一维简单随机游动的最爱下穿点

2023-04-29 11:49郝晨旭胡泽春马婷宋仁明

郝晨旭 胡泽春 马婷 宋仁明

摘要:随机游动是一类重要马氏过程,有广泛应用.对于一维简单对称随机游动 (S n) ,点 x 在时间 n 被称为最爱下穿点,如果在时刻 n 没有其它点的下穿次数比点 x 的下穿次数大.本文研究了最爱下穿点集的个数,证明如下的命题以概率1成立:4个及4个以上的最爱下穿点只能出现有限次,3个最爱下穿点则会出现无穷多次.此外,本文还提出了一些相关的开问题.

关键词:随机游动; 最爱点; 最爱边; 最爱下穿点; 局部时

中图分类号:O211.5   文献标识码:A   DOI:10.19907/j.0490-6756.2023.051002

收稿日期:  2022-10-23

基金项目:   国家自然科学基金(12171335, 12101429, 12071011, 11931004, 11871184); 西蒙斯基金(429343); 四川大学理科发展专项项目(2020SCUNL201)

作者简介:   郝晨旭(1995-), 男, 博士研究生, 主要研究方向為随机游动.E-mail: 476924193@qq.com

通讯作者:  马婷.E-mail: matingting2008@scu.edu.cn

Favorite down-crossing sites of one-dimensional simple random walk

HAO Chen-Xu 1, HU Ze-Chun 1, MA Ting 1, SONG Ren-Ming 2

(1.Schoolof Mathematics, Sichuan University, Chengdu 610064, China;

2.Department of Mathematics, University of Illinois, Urbana IL 61801, USA)

Random walk is a very important Markov process and has important applications in many fields.For a one-dimensional simple symmetric random walk   S n  , a site  x  is called a favorite down-crossing site at time  n  if its down-crossing local time at time  n  achieves the maximum among all sites.In this paper, we study the cardinality of the favorite down-crossing site set, and show that with probability 1 there are only finitely many times at which there are at least four favorite down-crossing sites and three favorite down-crossing sites occurs infinitely often.Some related open questions are introduced as well.

Random walk; Favorite site; Favorite edge; Favorite down-crossing site; Local time

1 引 言

令 (S n),n∈  N 为一维简单对称随机游动, S 0=0 .参照文献[1]的记号,点 x 到时刻 n 为止的上穿次数和下穿次数分别定义如下:

ξ U(x,n) #{0

ξ D(x,n) #{0

在本文中,我们以 #D 表示集合 D 的基数.点 x 在时刻 n 的局部时 ξ(x,n) ,边 x 在时刻 n 的局部时 L(x,n) 分别定义如下:

ξ(x,n) ξ U(x,n)+ξ D(x,n),

L(x,n) ξ U(x,n)+ξ D(x-1,n),

其中边 x 表示点 x-1 与点 x 之间的边.若 ξ(x,n)=   max    y∈ Ζ    ξ(y,n), 则称点 x 为 n 时刻的最爱点.记  K(n)  为随机游动 n 时刻的最爱点集.我们称   K(n)    n≥1  为一维简单对称随机游动的最爱点过程.若 #K(n)=k ,则称随机游动在 n 时刻有 k 个最爱点.若 L(x,n)=  max    y∈ Ζ    L(y,n), 则称边 x 为 n 时刻的最爱边.记 E(n) 为随机游动 n 时刻的最爱边集.我们称   E(n)    n≥1  为一维简单对称随机游动的最爱边过程.若 #E(n)=k ,则称随机游动在 n 时刻有 k 个最爱边.若 ξ D(x,n)=  max    y∈ Ζ    ξ D(y,n), 则称点 x 为 n 时刻的最爱下穿点.记 K D(n) 为随机游动 n 时刻的最爱下穿点集.我们称   K D(n)    n≥1   为一维简单对称随机游动的最爱下穿点过程.若 #K D(n)=k ,则称随机游动在 n 时刻有 k 个最爱下穿点.

在文献[2,定理1.1]中, 我们证明了3个最爱边以概率1出现无穷多次,补充了文献[1]的结果(在文献[1]中,作者证明了4个及4个以上的最爱边以概率1只能出现有限次), 否定了文献[1,注1, 368页]中提到的猜测.在文献[2,定理 1.1]的证明中,我们用最爱下穿点过程的暂留性得到了最爱边过程的暂留性.实际上,从文献[2]中我们能看出最爱下穿点与最爱边存在着密切联系,这是本篇论文的写作动机之一.实际上,我们研究了最爱下穿点集的个数,获得了如下主要结果:

定理1.1    对于一维简单对称随机游动,以概率1成立:4个及4个以上的最爱下穿点只能出现有限次, 3个最爱下穿点会出现无穷多次.

