比较,让数学思维向深处漫溯

马晓燕

比较是人们认识事物本质的思维方式，是提升思维品质最有效的方法之一。在教学中，我们往往需要根据教材的特点和教学的需要，或比较概念，在辨中明理;或优化解法，在比中择优;或归类分析，在联中融通，促进学生深入思考，更清晰、更透彻、更理性地思考问题，获得规律性的认知。下面，笔者以人教版五年级下册数学广角《找次品》为例，谈谈比例在该课中的应用。

《找次品》一课要求学生通过观察、比较、猜测、实验、推理等活动，在一群合格品中找出一个质量较轻或较重的次品，感受数学在生活中的广泛应用，体会解决问题策略的多样性及运用优化方法解决问题的有效性，进一步培养学生的思维能力。

一、问题驱动，在比较中加深理解

建构主义强调：让学生在真实的教学情境中带着问题学习，以探索问题的解决方法来驱动和维持学习的兴趣和动机。学生在探索解决问题的过程中，通过比较、分析、推理等方法，使数学知识的理解更深入。

在《找次品》一课中，教师没有从简单的2个、3个、4个零件入手，让学生说一说怎么找次品;而是直接出示8个零件，其中有一个次品较轻，问你会怎么称？

生：我在天平两边各放4个，次品在轻的4个中;再两边各放2个，次品在轻的2个中;接着两边各放1个，次品就找出来了。

生：我先两个两个地称，如果不平，轻的那两个再各放一边，两次就称出来了。但如果是平的，说明在剩下的4个中，再两边放2个，找到轻的2个，最后两边放1个，轻的那个就找出来了，这样需要3次。

如果学生事先没有学习过找次品的内容，能像上面这两位同学这样条理清楚地表述已经很不错了，且下面坐着的大部分同学也大都按照8（4，4）或8（2，2，2，2）的方法。显而易见，这样的分法都需要3次。这时那些提前学过奥数的同学急着举手：“我、我、我……”“不急！”教师笑着说，我们再来从9个零件中来找一找吧，如果是9个零件，你又会怎么称？

生：我先在天平两边各放4个，平的话，剩下的那个就是次品，1次就够了。

底下的同学“哗”地笑出来了，“这是好运气，中大奖了，要考虑最差情况！”有同学嚷嚷着。

生：不平的话，可以接着称，两放各放2个，找出轻的2个;再两边各放1个，次品就找出来了。我觉得也是3次。

生：我感觉可以两边各放3个，次品一定在其中的3个中;再两边各放1个，平的话，剩下是次品，不平的话，轻的那个就是次品，这样2次就可以了！

这时同学们明显地感觉到了9（3，3，3）的分法明显比9（4，4，1）的分法要好。

师：对呀，可是奇怪了，为什么8个零件要3次，9个零件却只要2次呢？

教室里一下子安静了。

生：我觉得上面8个，是分成4和4，只有两份，而9个是分成了3、3、3，分成三份了。

生：9分成4、4、1也是三份呀？

生：是不是平均分三份，称的次数会少一些吧？

生：可是8个不能平均分成三份呀？

生，可以把8分成3、3、2，两边各放3个，平的话，次品在剩下的2个中，不平的话，次品在轻的3个中，再两边各放1个，这样的确两次就可以了。

就这样，在问题的驱动之下，学生对8和9的两种不同分法进行比较的热情空前高涨。教师也趁热打铁，在8（4，4）的分法中，称一次，次品锁定在4个零件中;在8（3，3，2）的分法中，称一次，次品最多锁定在3个零件中，所以少称了一次。在教师的点拔中，学生不仅明白了需要把零件尽可能地平均分成三份这种分法，更理解了分三次且尽可能地平均，原来是因为要把次品尽可能地缩小在最小的范围内。如果说，前者学生对自己探究到的方法是喜悦的，那么当理解之后，那种喜悦就上升为满足了。

二、多元表征，在比较中优化方法

在《找次品》一课中，为了使别人明白自己是怎么解决问题的，学生需要清晰、有条理地表示出逻辑推理的过程。如何把思维过程以外显的方式表征出来，对学生来讲有一定的难度。在前面8个、9个零件中找次品，教师让学生自由表征自己的想法，学生的表现形式也各不相同。

