用微分从属定义的某亚纯多叶函数的性质

杨颖，方芳

微分从属的性质和应用是解析函数论的重要研究内容之一，已经在复变函数论、Banach空间、微分方程等多个相关学科领域中得到了越来越广泛地应用，具有重要的理论意义和应用价值.早在1981 年MILLER 和MOCANU就开始研究关于一阶微分从属的理论，尤其是在单叶函数中的一些有趣应用［1−2］；CHO 和LEE 等利用一阶微分从属进一步发展和优化了前人的部分理论［3］；LIU 在2019 年给出了微分从属在贝赛尔函数中的应用［4］.近年来，国内外的一些学者引入和研究多种用微分从属定义的单叶或亚纯多叶函数的子类，并给出了其包含关系、不等式关系、从属关系和系数估计等性质［5−9］.受其启发，本文利用微分从属定义的一类亚纯多叶函数，并研究了其包含关系、不等式关系和最佳界等性质.

1 预备知识

定义1 令∑np为形如

定义f1(z)和f2(z)的Hadamard 卷积为：

则称f(z) ∈Hn（A，B；λ）.这里−1≤B<1，B0.

这里：Reμ≥0，μ≠0，则g(z) ≺h(z).

2 主要结论

定理1 对λ>0，k>0，−1≤B<1，B

这表明f(z) ∈Hn（A，B；λ）.

定理2 令f(z) ∈Hn（A，B；λ），如果令

上述边界对fn(z)是最佳的.

证明 对|ξ|≤σ(σ<1) 有

积分后得到了

由式（10）和式（12），对于|z|=r<1 有

因此fn(z)∈Hn（A，B；λ），由式（13）可以得出式（6）、式（7）是最佳的.

由式（6）、式（14）得出：

由式（6）和式（14）得出式（8）.显然对于式（5）给出的fn(z)，式（8）是最佳的.

定理3 令f(z)∈Hn（A，B；λ），且AB≤1.则对|z|=r<1,有

以上边界是最佳的.

证明：因为AB≤1，对||ξ≤σ<1有

由式（12）和式（17）得对于||z=r<1，

得出式（15）.因为

由式（19）得出式（16）.

式（15）和式（16）对于函数fn(z) 是最佳的.

3 结语

本文利用一阶微分从属定义了一类亚纯多叶函数的子类Hn（A，B；λ），研究了其包含关系、不等式关系及最佳界等性质.用微分从属定义的亚纯多叶函数还有更多的性质等待我们去探索和研究.