变化的图形 不变的规律——2022年中考“图形的变化”专题命题分析

蒋 梅，张 斌

（重庆市南岸区教师进修学院；重庆市教育科学研究院）

“图形的变化”是初中数学“图形与几何”领域的重要组成部分，是在研究了图形的性质之后对图形的变化规律进行的研究.《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）对“图形的变化”部分的学业要求是：理解轴对称、旋转、平移这三类基本的图形运动，知道这三类运动的基本特征，会用图形的运动认识、理解和表达现实世界中相应的现象；理解几何图形的对称性，感悟现实世界中的对称美，知道可以用数学的语言表达对称；知道直角三角形的边角关系，理解锐角三角函数，能用锐角三角函数解决简单的实际问题；了解图形相似的意义，会判断简单的相似三角形；经历从不同角度观察立体图形的过程，知道简单立体图形的侧面展开图.

一、考查内容分析

1.考查内容

从2022年全国各地区中考数学试卷中抽取118份，对这些试卷进行统计分析，发现“图形的变化”内容考查的题型包括选择题、填空题、操作题和解答题等.其中，有的试题需要直接用概念或性质进行识别或判断；有的试题把图形的变化置入数学情境、生活情境或科学情境中，考查学生分析和解决问题的能力及数学思维品质.通过设置不同层次的试题，考查学生的抽象能力、几何直观、空间观念、推理能力、运算能力等，在解决实际问题的过程中考查学生的应用意识和创新意识.

2.分布和分值

在抽取的118份试卷中包含18份统考卷，对其中的“图形的变化”相关试题按图形的轴对称、旋转、平移、相似和投影进行分类统计，并计算这部分分值与该地区试卷总分的分值占比，统计结果如表1所示.由表1的统计数据可以看出，在抽取的18份统考卷中，“图形的变化”试题在各份试卷中所占分值与全卷总分的比值在6%～29.2%.其中，分值比达到或超过10%的试卷有16份，占抽样总数的88.9%.这说明全国各地区中考都比较重视对“图形的变化”专题内容的考查.图形的相似内容在各份试卷中出现的频率和分值占比都比较高，其次是旋转和轴对称.

表1 “图形的变化”试题在18份试卷中的分值占比

二、命题特点分析

从命题思路角度分析，2022年中考“图形的变化”试题依标扣本，内容覆盖面广，通过对平移、旋转、轴对称变化过程中图形变化规律的认识，感悟图形变化中的不变规律，并要求学生应用这些规律解决简单的问题.利用相似、三角函数等有关知识解决生活中的一些实际问题，体现了应用意识.试题呈现有梯度，考查平移、旋转、轴对称变化等内容，或独立命题，或与其他知识综合进行命题.除直接考查外，更多的是综合性、应用性较强且具有创新性的试题.

1.直接识别，简单应用

《标准》中“图形的变化”这部分包含的内容比较多，要求也根据具体内容分为认识、了解、利用、会画、掌握、能使用等层次.根据不同层次的要求，所设计的试题难度各异.直接识别，聚焦于理解平移、旋转、轴对称的基本性质，知道直角三角形的边角关系，了解图形的相似与投影在形状不变大小改变后，相应元素变化或不变的关系，考查学生的几何直观和空间观念.

（1）识别基本图形.

例1（福建卷）美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ）.

答案：A.

考查目标：认识现实生活中的轴对称图形，考查学生的几何直观素养.

命题意图：此题以窗花为载体，让学生在多个窗花的图形中识别轴对称图形.《标准》要求认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称、中心对称、平移变化.此题是对这一要求的具体呈现.

命题评价：此题考查的是日常生活中常见的基础知识，以容易题的形式出现.类似地，天津卷第4题对汉字轴对称进行辨别，山西卷第2题、青海卷第1题对轴对称和中心对称进行辨别，广西北部湾经济区卷第2题对平移变化进行识别，北京卷第7题则要求判断基本图形的对称轴条数.

例2（吉林卷）吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美.图1是一款松花砚的示意图，其俯视图为（ ）.

图1

答案：C.

考查目标：判断空心圆柱的俯视图，考查学生的几何直观和空间观念.