方法一：全文字表述。

反馈意见：学生表示听听还可以，看着字数太多，密密麻麻的，不简洁。而且如果零件总数增多，推理的步骤也相应增加，用文字表述的話可能是一大段了。

方法二：画图表征，图文结合。如8个零件，书上和习题本中都这样表述：

反馈意见：学生表示这种表述方法比全文字来得清晰，但所花费的时间不少反增。的确，文字一个不见少，还要画框、画箭头，虽然规范，但的确不受学生欢迎。

那么，怎样的表述方法方便快捷又简洁明了，体现数学的特征呢？在这种需求下，教师出示了征集令，让学生创意，比较各种表征方式，只要合理，我们就统一选用。让我们一起来看一下，最终被大家一致认可的方案是：

在多种方法的比较中，学生感觉到，一要能表现出称的全过程，二要简洁明了，不仅是自己明白，还要让其他同学都能看懂。而这些标准，是在几种方法不断地比较中突显出来的，有比较，就能选择。

三、类比推理，在比较中走向深刻

类比是指在新事物与已知事物之间的某些方面作类似的比较，把已经获得的知识、方法、理论迁移到新事物中，从而解决新问题。类比不仅是一种富有创造性的方法，而且更能体现数学的美感。在《找次品》一课中，如果只满足让学生找出次品，用流程图表示的话，这堂课还不尽完美，因此，在课末教师还增加了这样几项内容：

1. 引入“你知道吗？”

在教师让学生练习找15个、27个、81个……零件的次品时，教师让学生说说：为什么15个零件称3次，而27个零件也只要称3次呢？里面有什么规律？引起了学生兴趣后，教师再让学生去看一看书上的“你知道吗”，说一说你看懂了什么？在强烈的好奇心下，学生对（   ）-（   ）个零件称2次、3次、4次马上找到了其中的规律。教师还不满足，抛出了问题：有一堆零件中有一个较轻的次品，小明称了4次就称出来了，这堆零件可能有几个？这是一种逆向思维，你不问学生可能想不到，但你一问，学生就会从表中反过去看，一下就找到了答案。

2. 增加天平的托盘

在现实中，天平都是只有两个托盘的，所以我们是把零件均分成三份。但如果有一个与众不同的天平，它有三个托盘，每个托盘内都可以放物品，并且能测量出三个托盘内最轻的一个物品。现有63个外观相同的乒乓球，其中一个为次品，较轻，则用该天平最少称几次就能找出这个乒乓球？

在这道题目中，63要分成几份是关健，而这个关键应该和托盘数量有关。有三个托盘，均分成4份比较合理。63（16，16，16，15），16（4，4，4，4），4（1，1，1，1），这样三次就可以称出了。

如果是这种有三个托盘的天平，经过上面的解题，你也能像“你知道吗”那样找一找规律吗？这个作业作为数学研究报告完成，结果学生并没有被难倒，竟有多位学生找到了其中的规律。

3. 次品不知轻重怎么称

次品不知道是轻是重该怎么称，这是一个相对较难的题目，因此我们的探究也从最简单的数据开始。4个零件中怎么找？天平两边各放1个，如果是平的，说明这两个都是正品。拿其中一个正品和剩下的其中一个去称，如果是平的，第4个是次品;如果不平，那么第3个是次品。当然，如果一开始称的时候是不平的，那么剩下的2个一定是正品，同理用正品和1去称，平的2是次品，不平1就是次品。两次就可以解决，这和知道次品轻重的次数是一样的。那么5个是否一样呢？经过探究学生发现需要3次，6个、7个、8个呢？这些零件也都需要3次，由此我们做出了如下猜测：是否除了4个，其它的零件称法只要原来的次数+1呢？当然，这个内容课堂上无法完成，我也只要求有兴趣的孩子可以课外去思考一下。结果，学生永远比教师聪明，有学生证明了13个零件只要称3次就可以了，不需要加1。

比较是一切理解与思维的基础，运用比较让我们更容易抓住事物的本质，发现其中的规律，也促进学生的思维向更深处发展！