郝晨旭 胡泽春 马婷 宋仁明
摘要:随机游动是一类重要马氏过程,有广泛应用.对于一维简单对称随机游动 (S n) ,点 x 在时间 n 被称为最爱下穿点,如果在时刻 n 没有其它点的下穿次数比点 x 的下穿次数大.本文研究了最爱下穿点集的个数,证明如下的命题以概率1成立:4个及4个以上的最爱下穿点只能出现有限次,3个最爱下穿点则会出现无穷多次.此外,本文还提出了一些相关的开问题.
关键词:随机游动; 最爱点; 最爱边; 最爱下穿点; 局部时
中图分类号:O211.5 文献标识码:A DOI:10.19907/j.0490-6756.2023.051002
收稿日期: 2022-10-23
基金项目: 国家自然科学基金(12171335, 12101429, 12071011, 11931004, 11871184); 西蒙斯基金(429343); 四川大学理科发展专项项目(2020SCUNL201)
作者简介: 郝晨旭(1995-), 男, 博士研究生, 主要研究方向為随机游动.E-mail: 476924193@qq.com
通讯作者: 马婷.E-mail: matingting2008@scu.edu.cn
Favorite down-crossing sites of one-dimensional simple random walk
HAO Chen-Xu 1, HU Ze-Chun 1, MA Ting 1, SONG Ren-Ming 2
(1.Schoolof Mathematics, Sichuan University, Chengdu 610064, China;
2.Department of Mathematics, University of Illinois, Urbana IL 61801, USA)
Random walk is a very important Markov process and has important applications in many fields.For a one-dimensional simple symmetric random walk S n , a site x is called a favorite down-crossing site at time n if its down-crossing local time at time n achieves the maximum among all sites.In this paper, we study the cardinality of the favorite down-crossing site set, and show that with probability 1 there are only finitely many times at which there are at least four favorite down-crossing sites and three favorite down-crossing sites occurs infinitely often.Some related open questions are introduced as well.
Random walk; Favorite site; Favorite edge; Favorite down-crossing site; Local time
1 引 言
令 (S n),n∈ N 为一维简单对称随机游动, S 0=0 .参照文献[1]的记号,点 x 到时刻 n 为止的上穿次数和下穿次数分别定义如下:
ξ U(x,n) #{0 ξ D(x,n) #{0 在本文中,我们以 #D 表示集合 D 的基数.点 x 在时刻 n 的局部时 ξ(x,n) ,边 x 在时刻 n 的局部时 L(x,n) 分别定义如下: ξ(x,n) ξ U(x,n)+ξ D(x,n), L(x,n) ξ U(x,n)+ξ D(x-1,n), 其中边 x 表示点 x-1 与点 x 之间的边.若 ξ(x,n)= max y∈ Ζ ξ(y,n), 则称点 x 为 n 时刻的最爱点.记 K(n) 为随机游动 n 时刻的最爱点集.我们称 K(n) n≥1 为一维简单对称随机游动的最爱点过程.若 #K(n)=k ,则称随机游动在 n 时刻有 k 个最爱点.若 L(x,n)= max y∈ Ζ L(y,n), 则称边 x 为 n 时刻的最爱边.记 E(n) 为随机游动 n 时刻的最爱边集.我们称 E(n) n≥1 为一维简单对称随机游动的最爱边过程.若 #E(n)=k ,则称随机游动在 n 时刻有 k 个最爱边.若 ξ D(x,n)= max y∈ Ζ ξ D(y,n), 则称点 x 为 n 时刻的最爱下穿点.记 K D(n) 为随机游动 n 时刻的最爱下穿点集.我们称 K D(n) n≥1 为一维简单对称随机游动的最爱下穿点过程.若 #K D(n)=k ,则称随机游动在 n 时刻有 k 个最爱下穿点. 在文献[2,定理1.1]中, 我们证明了3个最爱边以概率1出现无穷多次,补充了文献[1]的结果(在文献[1]中,作者证明了4个及4个以上的最爱边以概率1只能出现有限次), 否定了文献[1,注1, 368页]中提到的猜测.在文献[2,定理 1.1]的证明中,我们用最爱下穿点过程的暂留性得到了最爱边过程的暂留性.实际上,从文献[2]中我们能看出最爱下穿点与最爱边存在着密切联系,这是本篇论文的写作动机之一.实际上,我们研究了最爱下穿点集的个数,获得了如下主要结果: 定理1.1 对于一维简单对称随机游动,以概率1成立:4个及4个以上的最爱下穿点只能出现有限次, 3个最爱下穿点会出现无穷多次. 对于一维简单对称随机游动最爱点个数的相关问题, 已有许多研究(参考综述文献[3]). 这个问题最早由 Erds和Révész在上个世纪八十年代提出并开始研究, 参见文献[4-7]. Tóth在文献[8]中证明:4个及4个以上的最爱点以概率1只能出现有限次.Ding和Shen在文献[9]中证明:3个最爱点会以概率1出现无穷多次. 除了最爱点的个数问题, 还有一系列论文研究了最爱点的渐近行为、高维简单随机游动的最爱点问题及其它过程(如布朗运动、对称稳定过程、莱维过程及随机环境中的随机游动等)的最爱点问题,参见综述文献[3]及其参考文献. 在文献[2,命题 2.4]中, 我们得到了如下结果: 命题1.2 x∈E(n),则x∈K D(n). 根据命题1.2和文献[5,定理 1.1]可知,证明定理1.1只需证明4个以及4个以上的最爱下穿点以概率1只能出现有限次. 令 x∈E(n) , 定义 f(r) #{n≥1:S n∈K D(n), S n=S n-1 -1, #K D(n)=r}. 其含义为满足条件“在该时刻产生一个新的最爱下穿点,同时还有 r-1 个其它最爱下穿点”的时刻的数目.根据定义可知 f(r)≥f(r+1) .于是,若要完成定理1.1的证明, 只需证明以下定理. 定理1.3 E(f(4))<+∞. 我们的证明是受文献[8]和[1]的启发.论文的后续结构如下.在第二节中,我们给出一些准备工作.在第三节中,我们给出定理1.3的证明.在最后一节中我们给出一些注记并引入几个开问题.在整篇文章中,我们用字母 C 表示某个正常数, 不同位置其值可能发生变化. 2 预备知识 定义逆局部时如下: T U(x,k) min {n≥1:ξ U(x,n)=k}, T D(x,k) min {n≥1:ξ D(x,n)=k} . f(4) 可等价写为 f(4)=∑ x∈ Ζ d(x), 其中 d(x) ∑ ∞ n=1 1 {S n-1 =x+1,S n=x,x∈K D(x),#K D(x)=4} = ∑ ∞ n=1 ∑ ∞ k=1 1 {T D(x,k)=n,x∈K D(x),#K D(x)=4} = ∑ ∞ n=1 1 {x∈K D(T D(x,k)),#K D(T D(x,k))=4} . 由此可得 E(f(4))=∑ +∞ x=1 E(d(-x))+∑ +∞ x=0 E(d(x)) (1) 其中 E(d(x))=∑ ∞ k=1 Ρ (x∈K D(T D(x,k)), #K D(T D(x,k))=4). 