命题意图：此题以吉林的松花砚为背景，体现了“会用数学的眼光观察现实世界”这一素养.同时融入地方文化，激发学生以家乡资源为傲的家国情怀.

命题评价：2022年多个地区的中考试卷中都出现了识别几何体三视图的试题.例如，天津卷第5题、江西卷第5题、海南卷第4题、福建卷第2题、安徽卷第3题要求直接判断几何体的三视图，云南卷第7题、青海卷第13题、新疆卷第2题、河南卷第2题则是要求根据三视图或展开图推断出几何体.用这种方式考查生活中的数学常识.例2属于容易题.

（2）直接运用性质.

例3（重庆A卷）如图2，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2∶3.若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（ ）.

图2

（A）4 （B）6 （C）9 （D）16

答案：B.

考查目标：了解位似图形，知道位似图形的周长比等于相似比，考查学生的几何直观和推理能力.

命题意图：位似是特殊的相似，是学生进一步学习和进入社会生活必备的基础知识.此题以三角形为背景，考查位似图形的周长比等于相似比这一性质.

命题评价：在2022年全国各地区中考试卷中，或直接给出两个相似三角形的相似比，或给出对应边的长要求学生求这两个三角形的面积之比、对应线段之比，或要求学生直接写出特殊角的三角函数值，等等.例如，云南卷第5题要求求出中位线分成的两个三角形的面积比.例3直接用位似的性质即可完成求解，属于容易题.

例4（河北卷）如图3，将△ABC折叠，使边AC落在边AB上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）.

图3

（A）中线 （B）中位线

（C）高线 （D）角平分线

答案：D.

考查目标：理解轴对称的概念，考查学生的几何直观和空间观念.

命题意图：以折叠为背景，把折叠转化为轴对称，结合三角形的角平分线，考查学生综合应用角平分线和轴对称知识的能力.

命题评价：此题结合图形考查轴对称的性质.把图形的变化与其他知识融合进行考查是全国各地区中考数学试卷中经常出现的试题类型.例如，吉林卷第11题把旋转与正六边形的角度问题融合在一起；福建卷第10题考查三角形平移前后所围成的四边形的面积.此题直接用轴对称和三角形的角平分线性质即可得出结论，属于容易题.

2.利用变化，关注思维品质

图形的变化部分强调的是变化.但是在变化过程中，我们首先应该分析变化的类型，在变化过程中找到不变的关系、变化的规律，以及不变的数学本质.

（1）在变化中找到不变的关系.

例5（海南卷）如图4，点A（0，3），B（1，0），将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°，BC=2AB，则点D的坐标是（ ）.

图4

（A）(7，2) （B）(7，5)

（C）(5，6) （D）(6，5)

答案：D.

考查目标：认识平移，理解平移的性质，考查学生的几何直观和空间观念.

命题意图：在线段平移的过程中，不变的关系是CD=AB，∠ABC=90°.此题把平移的性质与相似三角形、勾股定理和平面直角坐标系相融合.过点D作y轴的垂线，构造三角形相似，利用BC=2AB建立等式即可求解.

命题评价：此题把图形的变化与平面直角坐标系相结合，与此题类似的还有河南卷第9题、云南卷第14题.除此之外，也有把图形的变化与求特殊图形阴影部分面积相结合进行考查的，如福建卷第10题；还有要求画出平移、旋转、轴对称图形的，如陕西卷第19题和安徽卷第16题.这些试题体现了中考考查知识的覆盖面和对重点知识的考查情况.

例6（宁夏卷）如图5，点B的坐标是（0，3），将△OAB沿x轴向右平移至△CDE，点B的对应点E恰好落在直线y=2x-3上，则点A移动的距离是_______.

图5

答案：3.

考查目标：认识平移，理解平移的性质，考查学生的几何直观和空间观念.

命题意图：在把△ABO向右平移的过程中，每个点的纵坐标保持不变，每个点向右移动的距离相等，即BE=AD.点B平移后对应点E的纵坐标在直线y=2x-3上，可求出点E的坐标，得点B平移的距离，即得到点A平移的距离.在此题的条件下，还可以求出点C的坐标.如果此题已知点A的坐标，也可以求出点D的坐标.

