基于改进多目标遗传算法的变截面涡旋盘优化设计

赵睿琦

（中国葛洲坝集团股份有限公司，湖北武汉 430034）

0 引言

涡旋压缩机具有微振低噪、高效节能、结构紧凑且运转平稳等特点[1]，目前被广泛应用于各类气体压缩、空调及制冷设备中，并在涡旋增压器、涡旋泵和涡旋膨胀机等领域发挥着重要作用，具有广阔的应用前景和市场[2]。

涡旋盘是涡旋压缩机的主要零件，对涡旋机械的性能有决定性影响[3]，如何得到综合性能更好的涡旋盘型线已经成为国内外学者的研究热点[4]。Gravesen等人[5]基于微分几何理论，研究了平面曲线特征方程，为优化研究奠定了基础；An等人[6]对涡旋盘结构参数进行了优化，提高了压缩机性能；Liu等人[7]基于协同优化方法成功提高了涡旋盘的能效比；陈进等人[8]利用共享小生境技术的非劣优选遗传算法对涡旋盘进行了优化；王立存等人[9]利用泛函对变壁厚通用涡旋型线理论及形状优化做了研究；刘涛等人[10]利用Matlab遗传算法工具箱对变截面组合型线的连接点进行了优化。

由上述文献可知，目前变截面涡旋盘的优化设计大多是基于遗传算法，以压缩比和面积利用系数这两个几何指标为优化目标进行的优化设计。然而，遗传算法存在过早收敛和后期搜索迟钝的问题，容易陷入局部最优解[11]。此外，仅以压缩比和面积利用系数最大为优化目标设计的变截面涡旋型线在齿头部分较薄弱，工作过程中承受较大的气体力，导致涡旋盘的力学性能变差[12]。为了使变截面涡旋盘兼具良好的几何性能和力学性能，本文提出在变截面涡旋盘的优化设计中，引入齿头修正部分优化，以动涡旋盘所受轴向气体力最小和压缩比最大作为设计目标，采用改进多目标遗传算法，寻求由基圆渐开线-高次曲线组成的变截面涡旋盘多目标优化的Pareto非劣解集，将优化结果与传统的变截面涡旋盘进行对比分析，验证该优化设计方法的可行性及优越性。

1 变截面涡旋盘优化设计模型

1.1 涡旋盘型线的表达

本文以基圆渐开线-高次曲线组成的组合型线变截面型线为研究对象，此类型线具有较短的泄漏线长度，减少了能量的损耗，符合绿色设计理念。该组合型线的各段基线方程可以表示为：

圆渐开线基线方程为：

高次曲线基线方程为：

非工作段方程为：

式中：（xci，yci）为对应段基线的曲率中心。

为了满足基线的连续性和光滑性条件，根据共轭曲线的啮合原理将曲率半径ρ以泛函的形式表征为：

式中：φ为型线展角；φ1为圆渐开线最大展角；φ2为型线最大展角；a为基圆半径；b0、b1、b2、b3为高次曲线控制参数。

利用法向等距线法[13]生成的组合型线示意图如图1所示。图中从内向外依次为第一工作腔、第二工作腔和第三工作腔。

图1 组合型线示意图

1.2 目标函数

为了能同时提高涡旋盘的力学性能和几何性能，将能反映涡旋盘力学性能的轴向气体力和能反映涡旋盘几何性能的压缩比作为设计目标。

1.2.1 轴向气体力的计算

轴向气体力过大，则动静涡旋盘会发生脱离，从而使径向泄漏量增加，故轴向气体力越小，越有利于提高涡旋压缩机的力学性能。因此，将轴向气体力倒数最大作为第一子目标函数，其表现形式为：

其中轴向气体力Fa的计算公式为：

p3、p2和p1分别为对应工作腔的压力，其计算公式为：

式中：θ*为开始排气角；ps为吸气压力，取ps=0.101 3 MPa；Vi为对应工作腔容积；κ为气体的等熵指数，取κ=1.19。

根据法向等距线及母线理论计算工作腔容积，本文构建的组合型线的工作腔容积计算如下：

（1）i=4，完全由高次曲线组成的吸气腔容积为：

（2）i=3，由高次曲线和圆渐开线组成的第一工作腔容积为：

（3）i=2，由圆渐开线和修正圆弧组成的第二工作腔容积为：

（4）i=1，完全由修正圆弧组成第三工作腔容积为：

式中：θ为曲轴转角；h为涡旋齿的齿高；Ror为回转半径；取φ2=4.5π，φ1=2.5π；Lh为高次曲线对应的基线的弧长；Lc为圆渐开线对应的基线的弧长；α为渐开线发生角；φ为双圆弧修正展角；λ为修正圆弧中心角；R为修正大圆弧半径；r为修正小圆弧半径；Am为修正齿头轴向投影面积。