2.1 分支过程和Ray-Knight表示 在本文的余下部分,我们假定 Y n 为子女数服从几何分布的临界分支过程, Z n,R n 为两个带有不同移民方式的临界分支过程, 它们的具体定义如下: 令 X (m) n,i m,n,i 为独立同分布随机变量序列,服从均值为1的几何分布,即对于任意 k≥0, Ρ X (m) n,i =k =1/2 k+1 .递归定义 Y n+1 =∑ Y n i=1 X (1) n,i ,Z n+1 =∑ Z n+1 i=1 X (2) n,i ,R n+1 = 1+∑ R n i=1 X (3) n,i (2) 则 Y n,Z n 和 R n 是以 N 为状态空间的马氏链,一步转移概率分别为 Ρ Y n+1 =j|Y n=i =π(i,j) δ 0(j), i=0, 2 -i-j (i+j-1)! (i-1)!j! , i>0 (3) Ρ Z n+1 =j|Z n=i =ρ(i,j) π(i+1,j) (4) 及 Ρ R n+1 =j|R n=i =ρ *(i,j) π(i,j-1) (5) 在某些特定的停时时刻,为在空间变量中描述 S n n≥0 的局部时过程,上述定义的三个随机过程 Y n,Z n 和 R n 将是非常有用的工具.令 x 为一个固定的整数,我们有下列两种情形: 情形1 x≤-1 .定义如下三个过程: (1) R (h) n 0≤n≤-x-1 是一步转移概率为 ρ *(i,j) ,初值是 R (h) 0=h 的马氏链; (2) Y (h-1) n 0≤n<∞ 是一步转移概率为 π(i,j) ,初值是 Y (h-1) 0=h-1 的马氏链; (3) Y ′(h) n 0≤n<∞ 是一步转移概率为 π(i,j) ,初值是 Y ′(h) 0=R (h) -x-1 的马氏链. 把上述三个过程按照如下方式拼接在一起,得到一个新的过程: Δ (h) x(y) Y ′(h) y+1 , R (h) y-x , Y (h-1) x-y , -1≤y<+∞, x≤y≤-1, -∞ 根据 Ray-Knight定理 [10] 可知 ξ D(y,T D(x,h)),y∈ Ζ d = Δ (h) x(y),y∈ Ζ (7) 其中 d = 表示“同分布”. 情形2 x≥0 .定义如下三个过程: (1) Z (h-1) n 0≤n≤x 是一步转移概率为 ρ(i,j) ,初值是 Z (h-1) 0=h-1 的马氏链; (2) Y (h) n 0≤n<∞ 是一步转移概率为 π(i,j) ,初值是 Y (h) 0=h 的马氏链; (3) Y ′(h-1) n 0≤n<∞ 是一步转移概率为 π(i,j) ,初值是 Y ′(h-1) 0=Z (h-1) x 的马氏链. 对于此种情形,我们按如下方式把上述三个过程拼接在一起: Γ (h) x(y) Y ′(h-1) -y , y<0, Z (h-1) x-y , 0≤y≤x-1 Y (h) y-x , y≥x , (8) 由文献[10,定理1.1]可知 ξ D(y,T D(x,h)),y∈ Ζ d = Γ (h) x(y),y∈ Ζ (9) 注1 (i) 在情形1中, 如果 x=-1 , 则(6)式可化简为 Δ (h) x(y) Y ′(h) y+1 , Y (h-1) x-y , -1≤y<+∞, -∞ 其中 Y ′(h) 0=h ; (ii) 在情形2中,如果 x=0 , 则(8)式可化简为 Γ (h) x(y) Y ′(h-1) -y , y≤-1, Y (h) y-x , y>0, 其中 Y ′(h-1) 0=h-1 ; (iii) 为节省空间, 在后面的相应的证明中我们不再对以上两种特殊情况进行单独说明. 注意到情形1中 Y n 的初值是 h-1 , R n 的初值是 h ,而情形2中 Y n 的初值是 h , Z n 的初值是 h-1 ,为书写方便下文将省略除 Y n 以外其他过程 R n , Z n , Y′ n 的上角标,也会用条件概率去表示相应过程的初值. 2.2 用Ray-Knight定理表示 E(d(x)) 令 R n , Z n , Y′ n 和 Y n 为上一小节中定义的分支过程.对于 h∈ Ν ,定义如下几个停时: σ h min {n≥1:Y n≥h},σ′ h min {n≥1:Y′ n≥h}, τ h min {n≥1:Z n≥h},τ′ h min {n≥1:R n≥h} (10) 情形1 x≤-1,h≥1,p≥0 且都是整数.