命题评价：此题涉及的知识点比较多，需要结合图形厘清图形变化前后不变的关系是对应点的连线相等.此题把平移的性质、点的坐标、一次函数等知识进行综合考查，给出的数据简单，属于容易题.

（2）在变化中探寻规律.

例7（河南卷）如图6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP=1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ.当∠ADQ=90°时，AQ的长为______.

图6

考查目标：旋转的性质，把文字、符号转化为图形，考查学生的几何直观和空间观念.

命题意图：CP绕点C在平面内旋转，不变的条件是CQ=1.当∠ADQ=90°时，点Q在直线CD上，且点Q可以在△ABC内，也可以在△ABC外，分两种情况考虑，在Rt△ADQ中，用勾股定理求解.

命题评价：此题把旋转、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识进行综合考查，需要考虑两种不同的情形，考查学生数学思维的严谨性，有一定的难度.

例8（江西卷）综合与实践

问题提出：

某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P=90°，∠F=60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）.

操作发现：

（1）如图7（a），若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为_____；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为______；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为_____.

类比探究：

（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N.

①如图7（b），当BM=CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；

②如图7（c），当CM=CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）.

图7

拓展应用：

（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH=α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，试直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）.（参考数据：

考查目标：此题考查旋转过程中与正方形的性质相关的位置关系和数量关系的变化规律，以及学生的几何直观、空间观念和推理能力.

命题意图：此题把一个三角板的不同顶点与正方形的中心O重合，当与点O重合的是一个直角时，重合部分面积通过割补可得始终等于正方形面积的当与点O重合的是一个60°的锐角时，可以类比割补的方法，完成对重合部分三角形形状的判别及四边形面积的求解，体会重合部分面积的大小会随着旋转而发生变化，并通过推理得到重合部分面积最大、最小时的位置.当与点O重合的是任意一个锐角时，可以迁移已有的问题解决策略，猜想、归纳出重叠部分面积最大和最小时的位置，并通过推理得到结论.此题需要根据条件准确画出图形，结合猜想，运用所学知识进行推理论证，体现了对学生的空间观念、几何直观和推理能力的考查.

命题评价：此题以正方形为命题背景，从熟悉的直角顶点绕着正方形中心旋转过渡到特殊的60°角或一般角（多种版本的教材中都安排了把三角板直角顶点绕着正方形中心旋转的情境），渗透了从特殊到一般的探究思路，体现了“探究—归纳—应用”的数学学习过程.这个过程中既有合情推理，又有演绎推理，具有较高的思维含量，属于较难题.与此题类似的有四川成都卷第26题、湖南湘潭卷第25题、湖南岳阳卷第23题等.

（3）在变化中归纳不变的本质.

例9（天津卷）如图8，在△ABC中，AB=AC，若M是边BC上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）.

图8

（A）AB=AN （B）AB∥NC

（C）∠AMN=∠ACN （D）MN⊥AC

答案：C.

考查目标：旋转的性质和图形的相关性质，考查学生的几何直观和空间观念.

命题意图：在旋转过程中，始终有△ABM≌△ACN，且对应边相等、对应角相等，这是变化中不变的本质.找到旋转前后的对应边和对应角，并由边角的关系得到其他结论，考查学生对图形相关知识的储备.数学知识不是孤立的，在复习时，教师要注重帮助学生构建知识网络体系.

命题评价：在变化的过程中找到不变的本质是解决此类问题的关键.

例10（河南卷）综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

（1）操作判断.

操作1：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；

操作2：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM.

根据以上操作，当点M在EF上时，写出图9（a）中一个30°的角：_______.

（2）迁移探究.

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.

①如图9（b），当点M在EF上时，∠MBQ的度数为______，∠CBQ的度数为_______；

②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图9（c），判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由.

图9

（3）拓展应用.

在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ=1cm时，直接写出AP的长.

答案：（1）∠BME或∠ABP或∠PBM或∠MBC.

（2）①15°，15°；②∠MBQ=∠CBQ，理由略.

考查目标：理解轴对称的概念与基本特征，考查学生的几何直观、空间观念和推理能力.

