基于数学抽象素养的高中数学教学研究

武珏 陈艳红

摘要：《普通高中课程标准》中清晰地指出了六大数学与核心素养，六大数学核心素养之首是数学抽象素养。而向量有着几何和代数的相结合的身份，向量的理论和方法是解决其他学科：例如向量为物理学研究的重要工具。基于以上背景，本文选择在抽象素养培养方面具有代表性的平面向量的概念作为研究载体，系统研究数学抽象素养在课堂中的落实问题。

关键词：数学 抽象素养 平面向量概念

一、平面向量知识地位与作用

向量的地位在整个数学体系中非常重要。几何学为高中数学课程的几大主线之一，向量的引入为解决传统综合几何问题提供了新的思路，给学生的解题带来了便利。2017 年颁布的《普通高中中数学课程标准》提出了数学学科核心素养的概念，必修课程包括五个主题，平面向量及其应用在几何与代数中。

二、新旧课标对高中平面向量的概念要求

新课标提出要理解平面向量的基本要素。大小和方向是平面向量的基本要素，务必要与有向线段的三要素大小、起点和方向进行辨别。此次新《课标》中明确提出这一点，想必是为了让学生认清平面向量与有向线段的区别与联系，并进一步给出自由向量的概念。

三、高中数学“平面向量实际背景及基本概念”教材分析

（一）平面向量的概念来自于物理学“力”及生活中“位移”的抽象

史宁中在《数学思想概论》指出抽象深度大概可以分为简约阶段、符号阶段和普适阶段这三个阶段。张胜利，孔凡哲在史宁中教授提出的抽象深度的三个阶段的基础上进一步将数学抽象划分为四个层次：实物层面、半符号层面、符号层面、形式化层面抽象。比较这些步骤的异同点，认为实物层面抽象和半符号层面抽象属于史宁中教授提出的简约阶段。根据教材中所出示的抽象过程，可以得出向量的概念是基于物理学中的“力”抽象而成的。

牛顿最开始用的有向线段代表向量，是为了更好地表达力、速度、位移等物理学中基本的要素。在本质上，力的概念包括三个基本要素：力的作用点、力的方向和力的大小。能够同时表达这三个要素的数学符号就是向量：力的起点用作用点表示，力的方向用箭头表示，力的大小用长度表示。但在抽象的过程中，史宁中在《高中数学教学的核心问题——数形结合与数学模型》中提出在数学中向量是自由的；物理学或实际应用中，矢量是限定的，矢量的起点尤其重要，因为它是力的作用点。由此得知，这是属于抽象方式中的“弱抽象”，减弱物理中“力”的特殊性，舍去对象的“作用点”这一特征而仅抽取大小和方向来加以概括，形成比原对象“力”更为普遍、更为一般的“向量”对象的一种抽象方法。

四、教学目标

（一）知识与技能

1.了解向量的物理背景。

2.采用类比的方式，将物理中用有向线段表示力的大小和方向来掌握向量的表示方式，了解物理中矢量与向量间的区别。

3.掌握零向量、单位向量这两个特殊的向量的概念，学会辨别共线向量、相等向量以及相反向量。

（二）过程与方法

通过生活中的位移举例子，在熟悉的现实世界中抽象出向量的概念，掌握向量的表示方法。

（三）情感态度与价值观

1.通过观察生活实例，在抽象出平面向量的概念过程中来提升学生的数学抽象素养。

2.培养学生对数学学科的探究精神。

五、教学过程设计

（一）创设情境——引入概念

实物层面抽象：通过“位移”和“力”抽象出向量的概念

问题：金校长要把这次空中课堂上课所需要的物件送到需要的老师手上，那么金校长从学校O处出发，把东西送到A老师家，然后从A老师家再到B老师家，从O点到 A 点有一个位移，

[A][O][B] 问：位移和距离有什么区别？

学生预设：位移具有方向，而距离没有方向。

（设计意图：让学生在生活中去发现位移和距离之间的区别和联系，引导学生用数学的眼光看世界。

（二）观察归纳——形成概念

半符号层面抽象：类比数字的由来提出提炼共性、总结概念

问题：现实世界中同学们还发现是否有既有大小又有方向的量吗？请同学们举例说明，并相互讨论这些量是如何体现大小的方向？

学生预设：学生能容易地举出重力、浮力、作用力等物理中学过的量。

（设计意图：掌握抽象概念中丰富的实例，帮助学生提炼共性，初步认识概念的，为下一步的更进一步抽象概括做预备。）

教师：在物理学科中，这些既有大小又有方向的量统称矢量；在数学中如长度、时间等这些只有大小有方向的量统称标量。由同学们的思考和举例可知，现实世界中有只有大小没有方向的量，也有既有大小又有方向的量。类似于从一棵树、一朵花中抽象出“1”这个大小的数，数学中对位移、力既有大小又有方向的量进行抽象形成一种新的量——向量。

（三）讨论研究——深化概念

符号层面抽象：得到向量概念数学符号语言表达（几何表达）

老师：那么向量可以如何表示呢？请按照要求画出物体所受到的“力”学生活动：借助物理情境，借助物理背景进行研究。学生很容易找到各力的大小和方向。

老师：现在，只研究其具体的大小和方向，能观察出什么呢？

学生预设：具体物体可抽象出成点的概念，力可抽象成有向线段的概念。

老师：初中时学过线段可以用AB、a 表示，有向线段应该怎样表示呢？数学上规定了一种比较形象的表示方法，记做：AB，或者用[a→]表示，注意AB和BA不是同一个向量。

（设计意图：学生已经知道线段的表示方法，有向线段在线段的基础上加上一个箭头即可，类比实数大小的表示，得到向量大小的表示方式。）

老师：由相等向量的概念可以得出，它的方向和模确定一个向量。由此，同学们可以用有向线段来表示数学中的向量，那么向量就等同于有向线段吗？向量和物理学中的“力”有什么区别？

总结：向量没有起点，而有向线段有起点，力也有作用点，但是向量只有“大小和方向”两个要素，力这是舍弃了“力”中的作用点抽象而成的。

（四）总结反思——提高认识

形式化层面抽象：向量概念的系统化和普适化。

1.向量的模

问题：向量能比较大小吗？

老师：向量有大小这样的属性，大小是可以比较的，但是方向却无法比较大小。实数的大小用绝对值表示，于此进行类比，[AB]记作AB的模。

2.零向量和单位向量的认识

问题：同学们，在我们学习的数中，哪些实数比较特殊？

老师：数字0、1 比较特殊。你能说出这两个数字特殊的理由吗？

学生预设：在实数中，0正数和负数的分界点；1 时常作为“单位”，起到了至关重要的作用。

（设计意图：通过类比实数的方法得处向量有关的概念，提升学生的类比思维。）

老师：同学们思考类比特殊实数是否能得出特殊向量呢？

学生预设：认为零向量的长度是 0，单位向量的长度是 1，最为特殊，引出单位向量和零向量。

（设计意图：这表明他们已经在把向量集与实数集作类比。以梳理逻辑出发，从内在联系进行原理型抽象，自然会想到零向量、单位向量的特殊性。）

（设计意图：通过问题驱动的方式设计教学活动，突出了学生在课堂上的主体地位。学生经历完整的数学抽象，再从具体到抽象再到概括的过程。）

六、总结巩固——知识小结

教师引导学生自主总结本节课所学习的向量的概念、几个特殊的向量、向量之间的关系等相关知识。教师总结概念抽象的过程：观察实例、提炼共性、总结概念、得到概念数学符号语言表达、建立完整的体系。