定义 A h,p { max 1≤n<∞ Y (h-1) n≤h, #{1≤n<∞:Y (h-1) n=h}=p} (11) A′ h,p max 1≤n<∞ Y′ n≤h,#{1≤n<∞:Y′ n=h}=p (12) B x,h,p { max 1≤n<-x-1 R n≤h,#{1≤n≤-x-1: R n=h}=p} (13) 注意到事件 A′ h,p 依赖于 x , 因为 Y′ n 的初值依赖于 x .下文中我们将用条件概率来指明初始状态. 由式(7)可知 Ε d(x) =∑ p+q+r=3 ∑ ∞ h=1 ∑ h l=0 Ρ(A h,p |Y 0=h-1)· Ρ B x,h,q ∩{R -x-1 =l}|R 0=h · Ρ(A′ h,r |Y′ 0=l) (14) 为书写方便,我们把“ -x ”替换为“ x ”.根据上式可得 ∑ ∞ x=1 Ε d(-x) ≤∑ p+q+r=3 ∑ ∞ h=1 Ρ(A h,p |Y 0=h-1)· ∑ ∞ x=1 Ρ B -x,h,q |R 0=h ( sup l∈[0,h] Ρ(A′ h,r | Y′ 0=l)) (15) 情形2 x≥0,h≥1,p≥0 且都是整数.定义 C h,p max 1≤n<∞ Y (h) n≤h,#{1≤n<∞:Y (h) n=h}=p (16) C′ h,p max 1≤n<∞ Y′ n≤h,#{1≤n<∞:Y′ n=h}=p (17) D x,h,p max 1≤n 注意到事件 C′ h,p 依赖于 x , 因为 Y′ n 的初值依赖于 x .下文中我们将用条件概率标明初始状态. 由(9)式可得 Ε d(x) =∑ p+q+r=3 ∑ ∞ h=1 ∑ h l=0 Ρ(C h,p |Y 0=h)· Ρ D x,h,q ∩{Z x=l}|Z 0=h-1 · Ρ(C′ h,r |Y′ 0=l) (19) 于是 ∑ ∞ x=0 Ε d(x) ≤∑ p+q+r=3 ∑ ∞ h=1 Ρ(C h,p |Y 0=h)· ∑ ∞ x=1 Ρ D x,h,q |Z 0=h-1 · sup l∈[0,h] Ρ(C′ h,r |Y′ 0=l) (20) 2.3 一些引理 为了在下一节中给出定理1.3的证明,我们需要如下的数个引理. 引理2.1 存在一个常数 C<∞ ,使得对任意 0≤k≤h 有 Ρ σ h=∞|Y 0=k ≤ h-k h +Ch - 1 2 . 根据两个过程 Y n n≥0 和 Y′ n n≥0 的定义及上述引理,可得如下引理. 引理2.2 存在一个常数 C<∞ ,使得对任意 0≤k≤h 有 Ρ σ′ h=∞|Y′ 0=k ≤ h-k h +Ch - 1 2 . 引理2.3 [8] 存在一个常数 C<∞ ,使得对任意 0≤k≤h 有 Ε τ h|Z 0=k ≤(h-k)+Ch 1 2 . 类似文献[8]可得关于 τ′ h 的如下结果. 引理2.4 存在常数 C<∞ 使得对任意整数 h≥1 ,如下不等式成立: Ε τ′ h|R 0=h ≤Ch 1 2 (21) 证明 容易验证 R n-n n≥0 是一个鞅.根据Doob停止定理可得 Ε τ′ h|R 0=h =Ε R τ′ h |R 0=h -h= -h+∑ ∞ u=h Ρ R τ′ h ≥u|R 0=h (22) 我们断言 Ρ R τ′ h ≥u|R 0=h ≤ ∑ ∞ w=u ρ *(h,w) ∑ ∞ v=h ρ *(h,v) (23) 注意到对 1≤h≤u 有 Ρ R τ′ h =u|R 0=h = ∑ h-1 l=1 Ρ R τ′ h =u,R τ′ h-1 =l|R 0=h = ∑ h-1 l=1 Ρ R τ′ h-1 =l|R 0=h Ρ(R τ′ h = u|R τ′ h-1 =l, R 0=h)= ∑ h-1 l=1 Ρ R τ′ h-1 =l|R 0=h · ρ *(l,u) ∑ ∞ v=h ρ *(l,v) (24) 根据(3)式和(5)式可知对 0≤l ρ *(l+1,v) ρ *(l,v) = π(l+1,v-1) π(l,v-1) = l+v-1 2l < l+v 2l = π(l+1,v) π(l,v) = ρ *(l+1,v+1) ρ *(l,v+1) . 