对于一维简单对称随机游动最爱点个数的相关问题, 已有许多研究(参考综述文献[3]). 这个问题最早由 Erds和Révész在上个世纪八十年代提出并开始研究, 参见文献[4-7]. Tóth在文献[8]中证明:4个及4个以上的最爱点以概率1只能出现有限次.Ding和Shen在文献[9]中证明:3个最爱点会以概率1出现无穷多次.

除了最爱点的个数问题, 还有一系列论文研究了最爱点的渐近行为、高维简单随机游动的最爱点问题及其它过程(如布朗运动、对称稳定过程、莱维过程及随机环境中的随机游动等)的最爱点问题,参见综述文献[3]及其参考文献.

在文献[2,命题 2.4]中, 我们得到了如下结果:

命题1.2     x∈E(n),则x∈K D(n).

根据命题1.2和文献[5,定理 1.1]可知,证明定理1.1只需证明4个以及4个以上的最爱下穿点以概率1只能出现有限次.

令 x∈E(n) , 定义

f(r) #{n≥1:S n∈K D(n), S n=S  n-1 -1,

#K D(n)=r}.

其含义为满足条件“在该时刻产生一个新的最爱下穿点,同时还有 r-1 个其它最爱下穿点”的时刻的数目.根据定义可知  f(r)≥f(r+1) .于是,若要完成定理1.1的证明, 只需证明以下定理.

定理1.3     E(f(4))<+∞.

我们的证明是受文献[8]和[1]的启发.论文的后续结构如下.在第二节中,我们给出一些准备工作.在第三节中,我们给出定理1.3的证明.在最后一节中我们给出一些注记并引入几个开问题.在整篇文章中,我们用字母 C 表示某个正常数, 不同位置其值可能发生变化.

2 预备知识

定义逆局部时如下:

T U(x,k)  min {n≥1:ξ U(x,n)=k},

T D(x,k)  min {n≥1:ξ D(x,n)=k} .

f(4) 可等价写为 f(4)=∑  x∈ Ζ   d(x), 其中

d(x) ∑ ∞  n=1  1  {S   n-1 =x+1,S  n=x,x∈K  D(x),#K  D(x)=4} =

∑ ∞  n=1  ∑ ∞  k=1  1   {T  D(x,k)=n,x∈K  D(x),#K  D(x)=4} =

∑ ∞  n=1  1   {x∈K  D(T  D(x,k)),#K  D(T  D(x,k))=4} .

由此可得

E(f(4))=∑  +∞   x=1  E(d(-x))+∑  +∞   x=0  E(d(x))  (1)

其中

E(d(x))=∑ ∞  k=1   Ρ (x∈K  D(T  D(x,k)),

#K  D(T  D(x,k))=4).

2.1 分支过程和Ray-Knight表示

在本文的余下部分,我们假定 Y n 为子女数服从几何分布的临界分支过程, Z n,R n 为两个带有不同移民方式的临界分支过程, 它们的具体定义如下: 令    X  (m)   n,i     m,n,i  为独立同分布随机变量序列,服从均值为1的几何分布,即对于任意 k≥0,  Ρ X  (m)   n,i =k =1/2  k+1   .递归定义

Y   n+1 =∑  Y  n   i=1  X   (1)   n,i ,Z   n+1 =∑  Z  n+1   i=1  X   (2)   n,i ,R   n+1 =

1+∑  R  n   i=1  X  (3)    n,i   (2)

则 Y n,Z n 和 R n 是以 N 为状态空间的马氏链,一步转移概率分别为

Ρ Y  n+1 =j|Y n=i =π(i,j)

δ 0(j), i=0, 2  -i-j  (i+j-1)! (i-1)!j! , i>0    (3)

Ρ Z  n+1 =j|Z n=i =ρ(i,j) π(i+1,j)  (4)

Ρ R  n+1 =j|R n=i =ρ *(i,j) π(i,j-1)  (5)

在某些特定的停时时刻,为在空间变量中描述   S n    n≥0  的局部时过程,上述定义的三个随机过程 Y n,Z n 和 R n 将是非常有用的工具.令 x 为一个固定的整数,我们有下列两种情形:

情形1     x≤-1 .定义如下三个过程:

(1)   R  (h)  n    0≤n≤-x-1  是一步转移概率为 ρ *(i,j) ,初值是 R  (h)  0=h 的马氏链;

(2)   Y  (h-1)  n    0≤n<∞  是一步转移概率为 π(i,j) ,初值是 Y  (h-1)  0=h-1 的马氏链;

(3)   Y  ′(h)  n    0≤n<∞  是一步转移概率为 π(i,j) ,初值是 Y  ′(h)  0=R  (h)   -x-1  的马氏链.