1.2.2 压缩比的计算

压缩比是衡量涡旋盘性能的指标之一，压缩比越大，则证明涡旋盘的几何性能越优良。因此将压缩比最大作为第二子目标函数，其表现形式为：

其中压缩比γ的计算公式为：

1.2.3 目标函数的确定

采用权重系数法将多目标优化问题转化为单目标优化问题，故目标函数的表现形式为：

式中：ωi为权重系数；fi（X）为子目标函数。

1.3 设计变量和约束函数

通过对上述型线及目标函数的解析构成形式进行分析，确定设计变量为：

考虑到涡旋压缩机应用于轿车、空调等有限空间，限定涡旋盘最大啮合半径D的范围为：

根据式（20）引入控制参数的约束函数为：

考虑到涡旋盘的刚度、强度和密封性要求，需将壁厚t限定在约束范围内，涡旋盘壁厚t的范围为：

根据式（22）引入回转半径Ror的约束函数为：

考虑到齿头处的强度要求以及避免刀具干涉，引入修正圆弧中心角λ的约束函数为：

2 优化算法

2.1 标准遗传算法

标准遗传算法是一种通过模拟自然进化过程搜索最优解的方法，直接对结构对象进行操作，具有内在的隐并行性和良好的全局寻优能力。但由于存在着容易过早收敛和后期搜索迟钝的缺点，往往得不到理想的最优解[14]。

2.2 改进遗传算法

针对标准遗传算法的缺点，本文通过引入自适应交叉和变异算子、采用精英保留策略和引入自适应的适应度函数等3种方法来改善。

对于自适应交叉和变异算子，其表现形式为：

式中：Pc为交叉算子，Pc1=0.9，Pc2=0.6；Fmax为当代种群中最大适应度值；Fave为当代种群的平均适应度值；Fc为要交叉的两个个体间较大的适应度值。

式中：Pm为变异算子，Pm1=0.01，Pm2=0.001；Fm为当前要变异的个体的适应度值。

从式（25）和（26）可以看出，本文引入的交叉和变异算子会随着种群的当前状态进行自我调节。针对交叉算子，当要交叉的两个个体中较大的适应度值大于当代种群平均适应度值时，则会适当减小交叉概率，从而保证了个体具有较高的概率将优秀基因遗传给下一代。当要交叉的两个个体中较大的适应度值小于当代种群平均适应度值时，则提高交叉概率，减小了个体将不良基因遗传给下一代的概率。

针对变异算子，当个体的适应度值大于种群平均适应度值时，适当减小变异概率，保存优良基因。当个体的适应度值小于种群平均适应度值时，则增加不良基因变异的概率。采用上述自适应交叉和变异算子，在保存优良基因的前提下，不仅改善了不良基因，同时也增加了种群的多样性，提高了算法的效率，避免了早熟。

标准遗传算法后期搜索迟钝是由于在搜索后期，种群中个体的适应度值趋于一致，不易区分。因此引入自适应的适应度函数，表现形式为：

式中：N为种群大小。

随着遗传代数的不断增加，通过式（28）可以对适应度值进行一定的拉伸，增大个体适应度值的区分度，使遗传算法中的选择更有择优的效果。改进多目标遗传算法设计流程如图2所示。

图2 流程图

3 实例分析

采用Matlab软件编制程序，进行优化设计参数求解。取初始T0=4，种群规模为100，每个染色体的长度为32位（二进制），终止遗传代数为500代，迭代过程如图3所示。

图3 进化过程

图中标准GA算法过早陷入局部最优解，而改进GA算法早期在不断进化，在进化的后期目标函数也有小幅提升，且经过多次测试，目标函数值均收敛于4.3附近，从而证实了本文引入的改进方法确实改善了标准遗传算法容易早熟和后期搜索迟钝等缺点。部分全局Pareto非劣解如表1所示。

取表1中第3组数据构建优化型涡旋盘，绘制其动静涡旋型线的啮合图，如图4所示。从中可以看出，本文优化设计的涡旋型线完美啮合且具有良好的形态性能。

图4 动静涡旋型线共轭啮合图

表1 型线优化结果数据表

将优化设计后的变截面涡旋盘与文献[15]中传统型进行性能对比，如表2和图5所示。从表2可以看出，优化后的涡旋盘相比传统变截面涡旋盘，最大轴向气体力减少了25.53%，压缩比和面积利用系数分别提高了4.36%和9.44%。图5所示为涡旋盘所受轴向气体力随主轴转角的变化历程，优化后的涡旋盘轴向气体力在所有时刻均小于传统变截面涡旋盘。

图5 轴向气体力变化图

表2 变截面涡旋盘性能对比表

4 结论

（1）本文基于改进多目标遗传算法，提出了综合考虑力学性能和几何性能的涡旋盘多目标优化设计，成功求解出变截面涡旋盘多目标优化问题的Pareto非劣解集。

（2）将Pareto非劣解集中的涡旋盘和传统变截面涡旋盘的性能指标进行对比，其最大轴向气体力减少了25.53%，压缩比和面积利用系数分别提高了4.36%和9.44%，表明了本文的优化方法可以设计出力学性能和几何性能均比传统变截面涡旋盘有所提高的新涡旋盘。