由此可得, 对任意 0≤l ρ *(l+1,v)·ρ *(l,w)<ρ *(l,v)·ρ *(l+1,w), ρ *(l,v)= 2l l+v-1 ρ *(l+1,v)≤ρ *(l+1,v), 这意味着对任意 0≤l ∑ ∞ v=h ρ *(l+1,v)·∑ ∞ w=u ρ *(l,w)< ∑ ∞ v=h ρ *(l,v)·∑ ∞ w=u ρ *(l+1,w). 根据(24)式可得 Ρ R τ′ h ≥u|R 0=h ≤ max l′∈[0,h] ∑ ∞ w=u ρ *(l′,w) ∑ ∞ v=h ρ *(l′,v) ≤ ∑ ∞ w=u ρ *(h,w) ∑ ∞ v=h ρ *(h,v) . 故(23)式成立. 根据(23)式和一些计算,我们得到 Ρ R τ′ h ≥u|R 0=h ≤ ∑ ∞ u=h ∑ ∞ w=u ρ *(h,w) ∑ ∞ v=h ρ *(h,v) = ∑ ∞ v=h ρ *(h,v)v ∑ ∞ w=h ρ *(h,w) ≤h+C h 1/2 . 此式与(22)式一起即可推得(21)式.证毕. 对 Z n n≥0 ,我们有如下结果: 引理2.5 [1] 对任意 ε>0 ,存在常数 C(ε)<∞ 使得对任意整数 h>0 有 Ρ Z τ h =h|Z 0=h ≤C(ε)h - 1 2 +ε . 对 (R n) n≥0 ,仿照文献[1,引理 3.1(ii)],可得如下结果: 引理2.6 对任意 ε>0 , 存在常数 C(ε)<∞ 使得对任意整数 h>0 有 Ρ R τ′ h =h|R 0=h ≤C(ε)h - 1 2 +ε (25) 证明 我们把证明分为三步. 第一步.假定 1 2 ≤α≤ 1, h-h α≤z≤h, k≤ h . 我们有 ρ *(z,h+k) ρ *(z,h) = π(z,h+k-1) π(z,h-1) = 2 -k (h+z-1)(h+z)…(h+z+k-2) h(h+1)…(h+k-1) ≥ 2 -k (h+z-1) k (h+k-1) k ≥2 -k (2h-h α-1) k (h+ h -1) k ≥ (1-2h α-1 ) k, 其中在最后一个不等式中我们利用了以下等价关系: 1 2 · 2h-h α-1 h+ h -1 ≥1-2h α-1 3h α-2 h +4 h α- 1 2 -h α-1 +1≥0. 于是,当 h 充分大使得 1-2h α-1 ∈(0,1) 时,我们有 Ρ R 0≥h|R -1 =z Ρ R 0=h|R -1 =z =∑ ∞ k=0 ρ *(z,h+k) ρ *(z,h) ≥ ∑ [ h ] k=0 ρ *(z,h+k) ρ *(z,h) ≥∑ [ h ] k=0 (1-2h α-1 ) k= 1- (1-2h α-1 ) h 2h α-1 ≥ 1- (1-2h α-1 ) h -1 2h α-1 (26) 注意到 (1-2h α-1 ) h -1 ≤ 1-2h - 1 2 h -1 h→∞ e -2 < 1 2 (27) 可知存在 h 0>0 使得对任意 h>h 0 ,有 Ρ R 1=h|{R 0=z}∩{R 1≥h} ≤4h α-1 (28) 这里我们用到了如下不等式: Ρ R 1=h|{R 0=z}∩{R 1≥h} ≤ Ρ R 1=h|R 0=z Ρ R 1≥h|R 0=z . 这个不等式可用条件概率的定义进行验证. 第二步.对任意 u≥0 , 定义 θ′ u inf {n≥0:R n≤u}. 如引理2.3中所述, R n-n n≥0 是鞅.对于 0≤u≤h ,利用Doob停止定理可得 Ε R τ′ h |R 0=h -Ε τ′ h|R 0=h = Ε R τ′ h∧θ′ u |R 0=h -Ε τ′ h∧θ′ u|R 0=h (29) 根据(29)式和引理2.4可得 Ε R τ′ h -R θ′ u 1 {θ′ u≤τ′ h} |R 0=h ≤ Ε τ′ h|R 0=h ≤Ch 1 2 (30) 根据 R τ′ h ≥h,R θ′ u ≤u 和(30)式可得 Ρ θ′ u≥τ′ h|R 0=h ≤ Ch 1 2 h-u (31) 特别地,对于 β∈ 1 2 ,1 ,有 Ρ θ′ h-h β ≤τ′ h|R 0=h ≤Ch 1 2 -β (32) 第三步.