带电粒子在交变电场中的运动专题突破

张伟

摘   要：带电粒子在电场中的运动问题是一类典型的力电综合问题，是高考的热点之一。其中，带电粒子在交变电场中的运动问题难度较大，速度-时间图像是解决此类问题的有效方法。可以根据粒子所受电场力及其变化特点，结合粒子入射（或释放）时刻以及初始条件，作出粒子运动的速度-时间图像，或某一分运动的速度-时间图像，再借图展开思维。

关键词：带电粒子；交变电场；专题突破

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2023）4-0043-5

例题一 带电粒子沿电场线方向进入大小不变、方向变化的交变匀强电场：

某装置用电场控制带电粒子运动，如图1所示。在一边长为d的正方形ABCD区域内存在匀强电场，已知d足够大，电场强度大小为E，其方向沿竖直方向周期性变化，变化周期为T，规定竖直向上为正方向，其电场强度随时间的变化规律如图2所示。质量为m、电荷量为+q的粒子从BC边的某点进入电场，初速度很小忽略不计，粒子在纸面内运动，不计重力。

分析：这里应该注意两个问题：

第一，匀强电场的场强E大小不变，每半个周期反向一次。由加速度a，受电场力F=qE，可知a∝F∝E，因而带电粒子在电场中所受的电场力、加速度也是大小不变，每半个周期反向一次。带电粒子或是做匀加速运动，或是做匀减速运动。这样就可以利用带电粒子运动的速度随时间变化的图像来确定粒子具体的运动情况。

第二，带电粒子的速度与加速度同向时加速，反向时减速。匀强电场的场强反向时，带电粒子所受电场力、加速度立即反向，但速度不能立即反向，因为带电粒子也有质量，因而也有惯性。

解析 （1）带电粒子在t=0时刻进入电场后的速度-时间图像如图3所示，先做勻加速直线运动再做匀减速直线运动，一直竖直向上运动，所以带电粒子可以运动出电场。

例题二 带电粒子垂直电场线射入场强大小不变、方向变化的交变匀强电场：

某装置用电场控制带电粒子运动，如图7所示，在一矩形ABCD区域内存在匀强电场，AB边长为H，BC边长为L，电场强度大小为E，其方向沿竖直方向周期性变化，变化周期为T，规定竖直向上为正方向，其电场强度随时间的变化规律如图8所示，质量为m、电荷量为+q的粒子从装置AB边中点沿水平方向射入电场，已知带电粒子初速度为v0，在纸面内运动，不计重力。

（1）如果带电粒子在t=0时刻射入电场，要使带电粒子射出电场时速度恰好沿水平方向，H和L需要分别满足什么条件？

（2）如果带电粒子在t时刻射入电场，要使带电粒子射出电场时速度恰好沿水平方向，H和L需要分别满足什么条件？要使带电粒子射出电场时恰好与射入时共线，L需要满足什么条件？并画出带电粒子在一个周期内的运动轨迹。

解析 根据运动的独立性原理，要想使带电粒子射出电场时速度恰好沿水平方向，就要使此时其竖直方向的速度为零。

（1）在t=0时刻进入电场的带电粒子在竖直方向的速度-时间图像如图9所示，由图可知：当时间为周期整数倍时，其在竖直方向的速度恰好为零。

【考前冲刺强化训练】带电粒子沿电场线射入大小与方向均周期性变化的匀强电场：

某装置用电场控制带电粒子运动，如图12所示，左侧一矩形ABCD区域内存在匀强电场，电场强度方向沿水平方向，已知AB与CD之间的电势差随时间的变化规律如图13所示，在t=0 s到t=2 s时间内AB边电势高于CD边电势，变化周期T=4 s，电势差最大值Um=200 V，正对右侧一矩形A'B'C'D'区域内存在另一匀强电场，B'C'边长L=2×10-2 m，A'B'边长d=0.004 m，电场强度大小E2=5×103 N/C，方向沿竖直方向，一束电子以初动能Ek0=120 eV从装置AB边中点沿水平方向连续地射入电场，在纸面内运动，BC边很短，电子在穿过ABCD区域电场时所用时间很短，可忽略不计。

【考前冲刺强化拓展】 带电粒子垂直电场线射入大小与方向均周期性变化的匀强电场：

近邻的两个正方体均有一个面位于纸面内，现在取其位于纸面内的截面如图14所示，左侧区域内存在匀强电场，电场强度方向沿水平方向，已知CD与AB之间的电势差为U0，正对右侧区域内存在另一匀强电场，B'C'边长为l，A'B'边长为d，电场方向沿竖直方向，其右侧有一荧光屏，距C'D'边距离为L，一真空室内电极连续不断地发射电子（初速度不计），从装置AB边中点沿水平方向进入电场被加速，在纸面内运动，电子在穿过右侧区域电场沿其中轴线时所用时间很短，可忽略不计，当右侧区域没有电场时，电子最终打到荧光屏中点O，屏上与O在同一竖直线上的E与F距离O点均为■，若右侧区域电场强度随时间周期性变化，变化周期为T，现在要求从t=0时进入A'B'C'D'区域电场的电子最终打到屏上的E点，然后在时间T内亮点迅速上移到F点，形成一条竖直亮线，亮点到F点后又立即跳回到E点，以后周期性重复这一过程，已知电子的电荷量为e，质量为m。

（栏目编辑    陈  洁）