把上述三个过程按照如下方式拼接在一起,得到一个新的过程:

Δ  (h)  x(y)  Y  ′(h)   y+1 , R  (h)   y-x , Y  (h-1)   x-y ,    -1≤y<+∞, x≤y≤-1, -∞

根据 Ray-Knight定理  [10] 可知

ξ D(y,T D(x,h)),y∈ Ζ      d =   Δ  (h)  x(y),y∈ Ζ    (7)

其中   d =   表示“同分布”.

情形2     x≥0 .定义如下三个过程:

(1)   Z  (h-1)  n    0≤n≤x  是一步转移概率为 ρ(i,j) ,初值是 Z  (h-1)  0=h-1 的马氏链;

(2)   Y  (h)  n    0≤n<∞  是一步转移概率为 π(i,j) ,初值是 Y  (h)  0=h 的马氏链;

(3)   Y  ′(h-1)  n    0≤n<∞  是一步转移概率为 π(i,j) ,初值是 Y  ′(h-1)  0=Z  (h-1)  x 的马氏链.

对于此种情形,我们按如下方式把上述三个过程拼接在一起:

Γ   (h)  x(y)  Y  ′(h-1)   -y , y<0,

Z  (h-1)   x-y , 0≤y≤x-1 Y  (h)   y-x , y≥x ,  (8)

由文献[10,定理1.1]可知

ξ D(y,T D(x,h)),y∈ Ζ   d =    Γ   (h)  x(y),y∈ Ζ    (9)

注1    (i) 在情形1中, 如果 x=-1 , 则(6)式可化简为

Δ  (h)  x(y)  Y  ′(h)   y+1 , Y  (h-1)   x-y ,    -1≤y<+∞, -∞

其中 Y  ′(h)  0=h ;

(ii) 在情形2中,如果 x=0 , 则(8)式可化简为

Γ   (h)  x(y)  Y  ′(h-1)   -y , y≤-1,

Y  (h)   y-x , y>0,

其中 Y  ′(h-1)  0=h-1 ;

(iii) 为节省空间, 在后面的相应的证明中我们不再对以上两种特殊情况进行单独说明.

注意到情形1中 Y n 的初值是 h-1 , R n 的初值是 h ,而情形2中 Y n 的初值是 h , Z n 的初值是 h-1 ,为书写方便下文将省略除 Y n 以外其他过程 R n , Z n , Y′ n 的上角标,也会用条件概率去表示相应过程的初值.

2.2 用Ray-Knight定理表示 E(d(x))

令 R n , Z n , Y′ n 和 Y n 为上一小节中定义的分支过程.对于 h∈ Ν  ,定义如下几个停时:

σ h  min {n≥1:Y n≥h},σ′ h  min {n≥1:Y′ n≥h},

τ h  min {n≥1:Z n≥h},τ′ h  min {n≥1:R n≥h}  (10)

情形1     x≤-1,h≥1,p≥0 且都是整数.定义

A  h,p  {  max    1≤n<∞  Y  (h-1)  n≤h,

#{1≤n<∞:Y  (h-1)  n=h}=p}   (11)

A′  h,p     max    1≤n<∞  Y′ n≤h,#{1≤n<∞:Y′ n=h}=p   (12)

B  x,h,p  {  max    1≤n<-x-1  R n≤h,#{1≤n≤-x-1:

R n=h}=p}  (13)

注意到事件 A′  h,p  依赖于 x , 因为  Y′ n  的初值依赖于 x .下文中我们将用条件概率来指明初始状态.

由式(7)可知

Ε d(x) =∑  p+q+r=3  ∑ ∞  h=1  ∑ h  l=0  Ρ(A   h,p |Y 0=h-1)·

Ρ B   x,h,q ∩{R   -x-1 =l}|R 0=h ·

Ρ(A′   h,r |Y′ 0=l)  (14)

为书写方便,我们把“ -x ”替换为“ x ”.根据上式可得

∑ ∞  x=1  Ε d(-x) ≤∑  p+q+r=3  ∑ ∞  h=1  Ρ(A   h,p |Y 0=h-1)·

∑ ∞  x=1  Ρ B   -x,h,q |R 0=h  (  sup    l∈[0,h]  Ρ(A′   h,r |

Y′ 0=l))  (15)

情形2     x≥0,h≥1,p≥0 且都是整数.定义

C  h,p     max    1≤n<∞  Y  (h)  n≤h,#{1≤n<∞:Y  (h)  n=h}=p    (16)

C′  h,p     max    1≤n<∞  Y′ n≤h,#{1≤n<∞:Y′ n=h}=p   (17)

D  x,h,p     max    1≤n

注意到事件 C′  h,p  依赖于 x , 因为 Y′ n 的初值依赖于 x .下文中我们将用条件概率标明初始状态.

