计中考虑桁架柔性变形,可使得桁架变形影响下索网平衡状态的张力均匀性仍然较好,这是因为桁架变形的位移对绳索之间的几何夹角影响较小,对预张力分布影响也较小。

图12 考虑桁架变形绳索张力分布Fig.12 Tension distribution of the cable net after considering the truss deformation

由表2和3可知,索网结构预张力能使主网各自由节点在理想位置保持不变,使主网的平均索段张力保持不变。因此本文提出的预张力设计算法,在考虑桁架柔性变形情况下,仍能使主网各自由节点保持在理想位置,从而获得较高的型面精度。

为进一步分析桁架变形对网面成型精度的影响,将忽略桁架变形的索网预张力设计结果代入环形网状天线整体模型中。在结构达到平衡状态后,记录索网预张力分布情况和型面精度,如图13和表4所示。

图13 桁架变形对稳态绳索张力分布影响Fig.13 The influence of the truss deformation on the tension distribution

表4 桁架变形对稳态绳索张力分布影响统计分析

表3表示的是采用本文所提出的算法可在考虑桁架变形之后仍能实现找形误差为0,表4表示的是在不考虑桁架柔性变形的情况下直接将找形结果施加于桁架上会产生较大的找形误差。可以看出,桁架柔性变形会导致主索网和副索网张力比急剧增加,索网张力分布均匀性下降;此外,主索网偏离理想型面,将为后期网面调试带来较大困难。因此,对于大孔径或桁架刚度较小的索网天线,绳索预张力设计必须考虑桁架变形的影响。而本文提出的索网预张力设计方法为计及桁架变形的高精度索网设计提供了有效的算法保障。

4 结论

本文提出一种考虑桁架柔性变形的非对称偏馈环形网状天线预张力设计方法,重点论述了该设计方法的基本原理和计算步骤,并对计算模型进行了系统分析,结论如下:

1)在环形索网天线预张力设计中,桁架柔性变形会对整个天线结构平衡态产生直接影响,造成索网节点位置变化、索段张力重新分布,影响天线网面成型精度和张力均匀性,后期需耗费更多的人力物力进行网面调试。

2)本文提出的网状天线预张力设计方法通过内部索网预张力分析与外部桁架变形计算的多次迭代,寻找满足天线平衡态精度和张力要求的绳索预张力配置方案,可实现非对称偏馈环形网状天线网面高精度设计,有效缩短后期索网结构型面精度调试周期。