给定 ε>0 ,选取整数 N 满足 N> 1 2ε .对于 i=0,1,…,N ,定义 u i h-h N+i 2N 和 Δ 0 [u 0,h],Δ i [u i,u i-1 ),i=1,2,…,N. 则 Ρ R τ′ h =h|R 0=h = ∑ N i=0 Ρ {R τ′ h =h}∩{R τ′ h-1 ∈Δ i}|R 0=h (33) (i) 对 i∈{1,…,N} ,根据强马氏性,(28)式和(32)式,我们得到 Ρ {R τ′ h =h}∩{R τ′ h-1 ∈Δ i}|R 0=h = Ρ({R τ′ h =h}∩{R τ′ h-1 ∈Δ i}∩{θ′ u i-1 ≤ τ′ h}|R 0=h)≤Ρ θ′ u i-1 ≤τ′ h|R 0=h · sup z∈Δ i Ρ R 1=h|{R 0=z}∩{R 1≥h} ≤ ch - N+i-1 2N + 1 2 ·h - N-i 2N =Ch - 1 2 + 1 2N ≤Ch - 1 2 +ε (34) (ii) 对于 i=0 , Ρ({R τ′ h =h}∩{R τ′ h-1 ≥u 0}|R 0= h) 可直接被控制.取 z∈[h- h ,h]. 则对所有 k∈[0, h ] 有 ρ *(z,h+k) ρ *(z,h) ≥ (1-2h - 1 2 ) k≥ (1-2h - 1 2 ) h ≥C. 对 k 求和可得 Ρ R 1≥h|R 0=z Ρ R 1=h|R 0=z ≥C h . 于是 Ρ R 1=h|R 0=z Ρ R 1≥h|R 0=z ≥ C h . 再由强马氏性可得 Ρ {R τ′ h =h}∩{R τ′ h-1 ∈[h-h 1 2 ,h)}|R 0=h ≤ Ρ R τ′ h-1 ∈[h-h 1 2 ,h)|R 0=h · sup z∈[h-h 1 2 ,h) Ρ R 1=h|R 0=z,R 1≥h ≤ sup z∈[h-h 1/2 ,h) Ρ R 1=h|R 0=z,R 1≥h ≤Ch - 1 2 (35) 最后, 结合式(33)~(35)可得引理.证毕. 对于初值为 h-1 的过程 Z n n≥0 ,仿照上述证明,我们有如下结果: 引理2.7 对任意 ε>0 ,存在常数 C<∞ 使得对任意整数 h>0 有 Ρ Z τ h =h|Z 0=h-1 ≤C(ε)h - 1 2 +ε . 引理2.8 [1] 对于任意 ε>0 ,存在一个常数 C(ε)<∞ ,使得对任意整数 h>0 有 Ρ [σ h<∞]∩[Y σ h =h]|Y 0=h ≤ C(ε)h - 1 2 +ε . 由 Y n ,n≥0 和 Y′ n ,n≥0 的定义及上述引理,可得 引理2.9 对任意 ε>0 , 存在常数 C(ε)<∞ ,使得对任意整数 h>0 有 Ρ [σ′ h<∞]∩[Y σ′ h =h]|Y′ 0=h ≤ C(ε)h - 1 2 +ε . 考虑初值为 h-1 的过程 Y n n≥0 ,与引理2.8的证明类似,可得 引理2.10 对任意 ε>0 , 存在常数 C(ε)<∞ ,使得对任意整数 h>0 有 Ρ [σ h<∞]∩[Y σ h =h]|Y 0=h-1 ≤ C(ε)h - 1 2 +ε . 3 定理1.3的证明 为给出定理1.3的证明,我们需要以下两个引理,其证明放在本节末尾. 引理3.1 对任意 ε>0 ,存在一个有限常数 C<∞ ,满足: (i) 对任意整数 p≥0, P A h,p |Y 0=h-1 ≤ (Ch - 1 2 +ε ) p·h - 1 2 ; (ii) 对任意整数 p≥0, ∑ ∞ x=1 P B -x,h,p |R 0=h ≤ (Ch - 1 2 +ε ) p·h 1 2 ; (iii) 对任意整数 p≥0,0≤l≤h 和 x≤-1, P A′ h,p |Y′ 0=l ≤ (Ch - 1 2 +ε ) p. 引理3.2 对任意 ε>0 ,存在一个有限常数 C<∞ ,满足: (i) 对任意整数 p≥0 , P C h,p |Y 0=h ≤ (Ch - 1 2 +ε ) p·h - 1 2 ; (ii) 对任意整数 p≥0 , ∑ ∞ x=1 P D x,h,p |Z 0=h-1 ≤ (Ch - 1 2 +ε ) p·h 1 2 ; (iii) 对任意整数 p≥1,0≤l≤h 和 x≥0 , P C′ h,p |Y′ 0=l ≤C (h - 1 2 +ε ) p. 