命题意图：第（1）小题要求学生直接写出结论即可，图形中的30°角不唯一，为了降低难度，只要求写出其中的一个即可.当EF是AB，CD中点的连线时，利用轴对称性质可得当点M在线段EF上时，一定存在“BE=AE=”，这是解决问题的关键，即抓住变化中不变的本质.对于第（2）小题，当纸片是正方形时，在移动点M的过程中，根据轴对称性，始终有△BPA≌△BPM，△BMQ≌△BCQ，因此可以得到∠MBQ=∠CBQ.设置的第（3）小题能够较好地考查学生的数学严谨性，点Q可能在线段DF上，也可能在线段CF上，体现的是对学生空间观念和思维的完备性的考查，要求较高.画出图形后，要根据线段的对应关系，在Rt△PDQ中利用勾股定理求出线段的长.

命题评价：此题以折纸为背景，考查轴对称（翻折）性质，矩形、正方形性质，直角三角形全等，以及勾股定理的综合应用.从矩形到正方形，体现的是从一般到特殊，将图形不断特殊化是学习数学常用的一种思维路径.此题设有3道小题，从易到难，分层设计，充分考虑了学生的个性化需求，实现了对学生进行分层考查的目标.这种有操作、分多个层次的试题命制方式是近年来多地中考压轴题经常采用的.

3.解决问题，渗透学科素养

数学试题常与情境相联系，在图形变化的数学情境中渗透几何直观，在生活情境中抽象出数学问题，在科学情境中培养创新意识.

（1）在数学情境中渗透几何直观.

例11（上海卷）如图10，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，的值为______.

图10

考查目标：旋转的性质隐藏在文字中，体现了文字、符号与图形的相互转化，考查了学生的几何直观、空间观念和推理能力.

命题意图：若点D是AB的中点，点E在线段AC上，当成立时，点E可能是AC的中点.点E一定是AC的中点吗？如图11，以点D为圆心、DE为半径画弧，发现还存在点E′.结合条件分析，可得△DEE′是等边三角形.此题要找出所有满足条件的点E，需要结合已知条件进行推理，考查学生思维的严谨性.

图11

命题评价：此题文字简洁、图形简单，但综合了特殊直角三角形的性质、等边三角形的性质、三角形的中位线等知识，综合性较强.要正确解答此题，需要根据题意准确画出不同情况的图形，这对学生来说是有一定难度的.

例12（浙江·宁波卷）【基础巩固】

（1）如图12（a），在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG=EG.

【尝试应用】

（2）如图12（b），在（1）的条件下，连接CD，CG.若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求的值.

【拓展提高】

（3）如图12（c），在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F.若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长.

图12

考查目标：在数学情境中，综合运用多种图形的性质和变化来解决问题，考查学生的几何直观、逻辑推理，以及综合分析问题的能力.

命题意图：以平行线分线段成比例为背景，不断强化条件，得到结论.在DE∥BC的条件下，若BF=CF，则DG=EG；若CG⊥DE，则CD=CE.在第（3）小题中，如图13，利用已发现的结论，延长GE交AB于点H，连接HF.可得HF=GF.由∠EGF=40°，可推出∠BFH=30°.在△BHF中，∠FBH=45°，∠BFH=30°，HF=10，问题变成解含特殊角的三角形.此题应用的知识主要有平行线分线段成比例定理、线段的垂直平分线和三角函数.

图13

命题评价：此题综合了多个知识点，很好地体现了知识之间的纵横联系.因知识点多、综合性强，为了正确解答，要注意把条件不断标注在图形中，结合图形进行分析和思考.这是解答这类试题的一个重要方式.

（2）在生活情境中渗透数学抽象.

例13（安徽卷）如图14，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上.求A，B两点间的距离.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.）

图14

答案：96米.

考查目标：运用锐角三角函数解决简单的实际问题，考查学生的抽象能力、几何直观和推理能力.

命题意图：此题根据实际问题抽象出数学问题.由题意可得△ACD是直角三角形，根据已知条件可求出AC的长，再证明△BCD是直角三角形，求出BC的长，根据AB=AC-BC可得结论.此题综合应用了方位角、锐角三角函数等知识.

命题评价：因为解直角三角形很容易与实际问题联系起来，所以此类试题在全国各地区中考试卷中出现的频率很高.山西卷第22题、上海卷第22题、河北卷第24题、天津卷第22题与此类似，主要考查学生从实际问题中抽象出数学问题，并对数学问题进行解答的能力.在教学中，要重视培养学生从实际问题中抽象出数学问题的能力.

