具脉冲效应的渔业资源管理动力学模型

王明靖

（贵州财经大学数学与统计学院 贵州贵阳 550025）

脉冲微分方程不仅可以刻画生物种群中许多的自然现象，如渔业养殖中的脉冲投放食饵和脉冲收获等，还被广泛应用于种群动力学中的资源管理研究，已经形成了较完整的理论[1-3]。1798年Malthus提出人口模型之后，荷兰生物学家Verhulst引入环境最大容纳量，人口增长方程就被改进为Logistic模型[4-7]。

近十年来，有学者将数学模型应用于渔业生产实践，在渔业资源开发过程中，脉冲微分方程能够更准确地描述和刻画鱼种群的动力学行为，根据水中鱼的密度大小（鱼数量）实施控制，称之为“脉冲状态反馈控制”[8]。但很少有学者考虑利用脉冲微分方程系统切换的方法研究渔业资源管理。

本文以Logistic模型为基础，其中的环境容纳量是一个变量，它是关于时间t的函数，通过建立脉冲收获和扩大环境容纳量的系统切换来研究单种群渔业管理问题，从而为鱼种群的可持续生存提供有利条件，也为渔业资源管理提供有效的理论参考。

1 模型

考虑到鱼种群成体带来的经济价值，本文构建模型如下式（1）。文中内禀增长率是指在最佳的生存环境条件下，维持最适生活水平的鱼种群所具有的最大增长能力。此外，环境容纳量是指鱼种群在最佳的生存环境下所能维持的最大数量。环境容纳量的衰减系数是指水质恶化或鱼类小面积死亡对生存环境的影响。同时引入脉冲，对鱼种群进行脉冲投放食饵μ（并不是一直连续对鱼投放食饵），以此扩大鱼种群的环境容纳量，使得鱼种群数量在最佳生存环境中尽可能增长。经过一段时间的饲养后，小鱼会快速成长为成鱼，然后适时进行脉冲收获（类似捕大留小，而非竭泽而渔），这样就既创造经济价值，也不会破坏生态环境，从而促进渔业高质量发展。

其中，为鱼种群的密度；为鱼种群的环境容纳量；分别表示鱼种群在的内禀增长率；为种群在和的环境容纳量的衰减系数；表示在时投放食饵以扩大环境容纳量的量；h表示鱼种群在时的收获系数n表示正整数，表示种群的脉冲收获周期，也就是脉冲投放食饵以扩大环境容纳量的周期。

2 动力学分析

由陈兰荪的研究[3]，容易得到以下引理：

引理1假设是式（1）的解，即如果，那么当时，有

引理2式（1）的解为当t充分大时，存在一个常数使得

首先，研究式（1）的子系统：

引理3式（2）有全局渐近稳定的周期解。

证明：由式（2）的第1个方程和第3个方程，容易得到在脉冲点之间的解析解，即

频闪映射为

因此计算得到式（4）的唯一不动点

定理1如果满足那么式（1）的周期解是全局渐近稳定的。

证明：定义变换则式（1）对应的线性系统为

得到基解矩阵为

式（1）的第3个和第4个方程对应的线性化矩阵为

同理可得

基解矩阵为

式（1）的第7个和第8个方程对应的线性化矩阵为

由此可知矩阵M的特征值为

通过式（1）可得

另外，考虑比较方程

易求其线性系统的唯一全局渐近稳定的周期解为

定理2如果成立，那么式（1）是持久的。

证明：设是式（1）的解，由引理2可知，当时，有由式（1）有因此

由此可得

由式（1）可得

考虑脉冲微分方程

3 结论

本文通过种群动力学分析，验证了脉冲投放食饵扩大环境容纳量的切换单种群渔业管理模型，利用脉冲微分方程以及离散动力系统频闪映射理论，得出了渔业资源管理控制阈值的充分条件：

结论表明：适当的脉冲投放食饵扩大环境容纳量和脉冲收获对鱼种群的持续生存具有重要的促进作用，从而能够保护渔业资源。显而易见，脉冲投放食饵和脉冲收获的确比连续投食和连续捕捞效果好，其不仅能够降低成本，而且促进了渔业的可持续发展。