基于西蒙数学理论的初中几何教学实践与反思

[摘  要] “西蒙数学”是在“人类自适应学习”的理论基础上，将人工智能和现代认知心理学应用于数学教学的现代教学理论. 应用西蒙数学理论，教师设计并执教“平行拐角求角度”专题课，应采用小步走、搭建脚手架的方法，设置层次分明的题组，让学生主动探究与建构知识，助其掌握此类题型的解法，同时培养其知识的迁移能力和运用能力.

[关键词] 平行拐角问题;西蒙数学理论;自适应学习;产生式;题组教学

基金项目：广东省教育规划课题“基于自适应学习理论提升初中生几何推理能力的研究”（2021YQJK050）.

作者简介：吴小敏（1982—），教育硕士，中学一级教师，从事初中数学教学研究工作，曾获广东省初中青年教师优秀课评比一等奖.

前言

无论是《普通高中数学课程标准（2017年版）》的高中数学六大核心素养，还是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的初中数学十大核心概念，“推理素养”或“推理能力”皆列其中，可见推理能力对学生发展的重要性不言而喻. 在初中数学中，几何部分的教学对发展学生的推理能力一直发挥着至关重要的作用. 另外，在初中数学的四大模块（数与代数、图形与几何、统计与概率和综合实践活动）中，几何难教难学几乎是师生的共识. 因此，高校和教研部门的专家以及诸多一线教师，都在做优化几何教学的理论探索与实践.

西蒙数学理论简介及其在几何教学的应用

传统教学中的“讲授式”是一种单向教学方式，在师生互动欠缺的情况下，学生的兴趣和注意力不易有效唤起，知识掌握不牢固，对于难度大的学习内容更难以攻破其重难点. 心理学界认为，解决学习问题不能依赖学科知识，还需关注认知心理. 按照安德森等人的研究，将知识分类[1]，很多几何性质、定理、推论都是陈述性知识或程序性知识，需要较复杂的认知策略才可解决，解决问题的过程一般以产生式（if...then...）的动态形式来表征. 当学生的脑中形成了足够多的产生式，便能出现较多的解题技能与认知策略，进而快速有效地提取信息解决问题. 关于产生式研究，国内外影响力较大的，是著名认知心理学家赫伯特·西蒙（H·A·Simon）与中国科学院心理学家朱新明联合研究的成果——“自适应产生式系统”. 近二十年来，华南师范大学谢明初教授在此基础上借鉴建构主义和情境认知理论，提出了一套高效教学方法，并据此编写教材，开展实证研究，形成的理论用“西蒙”冠名以示纪念，谓之“西蒙数学”[2][3][4][5][6][7].

西蒙数学将人工智能和現代认知心理学运用于数学教学[8]，主张学生主动学习并进行知识建构，教师不是单向给学生输入知识，而是通过为学生提供精心设计层层递进的题组，让学生成为学习主体，充分发挥学生学习的积极性，依据已有知识和经验来解决问题. 学生则通过问题体会知识的来龙去脉，用“做中学”“例中学”两种方式，对数学知识进行探索与建构，从而归纳数学原理、性质和方法，并以此解决问题.

在初中几何学习的入门阶段，平行拐角问题是一个难点，也是近些年全国各地常见的考点，且常以较复杂的形式出现，通常是两个甚至多个平行拐角基本图形的叠加. 图中出现线多角多时，部分学生会被过多的信息干扰，他们往往不易从中识别、抽取出基本模型，难以借助平行线与同位角、内错角、同旁内角三类角的关系去解决问题. 基于上述情况，本文尝试运用西蒙数学理论，以“平行拐角求角度”为例，探讨初中几何教学设计的重构.

教学案例分析

1. 教材内容、学情分析

继“相交线与平行线”后，学生学习“平行拐角求角度”专题课. 学生已掌握此类题型的常用解法，具备用规范的几何语言书写过程的能力. 为了让学生进一步熟悉此类问题的解答方法，并能系统地掌握六种基本类型的结论，教师课前给学生布置了一道能概括平行拐角的所有基本类型的题目. 对于大多数学生而言，这是难以攻破的题目类型. 这需要学生熟悉不同的图形变化情况，且具备将复杂图形拆分成简单的基本图形的能力.