例14（重庆A卷）如图15，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米.点E在点A的正北方向.点B，D在点C的正北方向，BD=100米.点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°.

图15

（1）求步道DE的长度（精确到个位）；

（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D.试计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：≈ 1.414，≈1.732.）

答案：（1）283米；（2）经过点B到达点D较近.

考查目标：用锐角三角形函数解决简单的实际问题，考查学生的数学抽象、几何直观、逻辑推理和运算能力.

命题意图：此题把解直角三角形和方位角融入实际生活情境中.第（1）小题是学生比较熟悉的，根据已知条件可求出DE=第（2）小题设计了两条路线，需比较两条路线的长短.路线A—B—D，需要先求AB的长；路线A—E—D，需要先求AE的长.要正确解答，首先需要读懂题意，即从实际问题中抽象出数学问题，知道方位角的含义，然后再把要求的线段放进直角三角形中求解.

命题评价：相比学生熟悉的与实际生活问题相结合的求物体的高，或在海面上是否有触礁的危险等情境，例14的情境看起来更加真实.同时，对学生而言，这种情境在平时练习中较少出现，在一定程度上体现了公平性.两道小题有区分度，体现了对学生个性化的考查.

（3）在科学情境中渗透创新意识.

例15（四川·凉山州卷）如图16，CD是平面镜，光线从点A出发经CD上点O反射后照射到点B，若入射角为α，反射角为 β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC=3，BD=6，CD=12，则tanα的值为________.

图16

考查目标：能用锐角三角函数解决简单的实际问题，考查学生的抽象能力和几何直观素养.

命题意图：首先，根据已知条件和光学知识，判断△ACO∽△BDO；然后，根据相似三角形的性质建立等式，求出CO的长；最后，用三角函数的定义求出结果.物理中的光学知识在此题中主要是数学中的轴对称性质.

命题评价：为了避免对物理知识掌握的差异影响学生对此题的解答情况，试题题干中特别用括号的方式备注了物理知识，体现了对数学学科知识考查的公平性.《标准》提倡跨学科融合，整合数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等学科领域的知识和思想方法.如何通过创设科学的情境考查学生的认知水平和生活经验，是今后中考命题努力探索的方向.

三、复习教学建议

1.建构体系，形成网络

数学复习的主要任务之一就是帮助学生把已经学习的知识形成结构化的体系.复习时，回归教材，从一个知识点出发，不断把这个知识点和与之相近的知识联系起来形成知识网络，是一种有效的复习方式.

（1）在同一主题内形成链式结构.

“图形的变化”专题内容的学习，需要在掌握图形性质的基础上，对图形变化前后对应元素的数量关系和位置关系进行研究，把这种变化置入平面直角坐标系内是一种重要的方式，即图形与坐标.这是“图形与几何”这一领域的链式结构.在“图形的变化”这一主题下，包含有图形的轴对称、图形的旋转、图形的平移、图形的相似、图形的投影等内容.不同版本的教材在安排这几部分内容学习的顺序时有微小的区别，可能是“平移—轴对称—旋转”，也可能是“轴对称—平移—旋转”，但旋转一定安排在平移和轴对称之后.学习了这三大变化后，再学习图形的相似和图形的投影，这是“图形的变化”部分的链式结构.形成知识的链式结构，可以让学生了解知识的来龙去脉.

（2）在同一领域内形成网状结构.

初中阶段，主要要求学生对线段、角、相交线与平行线、三角形及特殊平行四边形的性质、变化、坐标进行网状结构的研究.如果在复习时能通过不断改变一道习题的条件，把这些知识前瞻后联、上串下联，引导学生把知识形成网状结构，对学生的学习能力将会起到极大的促进作用.

（3）在不同领域内形成立体体系.

为了实现有效的复习，仅仅在“图形与几何”领域内对图形进行研究是不够的，还需要在解决问题的过程中把这部分知识与其他数学知识联系起来，以及与其他学科的知识联系起来.例如，勾股定理是沟通图形的变化和“数与代数”的桥梁；相似往往可以与物理学科中的光学相联系；等等.为了实现会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界的核心素养培养目标，让学生对所学的数学知识形成立体的知识体系是非常有必要的.

