矩阵乘积的加权最小二乘广义逆的反序律研究

邱柏凤，熊志平

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

1 引言及预备知识

加权广义逆广泛地应用于矩阵方程近似求解、微分方程数值解、应用统计学等领域的大规模科学计算当中.大规模科学计算问题的解决要利用加权最小二乘技术（WLS）[2-3]，该技术的最佳逼近解可以用矩阵乘积的加权广义逆来计算，在计算过程中会产生一个关键问题：矩阵乘积的加权广义逆的反序律是否成立？20 世纪60 年代中期以来，矩阵乘积的广义逆的反序律受到极大的关注，并且得到了一些有趣的研究结果以及应用算法[3-6].近年来，矩阵乘积的加权广义逆的反序律理论与应用研究得到了长足的发展，逐渐成为了一个热点的前沿研究课题.

设Cm×n表示复数域中的所有m×n阶复矩阵构成的集合，Cm表示复数域中的所有m维复向量构成的集合，0m×n表示m×n阶零矩阵的全体，Im表示m阶单位矩阵，对于任意矩阵A∈Cm×n来说，A*,r（A）分别表示矩阵A的共轭转置矩阵和矩 阵A的秩，R（A）表示矩阵A的值域，N（A）表示矩阵A的零空间.

设A∈Cm×n，M和N分别为m阶和n阶的Hermite 正定矩阵，满足下列4 个方程：

的矩阵X∈Cn×m称为A的加权广义逆，记

对于集合{1,2,3M,4N}的一个子集{i,j,…,k}来说，A{i,j,…,k}表示满足方程（i），（j）,…,（k）的所有矩阵的集合.如果矩阵X∈A{i,j,…,k}，则称X为A的一个{i,j,…,k} 逆，记为X=A（i,j,k）.满足方程(1)和(3M)的所有n×m阶矩阵可以用集合A{1,3M}表示，A{1,3M}中的元素X为A的一个{1,3M}逆，记为X=A（1,3M），此时X也称为A的一个加权最小二乘广义逆.

本文利用广义Schur 补的极大极小秩，参见文献[7]和一些经典的秩等式与秩不等式[8]，给出了3 个矩阵乘积的加权广义逆的如下反序律：A3{1,3M3}A2{1,3M2}A1{1,3M1} ⊆（A1A2A3）{1,3M1}和A3{1,4M4}A2{1,4M3}A1{1,4M2} ⊆（A1A2A3）{1,4M4}成立的充分必要条件.

引理1[1]26设L和M是Cn上的两个互补子空间，PL,M表示沿着M到L上的投影算子，则

引理2[1]28-31设A∈Cm×n，X∈Cn×m；M和N分别为m阶和n阶的Hermite 正定矩阵，则

引理3[7]设A∈Cm×n，B∈Cm×k，C∈Cl×n和D∈Cl×k；M∈Cm×m为Hermite 正定矩阵，则

引理4[8]设A∈Cm×n，B∈Cm×k，C∈Cr×n则有下列矩阵的秩等式及秩不等式：

其中EA=Im-AA+和FA=In-A+A.

2 主要结果

这一节中，我们将给出3 个矩阵乘积的加权最小二乘广义逆的反序律成立的充分必要条件，相关结论在下面的定理中呈现.

结合公式（14）、（15）、（16）和引理4，可得

结合公式（11）、（12）、（13）和（17），可得

根据引理1，引理4 和定理1，很容易得出下列推论

推论1设，i=1,2,3是3 个Hermite 正定矩阵，则下列说法等价：

由引理2 可知X∈A{1,4N}当且仅当X*∈A*{1,3N-1}，因此根据定理1，很容易给出下述定理和推论，证明省略.

3 结论