2. 教学目标

（1）进一步熟悉平行拐角的六种基本图形;

（2）以“问题链”展开的题组学习中，将复杂的平行拐角图形拆分成简单的平行拐角基本图形求角度，并能将解题方法迁移应用于其他不同场景的变式题型中;

（3）将复杂的图形拆分成简单的基本图形的过程中，体会“化归”“从特殊到一般”等思想方法.

3. 教学重难点

熟悉平行拐角问题的六种基本图形;把复杂的平行拐角图形拆分成简单的平行拐角基本图形来解决问题.

教学过程设计

1. 复习回顾

从布置的作业题入手，让学生展示自己的作业过程，说出六种基本图形中三个角之间的数量关系并分析证明思路.

如图1所示，直线AC截直线AB，CD，AB∥CD，点E是不在直线AB，CD，AC上的任一点，且∠BAE=α，∠DCE=β，求∠AEC的度数（用α，β的式子表示）.

设计意图  （1）图1中的直线AB，CD，AC将整个平面分为六个区域，动点E就有六种位置类型，包含平面中的六种基本拐角类型. 此处涉及分类思想和从抽象到具体的思维方法;（2）让学生回忆旧知：含“拐角”的平行问题，解题思路是在“拐点处”作平行线，让学生经过角的转化得出三个角之间的数量关系，会用到转化思想;（3）通过复习让学生进一步理解和熟悉这六种基本类型的结论.

小结  六个结论中，有五个结论相同：大拐角=两个小拐角之和;有一个特殊结论：三个拐角之和=360°.

2. 知识建构

如图3所示，若FG平分∠CFP，MH平分∠AMG，且∠G+1/2∠P=60°，求∠AMG.

此题图形复杂，且所有角都未知具体度数，如果直接抛出此题，基础薄弱的学生可能会束手无策. 由于不同层次的学生认知水平和接受能力有所不同，所以教师根据认知规律搭建“脚手架”，设置梯度合理的“问题串”，可使学生易于接受，乐于挑战，在“做中学”里拾级而上. 于是，教师编排了以下题组：

【题组1】

第一步，复习题目中包含的平行拐角基本模型：

题1：如图4所示，已知AB∥CD，∠BAP=95°-2α，∠APC=90°-α，∠PCD=55°-α，求α.

第二步，复习题目中包含的另一平行拐角基本模型，与题1是并列式问题：

題2：如图5所示，已知AB∥CD，且∠GEA=95°-2α，∠GFC=90°-α，∠G=55°-α，求α.

第三步，把以上两种平行拐角基本模型放在同一图形中，即将题1与题2组合成题3：

题3：如图6所示，已知AB∥CD，且∠GMA=α，∠GFC=∠GFP=β，（1）用α，β的式子表示∠G与∠P;（2）若∠G+1/2∠P=60°，求∠GMA.

第四步，经历前面三道题的解决过程，当递进式的题4出现时，学生便能读懂题4的图形. 同时，学生从题3能够受到启发，可分别用两个未知数来表示与角平分线相关的角. 例如，设∠1=∠2=α，∠3=∠4=β，从而用含α，β的式子分别表示出∠G，∠P，再由∠G和∠P的数量关系列出方程求解.

题4：如图7所示，已知FG是∠CFP的平分线，MH是∠AMG的平分线，且∠G+1/2∠P=60°，求∠AMG.

小结  熟悉平行拐角问题的六种基本图形是关键，同时要将复杂的平行拐角图形拆分成简单的平行拐角基本图形.

设计意图  教学目标是让学生将复杂的平行拐角图形拆分成六种简单的平行拐角基本图形来解决问题，因此教师可根据问题中用到的平行拐角基本图形，以题组形式有针对性地、层层递进地呈现出来，让学生通过一个个问题对知识点进行逐层分解. 学生解决完前面几个问题后，把方法迁移到题4中，问题迎刃而解.

西蒙数学理论认为学习目标不能停留在对知识的理解上，而要培养和提升学生对知识的迁移能力和运用能力. 所以西蒙数学教学法提倡教师采用小步走，从易到难、从具体到抽象，以逐层递进的方式精心编排题组，让学生“做中学”，并在教师的引导下对题组的解题策略进行小结. 同时，教师要为学生编排出丰富的变式题组，促其“例中学”，类比例题来解决新的问题，并引导学生从题目的变化中把握解题思路中的“不变”，让学生灵活地解决数学问题，帮助学生实现知识迁移，从而达到融会贯通的学习效果.