根据(1)式,为证明定理1.3,我们只需证明 ∑ ∞ x=1 Ε d(-x) +∑ ∞ x=0 Ε d(x) <∞ (36) 由引理3.1,我们可以界定下式 ∑ p+q+r=3 P A h,p |Y 0=h-1 · ∑ ∞ x=1 P B -x,h,q |R 0=h · sup l∈[0,h] Ρ(A′ h,r |Y′ 0=l) (37) 若 r=0,p+q=3 ,则(37)式由下式控制 C (h - 1 2 +ε ) p·h - 1 2 · (h - 1 2 +ε ) q·h 1 2 =Ch - 3 2 +3ε . 若 r>0,p+q+r=3 ,则(37)式由下式控制 C (h - 1 2 +ε ) p·h - 1 2 · (h - 1 2 +ε ) q·h 1 2 · (h - 1 2 +ε ) r= Ch - 3 2 +3ε . 再根据(15)式可得 ∑ ∞ x=1 Ε d(-x) <∞ (38) 由引理3.2,我们可以界定下式: ∑ p+q+r=3 P C h,p |Y 0=h · ∑ ∞ x=0 P D x,h,q |Z 0=h-1 · sup l∈[0,h] Ρ(C′ h,r |Y′ 0=l) (39) 若 r=0,p+q=3 ,则(39)式由下式控制: C (h - 1 2 +ε ) p+q =Ch - 3 2 +3ε . 若 r>0,p+q+r=3 ,则(39)式由下式控制: C (h - 1 2 +ε ) p+q · (h - 1 2 +ε ) r=Ch - 3 2 +3ε . 再根据(20)式可得 ∑ ∞ x=0 Ε d(x) <∞ (40) 最后,根据(38)式和(40)即可得到(36)式.证毕. 引理3.1的证明 (i) 对于 p=0 , 根据(11)式和引理2.1可得 P A h,0 |Y 0=h-1 =P(σ h=∞|Y 0=h-1)≤ Ch - 1 2 . 由此可知,在这种情形下(i)成立.根据(11)式和引理2.1,我们也有 P A h,0 |Y 0=h =P σ h=∞|Y 0=h ≤Ch - 1 2 (41) 对于 p≥1 ,利用 Y n 的强马氏性、引理2.8、引理2.10和(41)式,我们得到 P A h,0 |Y 0=h-1 =P({σ h<∞}∩ {Y σ h =h}|Y 0=h-1)·P(A h,p-1 |Y 0=h) =…= P {σ h<∞}∩{Y σ h =h}|Y 0=h-1 · P σ h <∞ ∩ Y σ h =h | Y 0 =h p-1 · P A h,0 Y 0 =h)SymbolcB@ C h - 1 2 +ε p h - 1 2 , 即(i)成立. (ii) 对于 p=0 ,由(13)式和引理2.4可得 ∑ ∞ x=1 P B -x,h,0 |R 0=h = ∑ ∞ x=1 P τ′ h≥x|R 0=h = Ε τ′ h|R 0=h ≤Ch 1 2 (42) 对于 p≥1 ,由 (R n) 的强马氏性可得 ∑ ∞ x=1 P B -x,h,p |R 0=h = P R τ′ h =h|R 0=h · ∑ ∞ x=1 P B -x,h,p-1 |R 0=h =…= P R τ ′ h =h| R 0 =h p · ∑ ∞ x=1 P B -x,h,0 | R 0 =h . 则由(42)式和引理2.6可得 ∑ ∞ x=1 P B -x,h,p |R 0=h ≤ Ch - 1 2 +ε p·h 1 2 . (iii) 根据 A′ h,0 的定义、(12)式及引理2.2可得 P A′ h,0 |Y′ 0=h =P σ′ h=∞|Y′ 0=h ≤Ch - 1 2 (43) 对 p≥1 , 由 Y′ n 的强马氏性可得 P A′ h,p |Y′ 0=l = P {σ′ h<∞}∩{Y′ σ′ h =h}|Y′ 0=l · P A′ h,p-1 |Y′ 0=h =…= P {σ′ h<∞}∩{Y′ σ′ h =h}|Y′ 0=l · P σ ′ h <∞ ∩ Y ′ σ ′ h =h | Y ′ 0 =h p-1 · P A ′ h,0 Y ′ 0 =h)≤ P σ ′ h <∞ ∩ Y ′ σ ′ h =h | Y ′ 0 =h p-1 · P A ′ h,0 Y ′ 0 =h). 