由(9)式可得

Ε d(x) =∑  p+q+r=3  ∑ ∞  h=1  ∑ h  l=0  Ρ(C   h,p |Y 0=h)·

Ρ D   x,h,q ∩{Z  x=l}|Z 0=h-1 ·

Ρ(C′   h,r |Y′ 0=l)  (19)

于是

∑ ∞  x=0  Ε d(x) ≤∑  p+q+r=3  ∑ ∞  h=1  Ρ(C   h,p |Y 0=h)·

∑ ∞  x=1  Ρ D   x,h,q |Z 0=h-1  ·

sup    l∈[0,h]  Ρ(C′   h,r |Y′ 0=l)   (20)

2.3 一些引理

为了在下一节中给出定理1.3的证明,我们需要如下的数个引理.

引理2.1    存在一个常数 C<∞ ,使得对任意 0≤k≤h 有

Ρ σ h=∞|Y 0=k ≤ h-k h +Ch  - 1 2  .

根据两个过程   Y n    n≥0  和   Y′ n    n≥0  的定义及上述引理,可得如下引理.

引理2.2    存在一个常数 C<∞ ,使得对任意 0≤k≤h 有

Ρ σ′ h=∞|Y′ 0=k ≤ h-k h +Ch  - 1 2  .

引理2.3     [8]  存在一个常数 C<∞ ,使得对任意 0≤k≤h 有 Ε τ h|Z 0=k ≤(h-k)+Ch   1 2  .

类似文献[8]可得关于 τ′ h 的如下结果.

引理2.4    存在常数 C<∞ 使得对任意整数  h≥1  ,如下不等式成立:

Ε τ′ h|R 0=h ≤Ch   1 2    (21)

证明  容易验证   R n-n    n≥0  是一个鞅.根据Doob停止定理可得

Ε τ′  h|R 0=h =Ε R  τ′  h |R 0=h -h=

-h+∑ ∞  u=h  Ρ R   τ′  h ≥u|R 0=h   (22)

我们断言

Ρ R   τ′  h ≥u|R 0=h ≤ ∑ ∞  w=u  ρ *(h,w) ∑ ∞  v=h  ρ *(h,v)   (23)

注意到对 1≤h≤u 有

Ρ R  τ′  h =u|R 0=h =

∑  h-1   l=1  Ρ R  τ′ h =u,R   τ′  h-1 =l|R 0=h =

∑  h-1   l=1  Ρ R   τ′  h-1 =l|R 0=h Ρ(R  τ′  h =

u|R   τ′  h-1 =l, R 0=h)=

∑  h-1   l=1  Ρ R   τ′  h-1 =l|R 0=h · ρ *(l,u) ∑ ∞  v=h  ρ *(l,v)    (24)

根据(3)式和(5)式可知对 0≤l

ρ *(l+1,v) ρ *(l,v) = π(l+1,v-1) π(l,v-1) = l+v-1 2l <

l+v 2l = π(l+1,v) π(l,v) = ρ *(l+1,v+1) ρ *(l,v+1) .

由此可得, 对任意 0≤l

ρ *(l+1,v)·ρ *(l,w)<ρ *(l,v)·ρ *(l+1,w),

ρ *(l,v)= 2l l+v-1 ρ *(l+1,v)≤ρ *(l+1,v),

这意味着对任意 0≤l

∑ ∞  v=h  ρ *(l+1,v)·∑ ∞  w=u  ρ *(l,w)<

∑ ∞  v=h  ρ *(l,v)·∑ ∞  w=u  ρ *(l+1,w).

根据(24)式可得

Ρ R   τ′  h ≥u|R 0=h ≤  max    l′∈[0,h]   ∑ ∞  w=u  ρ *(l′,w) ∑ ∞  v=h  ρ *(l′,v) ≤

∑ ∞  w=u  ρ *(h,w) ∑ ∞  v=h  ρ *(h,v) .

故(23)式成立.

根据(23)式和一些计算,我们得到

Ρ R  τ′  h ≥u|R 0=h ≤ ∑ ∞  u=h  ∑ ∞  w=u  ρ *(h,w) ∑ ∞  v=h  ρ *(h,v) =

∑ ∞  v=h  ρ *(h,v)v ∑ ∞  w=h  ρ *(h,w) ≤h+C h  1/2 .

此式与(22)式一起即可推得(21)式.证毕.

对   Z n    n≥0  ,我们有如下结果:

引理2.5     [1]  对任意 ε>0 ,存在常数 C(ε)<∞ 使得对任意整数 h>0 有

Ρ Z  τ h =h|Z 0=h ≤C(ε)h  - 1 2 +ε .