经历题组1形成方法的过程，学生通过“例中学”，进一步分析这一类题型的解答思路，总结解题策略. 于是，教师又设计了以下题组：

【题组2】

第一步，先呈现题4包含的平行拐角基本模型：

题1：如图8所示，已知AB∥CD，且∠ABE=2α，∠CDE=2β，求∠E（用α，β的式子表示）.

第二步，呈现题4包含的另一平行拐角基本模型：

题2：如图9所示，已知AB∥CD，且∠ABM=α，∠CDN=β，求∠F（用α，β的式子表示）.

第三步，把以上两种平行拐角基本模型放在同一图形中，并加入双角平分线，由前面两题的启发，分别设∠1=∠2=α，∠3=∠4=β，从而用含α，β的式子分别表示出∠F，∠E，然后求解问题.

题3：如图10所示，AB∥CD，BM平分∠ABE，DN平分∠CDE，直线BM与DN相交于点F，求∠F ∶∠E的值.

第四步，依照“从简单到复杂，从具体到抽象”的顺序编排题组，这也呈现了研究数学的常用方法：从特殊到一般. 学生可以迁移前面解决问题的知识与方法来解决题4.

题4：如图10所示，若∠ABM=1/n·∠MBE，∠CDN=1/n∠NDE，则=∠F/∠E______.（用含n的式子表示）

小结  遇双角平分线、比例式可设未知数，让学生将复杂的平行拐角图形拆分成熟悉的平行拐角基本图形，将题组1的解答方法迁移应用于其他变式题型中.

设计意图  教学目标依然围绕学生将复杂的平行拐角图形拆分成六种简单的平行拐角基本图形来解决问题. 若教师直接给出题4，会让许多学生望而生畏. 所以教师依然遵循西蒙数学理论，由简入难、从具体到抽象设计题组2. 这样不仅能帮助学生进一步理解知识，还能培养学生的知识迁移能力和运用能力.

3. 课后作业

教师遵循“小步台阶，从易到难”编排作业，继续设计不同的数学情境，以相应的变式进行发散思维的训练，让学生可以灵活迁移和运用前面形成的知识、策略去解决问题，从而达到举一反三的学习效果.

【题组3】

第一步，复习题目中包含的平行拐角基本模型：

题1：如图11所示，已知AB∥CD，∠K=60°，∠KHC=nα，求∠AGK（用含n，α的式子表示）.

第二步，继续复习题目中的同一平行拐角基本模型，变换已知条件中的两角，求第三个角. 题2多加了一个未知数，难度递增.

题2：如图12所示，已知AB∥CD，且∠AGP=60°-nα+α，∠PHC=nα.求∠GPH（用含n，α的式子表示）.

第三步，把以上两种平行拐角基本模型结合在一起. 所求式子涉及两个角（∠AGM和∠GPH），根据掌握的方法，设未知数并用未知数分别表示出两个角，再依据定值的含义，求出n的值.

题3：如图13所示，AB∥CD，点G在AB上，点H在CD上，点K在AB，CD之间且在直线GH的左侧. 已知∠GKH=60°，点P在线段KH上（不与K，H重合），连接PG并延长至M，∠KHC=n∠KGP，要使得∠AGM/∠GPH为定值，求n.

小结  （1）遇倍数关系式时，可设未知数;（2）正确理解定值的内涵;（3）进一步内化题组1、题组2的解答方法，并灵活地应用于其他数学情境，以达到融会贯通的学习效果.

教学反思

1. 立足认知心理，逻辑与认知双维进阶

借助西蒙数学教学法设计教学方案，其优势是立足认知心理学，从逻辑和认知的维度出发，助力学习者建构知识.

建构主义理论认为：学习不是知识由外到内的转移和传递，不是他人间接经验的传授，而是学习者主动地、自发地形成自己知识经验的过程，即“经过新旧知识之间互相作用来扩充、丰富和改造已有的知识经验”[9]. 学习者是以自身的经验主动地建构和形成新的知识和经验的，不是被动地接受;且所进行的有意义的建构并不是毫无根据的，而是在具体的情境中进行的. 获得新的知识经验与已有的知识经验相关，所经历的问题通常是具体的情境问题. 所以，教师可以根据不同的课型、不同的教学目标、不同的教学对象，由易到难、层次分明地设置题组，使学生处于易于解决的具体问题中，例如本教学设计中的各题组的编排，就是让学生联系旧知，建构新的知识经验，启发和引导学生思维，提高课堂效率.

