“运算一致性”建构的三个视角

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，数的运算领域教学要经历算理和算法的探索过程，要理解算理，掌握算法，感悟数的运算以及运算之间的关系，体会运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。所谓的运算一致性就是经历再抽象的过程，使运算摆脱现实背景和实际意义，实现运算的一致性，也就是经历数学化的过程，这样的数学化实质上就是数学家弗赖登塔尔所说的横向数学化，即把学生从生活世界引向符号世界的过程。当下教师已经有了探寻运算本质一致性的意愿和意识，教师要帮助学生理解算理，更好地展现运算一致性结构关系，让学生看得清晰、理解透彻。在教学“口算两位数乘一位数”时，教师借助数学语言转换，经历运算过程理解性建构、联结性建构、迁移性建构，不仅有利于学生感悟运算一致性，理解数学本质，而且能促进学生核心素养的形成和发展，获得很好的效果。

一、理解性建构

理解性学习是以“理解数学”为目标，指向引领学生迁移和运用先前知识和学习经验，在新的教学情境中对所学内容进行有效加工，并不断获得相关知识本质的深刻理解和核心素养发展的过程。理解是知识建构的基础，只有理解了知识前后联系，体会知识之间的结构特征，才能达成感悟数学本质的目标。知识内部关系理解越深刻，建立知识的结构越清晰，越易形成结构化的思维。反之，则只能是一知半解、浮于表面，数学理解质量、水平必然会大打折扣。认知心理学研究表明，只有当学习者接触了大量的可理解性的材料时，在心理上组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分，才能帮助学生建构清晰的认知表象，提升理解水平。

例如，教学“口算两位数乘一位数”时，教师先创设小熊购物的情境，学生获取信息后，根据每瓶蜂蜜20元，求购买3瓶蜂蜜一共要付多少元可列式为：20×3，计算“20×3”时学生都能说出结果是60元，教师追问：为什么是60元，谁能清楚地讲明白道理？可以用自己喜欢的方法或借助想要的学具解释说明。交流时，有的学生通过画一画说理，一个长方形表示每瓶蜂蜜20元，画3个这样的长方形，就是60元，边画边数出结果；有的学生是摆小棒，每次摆2捆，摆了3次，得到20×3=20+20+20=60元，边摆边算出结果；有的学生是在计数器上拨珠子，在十位上每次同时拨2个珠子，拨了3次，边拨边想出结果；有的学生画方块图，每组画2条，画了3组，得到60。教师追问：这些不同的方法有什么共同特点？你能从图中找到表示“2×3”的过程吗？学生通过讨论发现：它们操作的过程相同，每次摆2捆小棒，再摆3次得6捆；计数器每次拨2颗珠子，再拨3次得6颗；每列画2条方块图，再画3列得6条。这里的“捆”“颗”“条”都代表计数单位“十”，也就是2个十乘3得6个十是60。继而，学生发现“二三得六”口诀可以表示2个一乘3得6个一，2个百乘3得6个百，2个千乘3得6个千，最后归纳出几个计数单位乘几得到几个这样的计数单位。

口算两位数乘一位数，通常学生会算、会记忆，思维处于低层次，学生分析、评价、创造的高阶思维是欠缺的，要想促进学生高阶思维的发展，理解运算的一致性本质是必然所在。教学中，教师提供丰富的学习材料，唤醒学生已有认数表征经验，通过独立思考、个性化表达，将图形语言转换为文字语言，抽象出“捆”“颗”“条”都表示计数单位“十”，小棒图、计数器、方块图帮助学生以表内乘法联结更大“捆”“颗”“条”，对应更大计数单位“百”“千”……学生再次把文字语言转换为符号语言，通过比较、联想、想象、转换、分析、归纳等方法进行深度思考，有了理解性材料的支撑，他们顺利通过两次数学语言转换，形成清晰计数单位运算的表象，抽象出运算本质，深度理解整十数乘一位数的实质是几个十乘几，也就是数一数有几个十。

二、联结性建构

联结是一种事物唤醒另一种事情的倾向。静态的陈述性知识（已有事实或概念）和动态的程序性知识（操作步骤和方法）两者之间相互联结，就是新知识学习建构的过程，也是记忆储存形态。数学知识背景的抽象性、数学问题表征的多元性、儿童内心世界的丰富性，要求学生会用数学的“眼光”来看现实生活中的问题，学生要将数学的非正规知识和数学符号的使用建立意义联结。因此，指导学生学习数学知识，教师要有联结性的思维意识，引领学生进行关联性建构，培养学生联结性思维方式。联结性建构就是真实世界中的数学问题与学生的生活经验、思维方式相联结，最大可能地让学生贴近生活，根据生活实际处理数学问题（包括选择恰当的数学工具与方法）。建构数学内部知识点与知识点之间、一个单元与另一个单元之间的联结。教学中，教师一方面根据学习内容和学生生活经验设计问题，设计联结性学习活动。另一方面建立知识点与知识点、一个单元与另一个单元的联系，让学生在最贴近的关联中建构知识体系。