对  (R n)   n≥0  ,仿照文献[1,引理 3.1(ii)],可得如下结果:

引理2.6    对任意 ε>0 , 存在常数 C(ε)<∞ 使得对任意整数 h>0 有

Ρ R  τ′ h =h|R 0=h ≤C(ε)h  - 1 2 +ε   (25)

证明  我们把证明分为三步.

第一步.假定    1 2 ≤α≤ 1, h-h α≤z≤h, k≤ h .  我们有

ρ *(z,h+k) ρ *(z,h) = π(z,h+k-1) π(z,h-1) =

2  -k  (h+z-1)(h+z)…(h+z+k-2) h(h+1)…(h+k-1) ≥

2  -k   (h+z-1)  k  (h+k-1)  k ≥2  -k   (2h-h α-1)  k  (h+ h -1)  k ≥

(1-2h  α-1 ) k,

其中在最后一个不等式中我们利用了以下等价关系:

1 2 · 2h-h α-1 h+ h -1 ≥1-2h  α-1

3h α-2 h  +4 h  α- 1 2  -h  α-1  +1≥0.

于是,当 h 充分大使得 1-2h  α-1 ∈(0,1) 时,我们有

Ρ R 0≥h|R  -1 =z  Ρ R 0=h|R  -1 =z  =∑ ∞  k=0   ρ *(z,h+k) ρ *(z,h) ≥

∑  [ h ]   k=0   ρ *(z,h+k) ρ *(z,h) ≥∑  [ h ]   k=0   (1-2h   α-1 )   k=

1- (1-2h   α-1 )     h   2h   α-1  ≥ 1- (1-2h   α-1 )     h -1  2h   α-1    (26)

注意到

(1-2h  α-1 )    h -1 ≤  1-2h  - 1 2       h -1   h→∞    e   -2 < 1 2    (27)

可知存在 h 0>0 使得对任意 h>h 0 ,有

Ρ R 1=h|{R 0=z}∩{R 1≥h} ≤4h  α-1   (28)

这里我们用到了如下不等式:

Ρ R 1=h|{R 0=z}∩{R 1≥h} ≤

Ρ R 1=h|R 0=z  Ρ R 1≥h|R 0=z  .

这个不等式可用条件概率的定义进行验证.

第二步.对任意 u≥0 , 定义

θ′ u  inf {n≥0:R n≤u}.

如引理2.3中所述,   R n-n    n≥0  是鞅.对于 0≤u≤h ,利用Doob停止定理可得

Ε R  τ′ h |R 0=h -Ε τ′ h|R 0=h =

Ε R  τ′ h∧θ′ u |R 0=h -Ε τ′ h∧θ′ u|R 0=h   (29)

根据(29)式和引理2.4可得

Ε  R  τ′ h -R  θ′ u  1  {θ′ u≤τ′ h} |R 0=h ≤

Ε τ′ h|R 0=h ≤Ch   1 2    (30)

根据  R  τ′ h ≥h,R  θ′ u ≤u 和(30)式可得

Ρ θ′ u≥τ′ h|R 0=h ≤ Ch   1 2   h-u   (31)

特别地,对于 β∈  1 2 ,1  ,有

Ρ θ′  h-h β ≤τ′ h|R 0=h ≤Ch   1 2 -β   (32)

第三步.给定 ε>0 ,选取整数 N 满足 N> 1 2ε  .对于 i=0,1,…,N ,定义  u i h-h   N+i 2N    和

Δ 0 [u 0,h],Δ i [u i,u  i-1 ),i=1,2,…,N.

Ρ R   τ′  h =h|R 0=h =

∑ N  i=0  Ρ {R   τ′  h =h}∩{R   τ′  h-1 ∈Δ i}|R 0=h   (33)

(i) 对 i∈{1,…,N} ,根据强马氏性,(28)式和(32)式,我们得到

Ρ {R  τ′ h =h}∩{R  τ′ h-1 ∈Δ i}|R 0=h =

Ρ({R  τ′ h =h}∩{R  τ′ h-1 ∈Δ i}∩{θ′  u  i-1  ≤

τ′ h}|R 0=h)≤Ρ θ′  u  i-1  ≤τ′ h|R 0=h ·

sup    z∈Δ i  Ρ R 1=h|{R 0=z}∩{R 1≥h} ≤

ch  - N+i-1 2N + 1 2  ·h  - N-i 2N  =Ch  - 1 2 + 1 2N  ≤Ch  - 1 2 +ε   (34)

(ii)  对于 i=0 ,  Ρ({R  τ′ h =h}∩{R  τ′ h-1 ≥u 0}|R 0= h) 可直接被控制.取 z∈[h- h ,h]. 则对所有 k∈[0, h ] 有

ρ *(z,h+k) ρ *(z,h) ≥ (1-2h  - 1 2  )  k≥

(1-2h  - 1 2  )    h  ≥C.