2. 搭建认知支架，“问题链”明确思维指向

由维果斯基的最近发展区理论，题组中各小题的设计可以看作是教师为学生从“现有水平”到“可能达到的发展水平”搭建的“支架”. 问题间存在一定的层次性与梯度性，在解决这些问题中，不断攻破重难点，使教学目标得以顺利完成. 奥苏贝尔认为影响学习者学习效果最主要的因素是“学习者已掌握的知识和即将掌握的知识之间建立联系的情况，当学习者将新知识内化成自己的认知结构后，便促进了有意义学习的完成”. 西蒙数学理论重视学生个体的心理、认知等因素对学习过程的影响. 教师遵循“小步走”“例中学” 与“做中学”的核心思想，精心设置例题及梯度性问题，助力学生自我学习与知识建构，促其内化知识、形成技能实现知识的有效迁移. 这与建构主义理论、最近发展区理论和奥苏贝尔的有意义学习等理论是一致的.

西蒙数学理论提倡的“题组问题链”教学是一种高效教学方法，能帮助学生减轻负担，点燃学生的学习热情，使学生学得主动而且快乐，教师主要的任务是引导、组织. 这与“重视学生学习的主动性”“关注学生知识的形成过程”等新课标教育理念是一致的. “平行拐角求角度”这节课的内容，难度较大，若是直接呈现每个题组的最后一题，很多学生可能会出现畏难情绪，学习的主动性将受到影响. 若这时教师直接“满堂灌”地讲授，则会出现另一种局面：学生依然无法真正掌握解题方法，更难以内化成自己的知识结构，无法实现有意义的学习.

3. 精心编排问题，拾级助推突破重难点

基于西蒙数学理论的教学法提倡教师采用“小步走”，由易到难、从具体到抽象逐层递进地精心编排题组，把具有一定难度的问题分解成几个具有关联性的子问题，由浅入深地促进学生的思维进步，从而完成教学目标. 因此题组中的问题编排是攻破重难点的关键. 这就要求教师在备课时深入研究教材和相关资料，了解学生现有的知识储备和学习经验，根据教学目标、重难点的需要，预设一系列环环相扣、层层递进、不断深入的“问题链”，促进学生拾级而上.

笔者在“平行拐角求角度”这节课中，讲评作业题目时发现有些学生对六个平行拐角基本图形的结论不熟悉，导致他们讲解题目解法时耗时过多，题组1的前三个问题的解答超出了预计时间，所以课堂上没有足够的时间让学生完成题组2. 笔者分析，学生现有的认知水平，以及他们对该问题的掌握程度不够，是一个重要的原因. 若重新调整，会在此内容施教前，增加一节针对这六个平行拐角基本图形的变式题训练课，让本教学设计能够得到更好的实施背景，从而高效实现教学目标.

近年来，国内外掀起了数学教育心理学研究的热潮，主要涉及学生数学学习过程中的认知因素，对学生数学学习质效的提升大有裨益. 因此，教師要践行西蒙数学等理论，从认知心理的角度设计教学方案，在教学过程中不断反思与实践，探求更多的有效的方法，从而提高学生的数学学习能力，提升学生的数学素养.

参考文献：

[1]喻平. 数学教学心理学[M]. 北京：北京师范大学出版社，2018.

[2]谢明初主编. 义务教育教科书：初中数学高效学习版（七年级上册）[M].上海：华东师范大学出版社，2019.

[3]谢明初，彭上观. 数学学习理论的演变[M]. 上海：华东师范大学出版社，2020.

[4]古土城，刘晓锐. 西蒙数学教学理论下的初中数学教学设计[J]. 中学数学研究（华南师范大学版），2016（03）：11-14.

[5]古土城. 借助“西蒙数学教学法”提升初中生数学能力实证研究[J]. 中学数学教学参考，2017（33）： 65-70.

[6]朱新明，李亦菲，朱丹. 人类的自适应学习——示例学习的理论与实践[M] . 北京：中央广播电视大学出版社，1998.

[7]辛毛子. 西蒙数学教学理论的探索与实践[J] . 江西教育，2020（24）：8-9.

[8]姜云囡，古土城. 基于西蒙教学法与“5W2H”分析法改进公式教学探微——“完全平方公式”教学“跟踪· 改进”实例[J]. 数学教学通讯，2016（23）：2-5.

[9]崔艳君. 初中数学课恰当选择问题串类型的策略研究[D]. 南京师范大学，2018.