2.解题教学，重在反思

“图形的变化”专题内容在全国各地区的中考试卷中都占有相当的比重，理解概念的本质和各类变化的特征很重要.在解题教学中，引导学生理解题意、厘清思路、写出解答，教师都做得很好，但解题教学的最后一个环节——回顾与反思，是各位教师最容易忽视的.数学解题的目的是引导学生获得“四基”，提升“四能”，养成良好的学习习惯，形成质疑问难、自我反思和勇于探索的科学精神.通过回顾与反思，进而让学生自己梳理学过的数学知识，思考解题过程中有效的思维路径，感悟数学思想，对解题中出现的经验进行总结归纳，可以提升复习的有效性.针对“图形的变化”部分解题教学的回顾与反思环节，可以通过一题多变、一题多解、多题一解等方式来提升复习的有效性.

（1）一题多变，拓宽思维.

一题多变，对“图形的变化”这部分内容特别适用.在复习时，可以找一道典型的题目，这道题目可以来源于教材，也可以是中考试题、竞赛题等.对这道题目进行改编，可以把它的已知条件与结论互换，可以把它的已知条件换一种说法推导相同的结论，可以在已知条件不变的情况下推导其他的结论，等等.例如，原题是平移，可以把平移改成轴对称，或把平移改成旋转，通过这种方式，能实现举一反三、触类旁通.

（2）一题多解，寻找规律.

对于同一道题，结合已知条件，从不同的角度思考，可以得到不同的解法.教师可以引导学生分析这道题目多种解法之间的联系，进而发现这些解法中隐藏的规律，并把发现的规律表达出来.当然，需要引导学生自己去发现和归纳规律，这也是提升学生发现和提出问题、分析和解决问题能力的重要方式.

（3）多题一解，提炼方法.

为了不让学生淹没在茫茫题海中，教师需要先进入“题海”，精选例题和习题，让学生在求解教师精选的例题和习题的过程中发现并提炼出这些习题共同的解答方法，从而实现“会一题，通一类”.在这个过程中，除了能培养学生发现和提出问题的能力，更能培养学生的分类、归纳能力，这是创新能力培养的有效方式之一，也能在一定程度上提升学生的数学表达能力.

在分析2022年全国各地区中考“图形的变化”试题的过程中，发现很多试题可以在教材习题中找到影子，如前述例3、例8、例10、例13、例15等.因此，复习时回归教材，并把教材上的经典题目承载的数学思想和育人价值充分挖掘出来，是在复习过程中值得做且具有重要意义的事情.

四、典型模拟题

1.如图17，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，若OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为_______.

图17

（A）1∶3 （B）1∶4

（C）1∶5 （D）1∶9

答案：D.

2.如图18，∠BAC=45°，AB=5 cm，D为AC上一点，AD=2 cm，DE∥AB，交BC于点E，点F为直线DE上一点，则FA+FB的最小值为_______.

图18

3.如图19，在一条平坦的道路尽头，有一个塔CD，在点A处测得D的仰角为α，行走s m到达点B处，测得D的仰角为β，BC处是一条小溪，不能穿过去.

图19

（1）如果 α=30°，β=60°，s=50 m，则塔CD高是多少？

（2）试用含α，β，s的代数式表示塔CD的高度.

4.已知△ABC是等腰三角形，BA=BC.

（1）如图20（a），D是△ABC的内一点，∠ABC=60°，DA=3，DB=4，DC=5，求∠ADB的度数.

（2）如图20（b），∠ABC=90°，DA=1，DB=2，DC=3，求∠ADB的度数和△ABC的面积.

图20

5.已知△ABC和△ADE，∠BAC=∠DAE.

发现解决问题：

（1）如图21（a），AB=AC，AD=AE，可得到BD=CE；如图21（b），当A，D，E三点在同一直线上，AB=AC=5，AD=AE=∠BAC=∠DAE=90°时，求CE的长；

类比探究拓展：

（2）如图21（c），若△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE.

（3）如图21（d），D是△ABC内一点，∠BAD=∠CBD=30°，∠BDC=90°，AB=3，AC=，求AD的长.

图21