对 k 求和可得

Ρ R 1≥h|R 0=z  Ρ R 1=h|R 0=z  ≥C h .

于是

Ρ R 1=h|R 0=z  Ρ R 1≥h|R 0=z  ≥ C  h  .

再由强马氏性可得

Ρ {R  τ′ h =h}∩{R  τ′ h-1 ∈[h-h   1 2  ,h)}|R 0=h ≤

Ρ R  τ′ h-1 ∈[h-h   1 2  ,h)|R 0=h ·

sup    z∈[h-h   1 2  ,h)  Ρ R 1=h|R 0=z,R 1≥h ≤

sup    z∈[h-h  1/2 ,h)  Ρ R 1=h|R 0=z,R 1≥h ≤Ch  - 1 2    (35)

最后, 结合式(33)~(35)可得引理.证毕.

对于初值为 h-1 的过程   Z n    n≥0  ,仿照上述证明,我们有如下结果:

引理2.7    对任意 ε>0 ,存在常数 C<∞ 使得对任意整数 h>0 有

Ρ Z  τ h =h|Z 0=h-1 ≤C(ε)h  - 1 2 +ε .

引理2.8     [1]  对于任意 ε>0 ,存在一个常数  C(ε)<∞  ,使得对任意整数 h>0 有

Ρ [σ h<∞]∩[Y  σ h =h]|Y 0=h ≤

C(ε)h  - 1 2 +ε .

由  Y n ,n≥0 和  Y′ n ,n≥0 的定义及上述引理,可得

引理2.9    对任意 ε>0 , 存在常数 C(ε)<∞ ,使得对任意整数 h>0 有

Ρ [σ′ h<∞]∩[Y  σ′ h =h]|Y′ 0=h ≤

C(ε)h  - 1 2 +ε .

考虑初值为 h-1 的过程   Y n    n≥0  ,与引理2.8的证明类似,可得

引理2.10    对任意 ε>0 , 存在常数 C(ε)<∞ ,使得对任意整数 h>0 有

Ρ [σ h<∞]∩[Y  σ h =h]|Y 0=h-1 ≤

C(ε)h  - 1 2 +ε .

3 定理1.3的证明

为给出定理1.3的证明,我们需要以下两个引理,其证明放在本节末尾.

引理3.1    对任意 ε>0 ,存在一个有限常数  C<∞  ,满足:

(i) 对任意整数 p≥0,   P A  h,p |Y 0=h-1 ≤ (Ch  - 1 2 +ε )  p·h  - 1 2  ;

(ii) 对任意整数 p≥0,

∑ ∞  x=1  P B   -x,h,p |R 0=h ≤ (Ch   - 1 2 +ε )   p·h   1 2  ;

(iii) 对任意整数 p≥0,0≤l≤h 和  x≤-1,    P A′  h,p |Y′ 0=l  ≤ (Ch  - 1 2 +ε )  p.

引理3.2    对任意 ε>0 ,存在一个有限常数  C<∞  ,满足:

(i) 对任意整数 p≥0 ,  P C  h,p |Y 0=h ≤ (Ch  - 1 2 +ε )  p·h  - 1 2  ;

(ii) 对任意整数 p≥0 ,

∑ ∞  x=1  P D   x,h,p |Z 0=h-1 ≤ (Ch   - 1 2 +ε )   p·h   1 2  ;

(iii) 对任意整数 p≥1,0≤l≤h 和 x≥0 ,   P C′  h,p |Y′ 0=l  ≤C (h  - 1 2 +ε )  p.

根据(1)式,为证明定理1.3,我们只需证明

∑ ∞  x=1  Ε d(-x) +∑ ∞  x=0  Ε d(x) <∞  (36)

由引理3.1,我们可以界定下式

∑  p+q+r=3  P A   h,p |Y 0=h-1 ·    ∑ ∞  x=1  P B   -x,h,q |R 0=h  ·

sup    l∈[0,h]  Ρ(A′   h,r |Y′ 0=l)   (37)

若 r=0,p+q=3 ,则(37)式由下式控制

C (h  - 1 2 +ε )  p·h  - 1 2  · (h  - 1 2 +ε )  q·h   1 2  =Ch  - 3 2 +3ε .

若 r>0,p+q+r=3 ,则(37)式由下式控制

C (h  - 1 2 +ε )  p·h  - 1 2  · (h  - 1 2 +ε )  q·h   1 2  · (h  - 1 2 +ε )  r=

Ch  - 3 2 +3ε .