再根据引理2.9和(43)式可得 P A′ h,p |Y′ 0=l ≤ Ch - 1 2 +ε p. 证毕. 引理3.2的证明 (i) 对 p=0 , 由(16)式和引理2.1可得 P C h,0 |Y 0=h =P σ h=∞|Y 0=h 对 p≥1 ,由 Y n 的强马氏性可得 P C h,p |Y 0=h = P {σ h<∞}∩{Y σ h =h}|Y 0=h · P C h,p-1 |Y 0=h =…= P σ h <∞ ∩ Y σ h =h | Y 0 =h p · P C h,0 Y 0 =h) . 由(44)式和引理2.8可得(i). (ii) 对于 p=0 , 由引理2.3可得 ∑ ∞ x=1 P D x,h,0 |Z 0=h-1 = ∑ ∞ x=1 P τ h≥x|Z 0=h-1 = Ε τ h|Z 0=h-1 因此,(ii)式成立.同时,根据引理2.3,我们有 ∑ ∞ x=1 P D x,h,0 |Z 0=h = ∑ ∞ x=1 P τ h≥x|Z 0=h = Ε τ h|Z 0=h 对于 p≥1 ,由 Z n 的强马氏性可得 ∑ ∞ x=1 P D x,h,p |Z 0=h-1 = P Z τ h =h|Z 0=h-1 · ∑ ∞ x=1 P D x,h,p-1 |Z 0=h =…= P Z τ h =h|Z 0=h-1 · P Z τ h =h| Z 0 =h p-1 · ∑ ∞ x=1 P D x,h,0 | Z 0 =h . 接着,由引理2.5、引理2.7及(45)式可得 ∑ ∞ x=1 P D x,h,p |Z 0=h-1 ≤ Ch - 1 2 +ε p·h 1 2 , 即(ii)成立. (iii) 根据 C′ h,0 的定义式(17)及引理2.2,可得 P C′ h,0 |Y′ 0=h =P σ′ h=∞|Y′ 0=h ≤Ch - 1 2 (46) 对于 p≥1 ,由 Y′ n 的强马氏性可得 P C′ h,p |Y′ 0=l = P {σ′ h<∞}∩{Y′ σ′ h =h}|Y′ 0=l · P C′ h,p-1 |Y′ 0=h =…= P {σ′ h<∞}∩{Y′ σ′ h =h}|Y′ 0=l · P σ ′ h <∞ ∩ Y ′ σ ′ h =h | Y ′ 0 =h p-1 · P C ′ h,0 Y ′ 0 =h)≤ P σ ′ h <∞ ∩ Y ′ σ ′ h =h | Y ′ 0 =h p-1 · P C ′ h,0 Y ′ 0 =h) . 接着,由引理2.8和(46)式知 P C′ h,p |Y′ 0=l ≤C h - 1 2 +ε p. 证毕. 4 注和开问题 注2 类似于最爱下穿点过程,我们可以定义最爱上穿点过程.由一维简单对称随机游动的对称性,我们可以得到最爱上穿点相对于定理1.1的类似结果. 注3 定义 ξ *(x,n) max {ξ U(x,n),ξ D(x,n)}. 我们称点 x 为 n 时刻的最爱单边点,若其满足 ξ *(x,n) = sup y∈ Ζ ξ *(y,n). n 时刻的最爱单边点集记为 K *(n) . K *(n) ,n≥1 称为一维简单对称随机游动的最爱单边点过程. 相对于 K D(n) , K(n) 和 E(n) 这三个过程,过程 K *(n) 的研究似乎更为困难.对于一维简单对称随机游动,我们提出如下问题: 问题4.1 4个及4个以上的最爱单边点是否会以概率1最多出现有限次? 问题4.2 3个最爱单边点是否会以概率1出现无穷多次? 问题4.3 最爱单边点过程是暂留的吗? 如果是,那么它的逃离速率是多少? 参考文献: [1] Tóth B, Werner W.Tied favourite edges for simple random walk [J].Combin Probab Comput, 1997, 6: 359. 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