探究“23×3”时，教师从知识内部关联和生活问题关联两个路径设计学习活动，引领学生进行知识联结性建构。教师提问：想一想23×3结果会是多少？怎样解释运算的道理？借助刚才的操作图，你有什么新的联想？思路清晰的学生四人小组内交流想法，暂时还不能确认的学生，可以借助学具画一画、摆一摆、拨一拨。学生借助原有的经验表达新的想法，借助先前小棒图，2捆乘3得6捆，再添上3根乘3得9根，合起来是69。画方块图的学生（如图1），得出2个十乘3得6个十，3个一乘3得9个一，还概括出几个十乘几得几个十，几个一乘几得几个一。教师继续追问：23×3还可以解决生活中哪些数学问题？根据场景图四人小组说一说、画一画、写一写。交流时有的小组画图（如图2）编出问题：星期天去敬老院为3位老人购买生活用品，每人用了23元，3人一共用去多少元？有的小组画图（如图3）编出问题：书法小组在幕布上写大字（以O表示字），每行写23个，3行一共有多少个字？有的小组画图（如图4）编出问题：工人师傅铺地砖，每排铺23块，3排一共铺了多少块？

史宁中教授指出，简单的计算方法往往需要付出逻辑的代价，从理解算理到形成算法，是从具体到抽象的过程，也是逻辑思维表达的过程。教师通过巧妙设计两道结构关联例子——20×3、23×3作为研究材料，学生根据先前十位上的数相乘操作原理，直观想象个位上的数相乘操作程序，减少动手操作次数，提升操作频率，2个十乘3是6个十，迁移到3个一乘3就是9个一的运算方法。回归生活举例23×3还可以解决哪些生活问题，教师有意识地提供场景图，连接运算与生活的关系，通过人民币示意图、点子图、方块图以及乘法运算的多元表征方式，完成生活化到数学化的进程。实物模型、点子图直观模型、面积模型，可以帮助学生从直观到抽象理解算理，三幅图分别清楚表示计算20×3和3×3部分，符号语言转换为图形语言和文字语言，共同指向先分后合的运算基本程序，凸显运算本质就是数一数、算一算有多少个这样的计数单位。

三、迁移性建构

所谓迁移是一种学习对另一种学习的影响，具体是指在一种情境中获得的知识、技能或态度对另一种情境中知识、技能的获得或态度的形成产生影响。巧妙回避负迁移，合理利用正迁移，学习效果就会事半功倍。教学中，教师要遵循儿童认知规律，设计学习任务，促进正迁移。教师可以按照渐进分化的原则有顺序地呈现学习材料，先是具体、个别分化的概念，再是一般的、范围广的概念，从个别到一般，符合学生认知规律，有利于学习方法、数学思想的迁移。还可以把学习内容分成若干个任务，每个任务完成序列化学习内容，让后一步学习建立在前一步的基础上，前一步学习为后一步学习提供固着点，既符合数学知识本身逻辑，又适应学生的认知规律，有利于学习路径迁移。教师还可以引导学生通过观察、比较、概括等活动，发现知识之间的联系，提高学生概括水平，促进学生思维方式的迁移。

在练习环节教师可以设计如下题目：1时=（ ）分，2时=（ ）分，3时=（ ）分。要求学生边操作钟面边思考运算中有什么联系，引导学生从关注运算结果转向关注运算的过程，学生发现：1时（分针转一圈），2时（分针转2圈）。学生在交流中相互补充，1时=60分，求2时=（ ）分，这样思考：2时是2个1时，即求2个60分是多少，以此类推，3时是3个1时，就是求3个60分是多少……最后归纳求几时=（ ）分转化为几个1时，都是求几个60分是多少。由此迁移，学生联想到学习过的其他单位。比如，长度单位、货币单位之间运算方法存在相通性。大单位转换成小单位是计量单位的细分，小单位转换成大单位是计量单位的累加。度量单位的运算与数的运算具有一致性，都是相同计数（量）单位个数累加或细分。

在小学阶段的数学学习中，理解度量意义、认识度量单位、学会单位运算是重要的学习内容，也是培养学生数学素养的重要任务，量的运算一致性理解往往是教师易忽视的内容，对度量意义、度量单位、单位之间运算，只会停留在“是什么”层面，缺乏“为什么”的深度追问和思考，学生解决单位之间的运算时，常是死记硬背，测量工具作为深度理解度量单位之间关系的最有效工具，过早被学生丢弃，单位之间转换方法学生理解不透彻，转换过程不顺畅，学习效果可想而知。教学时，教师首先要充分挖掘知识背后共通的思想方法，帮助学生理解知识原理，通过观察钟表时针和分针运行轨迹，建立“几时是几个1时累加”的观念，根据1时=60分，推理几时就是几个60分的累加，学生有了时间单位累加经验，联想1米就是10个1分米累加，1元就是10个1角累加，从具体到一般，学生主动将数运算的一致性迁移到量运算的一致性，整体建构，学习过程指向精细化、结构化，顺利完成了运算一致性的学习迁移。

综上所述，运算一致性的数学本质学习，学生要在真实情境中接触大量的可理解的学习材料后，逐步积累个体思维经验。教师要设计多样的学习活动，为学生提供多元表征机会，要搭建思维理解性、联结性、迁移性学习平台，引导学生借助数学语言转换，经历数学化的过程，理解数学的本质，教师要培养学生符号意识、运算能力和推理意识，从而促进学生数学课程核心素养“数学眼光”“数学思维”“数学语言”的全面提升。

（作者单位：南京师范大学相城实验小学）

卢清荣，江苏省特级教师，正高级教师，江苏省基础教育改革科研先进个人，姑苏特聘人才，领军名师，“国培计划”首席专家，主持江苏省重点课题和省课程改革实践项目，曾获江苏省基础教育科研成果奖一等奖、哲学社会科学优秀成果奖，出版个人专著《数学语言转换与小学数学教学》。