再根据(15)式可得

∑ ∞  x=1  Ε d(-x) <∞  (38)

由引理3.2,我们可以界定下式:

∑  p+q+r=3  P C   h,p |Y 0=h ·    ∑ ∞  x=0  P D   x,h,q |Z 0=h-1  ·

sup    l∈[0,h]  Ρ(C′   h,r |Y′ 0=l)   (39)

若 r=0,p+q=3 ,则(39)式由下式控制:

C (h  - 1 2 +ε )   p+q =Ch  - 3 2 +3ε .

若 r>0,p+q+r=3 ,则(39)式由下式控制:

C (h  - 1 2 +ε )   p+q · (h  - 1 2 +ε )  r=Ch  - 3 2 +3ε .

再根据(20)式可得

∑ ∞  x=0  Ε d(x) <∞  (40)

最后,根据(38)式和(40)即可得到(36)式.证毕.

引理3.1的证明  (i) 对于 p=0 , 根据(11)式和引理2.1可得

P A  h,0 |Y 0=h-1 =P(σ h=∞|Y 0=h-1)≤

Ch  - 1 2  .

由此可知,在这种情形下(i)成立.根据(11)式和引理2.1,我们也有

P A  h,0 |Y 0=h =P σ h=∞|Y 0=h ≤Ch  - 1 2    (41)

对于 p≥1 ,利用  Y n  的强马氏性、引理2.8、引理2.10和(41)式,我们得到

P A  h,0 |Y 0=h-1 =P({σ h<∞}∩

{Y  σ h =h}|Y 0=h-1)·P(A  h,p-1 |Y 0=h)

=…=

P {σ h<∞}∩{Y  σ h =h}|Y 0=h-1 ·

P    σ   h <∞ ∩  Y    σ   h  =h | Y   0 =h    p-1 ·

P  A   h,0   Y   0 =h)SymbolcB@

C h   - 1 2 +ε     p  h   - 1 2   ,

即(i)成立.

(ii) 对于 p=0 ,由(13)式和引理2.4可得

∑ ∞  x=1  P B   -x,h,0 |R 0=h =

∑ ∞  x=1  P τ′  h≥x|R 0=h =   Ε τ′  h|R 0=h ≤Ch   1 2    (42)

对于 p≥1 ,由 (R n) 的强马氏性可得

∑ ∞  x=1  P B   -x,h,p |R 0=h =

P R   τ′  h =h|R 0=h ·

∑ ∞  x=1  P B   -x,h,p-1 |R 0=h  =…=

P   R    τ ′   h  =h| R   0 =h     p ·

∑ ∞ x=1 P  B    -x,h,0 | R   0 =h  .

则由(42)式和引理2.6可得

∑ ∞  x=1  P B   -x,h,p |R 0=h ≤  Ch   - 1 2 +ε    p·h   1 2  .

(iii) 根据 A′  h,0  的定义、(12)式及引理2.2可得

P A′  h,0 |Y′ 0=h =P σ′ h=∞|Y′ 0=h ≤Ch  - 1 2    (43)

对 p≥1 , 由  Y′ n  的强马氏性可得

P A′  h,p |Y′ 0=l =

P {σ′ h<∞}∩{Y′  σ′ h =h}|Y′ 0=l ·

P A′  h,p-1 |Y′ 0=h =…=

P {σ′ h<∞}∩{Y′  σ′ h =h}|Y′ 0=l ·

P   σ ′  h <∞ ∩  Y ′   σ ′  h  =h | Y ′  0 =h    p-1 ·

P  A ′  h,0   Y ′  0 =h)≤

P   σ ′  h <∞ ∩  Y ′   σ ′  h  =h | Y ′  0 =h    p-1 ·

P  A ′  h,0   Y ′  0 =h).

再根据引理2.9和(43)式可得

P A′  h,p |Y′ 0=l ≤  Ch  - 1 2 +ε    p.

证毕.

引理3.2的证明  (i) 对 p=0 , 由(16)式和引理2.1可得

P C  h,0 |Y 0=h =P σ h=∞|Y 0=h

对 p≥1 ,由  Y n  的强马氏性可得

P C  h,p |Y 0=h =

P {σ h<∞}∩{Y  σ h =h}|Y 0=h ·

P C  h,p-1 |Y 0=h =…=

P    σ   h <∞ ∩  Y    σ   h  =h | Y   0 =h    p ·

P  C   h,0   Y   0 =h) .

由(44)式和引理2.8可得(i).

(ii) 对于 p=0 , 由引理2.3可得

∑ ∞  x=1  P D   x,h,0 |Z 0=h-1 =   ∑ ∞  x=1  P τ  h≥x|Z 0=h-1 =

Ε τ  h|Z 0=h-1

因此,(ii)式成立.同时,根据引理2.3,我们有

∑ ∞  x=1  P D   x,h,0 |Z 0=h =

∑ ∞  x=1  P τ  h≥x|Z 0=h =

Ε τ  h|Z 0=h

对于 p≥1 ,由  Z n  的强马氏性可得

∑ ∞  x=1  P D   x,h,p |Z 0=h-1 =

P Z   τ  h =h|Z 0=h-1 ·

∑ ∞  x=1  P D   x,h,p-1 |Z 0=h  =…=

P Z  τ h =h|Z 0=h-1 ·

P   Z     τ    h  =h| Z   0 =h     p-1 ·

∑ ∞ x=1 P  D    x,h,0 | Z   0 =h  .

接着,由引理2.5、引理2.7及(45)式可得

∑ ∞  x=1  P D   x,h,p |Z 0=h-1 ≤  Ch   - 1 2 +ε     p·h   1 2  ,

即(ii)成立.

(iii) 根据 C′  h,0  的定义式(17)及引理2.2,可得

P C′  h,0 |Y′ 0=h =P σ′ h=∞|Y′ 0=h ≤Ch  - 1 2    (46)

对于 p≥1 ,由  Y′ n  的强马氏性可得

P C′  h,p |Y′ 0=l =

P {σ′ h<∞}∩{Y′  σ′ h =h}|Y′ 0=l ·

P C′  h,p-1 |Y′ 0=h =…=

P {σ′ h<∞}∩{Y′  σ′ h =h}|Y′ 0=l ·

P   σ ′  h <∞ ∩  Y ′   σ ′  h  =h | Y ′  0 =h    p-1 ·

P   C ′   h,0   Y ′  0 =h)≤

P   σ ′  h <∞ ∩  Y ′   σ ′  h  =h | Y ′  0 =h    p-1 ·

P   C ′   h,0   Y ′  0 =h) .

接着,由引理2.8和(46)式知

P C′  h,p |Y′ 0=l ≤C  h  - 1 2 +ε    p.

证毕.

4 注和开问题

注2    类似于最爱下穿点过程,我们可以定义最爱上穿点过程.由一维简单对称随机游动的对称性,我们可以得到最爱上穿点相对于定理1.1的类似结果.

注3    定义

ξ *(x,n)  max {ξ U(x,n),ξ D(x,n)}.

我们称点 x 为 n 时刻的最爱单边点,若其满足  ξ *(x,n) =  sup    y∈ Ζ    ξ *(y,n).   n 时刻的最爱单边点集记为 K *(n) .  K *(n) ,n≥1  称为一维简单对称随机游动的最爱单边点过程.

相对于  K D(n) , K(n)  和  E(n)  这三个过程,过程  K *(n)  的研究似乎更为困难.对于一维简单对称随机游动,我们提出如下问题:

问题4.1    4个及4个以上的最爱单边点是否会以概率1最多出现有限次?

问题4.2    3个最爱单边点是否会以概率1出现无穷多次?

问题4.3    最爱单边点过程是暂留的吗? 如果是,那么它的逃离速率是多少?

参考文献:

[1]   Tóth B, Werner W.Tied favourite edges for simple random walk [J].Combin Probab Comput, 1997, 6: 359.

[2]  Hao C X, Hu Z C, Ma T,  et al .Three favorite edges occurs infinitely often for one-dimensional simple random walk [EB/OL].[2023-03-09].https://arxiv.org/abs/ 2111.00688v3.

[3]  Shi  Z, Tóth B.Favourite sites of simple random walk [J].Period Math Hungar, 2000, 41: 237.

[4]  Erds P, Révész P.On the favourite points of a random walk [J].Math Struct-Comput Math-Math Model, 1984, 2: 152.

[5]  Erds  P, Révész P.Problems and results on random walks [C]//Tatzmannsdorf B.Mathematical Statistics and Probability Theory (B).Dordrecht: Reidel, 1987.

[6]  Erds P, Révész P.Three problems on the random walk in  Ζ  [J].Studia Sci Math Hungar, 1991, 26: 309.

[7]  Révész P.Random walk in random and non-random environment [M].Singapore: World Scientific Publishing House, 2013.

[8]  Tóth B.No more than three favorite sites for simple random walk [J].Ann Probab, 2001, 29: 484.

[9]  Ding J, Shen J.Three favorite sites occurs infinitely often for one-dimensional simple random walk [J].Ann Probab, 2018, 46: 2545.

[10]  Knight F B.Random walks and a sojourn density process of Brownian motion [J].Trans Amer Math Soc, 1963, 109: 56.